1、數字信號處理課程設計數字頻帶變換的橢圓IIR帶阻濾波器設計南華大學 電氣工程學院 電子091班 苗潤武 20094470138一 手工計算完成橢圓IIR數字帶阻濾波器初始設計1、設計要求：濾波器的設計指標要求為通帶下截止頻率, 阻帶下截止頻率,阻帶上截止頻率,通帶上截止頻率, 通帶最大衰減,阻帶最小衰減。其中為我學號的后兩位。我的學號：20094470138，所以=38。由此計算性能指標（保留小數點后1位）得：通帶下截止頻率：=1.3 rad/sample阻帶下截止頻率=2.0 rad/sample阻帶上截止頻率：=4.7 rad/sample通帶下截止頻率：=5.3 rad/sample通帶

2、最大衰減：阻帶最小衰減：由得到性能指標在MATLAB中的常用形式（保留小數點后1位）： rad /sample， rad/sample， rad/sample， rad/sample2、數字邊界頻率轉換成模擬邊界頻率：轉變換關系為：其中，令T=2s計算模擬邊界頻率（保留小數點后1位）得：0.8 rad/s1.6 rad/s-1.0 rad/s-0.5 rad/s另外：3、將帶阻濾波器的設計要求轉換為低通原型濾波器的設計要求=1=2.0將和的幾何平均值作為頻率歸一化的基準頻率，即：=2.0定義頻率的選擇性因數為兩個截止頻率之比：4、設計低通原型濾波器轉移函數H(s)橢圓濾波器的幅頻響應函數公式為

3、：其中，為波紋系數，表示波紋情況；為截止頻率，為橢圓函數。這里：=0.5此外，這時通帶截止頻率的歸一化值和阻帶截止頻率的歸一化值分別為：=0.7071在以為歸一化基準頻率的條件下，通帶、阻帶階值歸一化頻率互為倒數。令：，分別計算得：由入階數計算公式計算得最低階數N=5由N=5，=2.0查表可確定歸一化轉移函數（參數保留小數點后15位）得：5、將橢圓模擬低通原型濾波器轉換得數字濾波器轉移函數由轉換公式：（參數保留小數點后15位）得：6、將數字橢圓低通濾波器變換為帶阻濾波器利用數字頻帶轉換公式：其中：，其中：，由數字低通濾波器轉換為數字帶阻濾波器，其階數增加為2N，即為10階的濾波器則初步運算所得

4、濾波器轉移函數的系數為：den=1,0,-2.12658637235093,0,2.92411213439205,0,-2.37562859929732,0,1.21306969101691,0,-0.312305136646181num=0.0207958528193616,0,0.0543457659047958,0,0.0861892398331069,0,0.0861892398331069,0,0.0543457659047958,0,0.0207958528193616二 濾波器的不同結構對性能指標的影響在理想狀態(tài)下，對于同一個傳遞函數幾乎對應著無數種等效結構，然而這些結構卻并不一

5、定都能實現(xiàn)。在無限參數字長的情況下，所有能實現(xiàn)傳遞函數的結構之間，其表現(xiàn)完全相同。然而，在實際中，由于參數字長有限的限制，各實現(xiàn)結構的表現(xiàn)并不相同。下面我們就將對比直接型（包括直接I、II型）和級聯(lián)型兩種結構在本例中對性能指標的影響。在MATLAB中可以利用FDATOOL工具箱構建不同類型的數字濾波器。在此為了使對比效果明顯，我們不妨先將將上述初步設計的橢圓數字IIR帶阻濾波器的設計參數的字長（即轉移函數中分子、分母各項前的系數）進行保留小數點后3位的進一步的縮減。縮減后的參數如下：den=1,0,-2.126,0,2.924,0,-2.375,0,1.213,0,-0.312num=0.02

6、0,0,0.0543,0,0.086,0,0.0861,0,0.054,0,0.021將上述參數輸入FDATOOL中的filter coefficients工具中如圖1所示。圖1 filter coefficients工具工作界面1、利用直接型結構構建數字濾波器直接型結構濾波器的典型頻率響應表達式為：對應的差分方程表達式為：X(n)y(n)直接型的結構流圖如圖2所示：0.0200.0540.0860.0860.0540.020-2.1272.924-2.3761.213-0.312圖2 直接型I型結構流圖選擇filter structure選項框中的 Direct-Form I選項，點擊窗口下

7、方的Import Filter按鈕，構建直接1型結構的橢圓數字IIR帶阻濾波器，結果如圖3所示。圖3 Direct-Form I型結構的濾波器幅頻響應圖讀圖可以得Direct-Form I結構的濾波器技術指標（，單位為；,單位為dB）如表1所示：表1 Direct-Form I結構濾波器對性能指標的影響性能指標）初始設計指標Direct-Form I0.20.20332510.00332510.30.2816907-0.01830930.70.71830930.01830930.80.7966749-0.00332516058.42311-1.5768911.7523150.752315由圖3

8、和表1可以看出：濾波器幅頻曲線在通帶和阻帶內波動幅度不均勻。出現(xiàn)了阻帶最小衰減下降了-1.57689dB，通帶最大衰減上升了0.752315dB的誤差。和分別較初始設計增大了0.0033251和0.0183093，和分別較初始設計減小了0.0033251和.0183093，截止頻率坡度較初始設計更加陡峭。由于Direct-Form II和Direct-Form I均屬于直接型結構濾波器，因此均具有直接型所共有的上述誤差。2、利用級聯(lián)結構構建數字濾波器級聯(lián)型結構濾波器的典型幅頻響應表達式為對進行因式分解，得到級聯(lián)型的典型幅頻響應表達式：直接型的結構流圖如圖4所示：-0.9339-0.93390.

9、60.020.026.11e-15-0.89441.5653-0.76210.8944-1.5653-0.76211.2247-1.2247-1.56531.5653圖4 直接型結構流圖選擇Edit下拉菜單中點擊 Convert to Second-order Sections選項，將構建好的Direct-Form I結構的橢圓數字IIR帶阻濾波器轉換為級聯(lián)濾波器，結果如圖5所示。圖5 Direct-Form I型結構的濾波器幅頻響應圖讀圖5可以得級聯(lián)結構的濾波器技術指標（，單位為；,單位為dB）如表2所示：表2 級聯(lián)結構濾波器對性能指標的影響性能指標）初始設計指標級聯(lián)型0.20.204361

10、10.00436110.30.2833496-0.01665040.70.71665040.01665040.80.7956399-0.0436016060.76630.766311056780.05678從表2中可以看出，采用級聯(lián)結構組成的濾波器：濾波器幅頻曲線在通帶和阻帶內波動較均勻。出現(xiàn)了阻帶最小衰減上升了0.7663dB，通帶最大衰減上升了0.05678dB的誤差。和分別較初始設計增大了0.0043611和0.0166504；和分別較初始設計減小了0.0166504和0.043601，濾波器的截止頻率坡度較初始設計更加陡峭。3、兩種結構濾波器對指標影響比較與原因分析比較表1和表2發(fā)現(xiàn)：

11、在參數字長僅保留了小數點后3位的情況下，兩種結構的濾波器較初始設計在性能指標方面均有誤差。但是直接型誤差比級聯(lián)型更大，受有限參數字長影響更大，主要表現(xiàn)在：直接型、和與設計要求相應的性能間的差的絕對值普遍大于級聯(lián)型。此外，直接型和級聯(lián)型的幅頻響應曲線的通帶的波動均不穩(wěn)定，但是級聯(lián)型的穩(wěn)定性要好于直接型。造成這一現(xiàn)象的原因是：直接型濾波器的系數不是直接決定單個零極點，因而不能很好的進行濾波器性能的控制；此外直接型濾波器的極點對參數的變化過于敏感，從而使得系統(tǒng)的頻率響應對參數的變化也特別敏感，也就是對參數的有限字長運算過于靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產生較大誤差。相比之下，級聯(lián)型濾波器每個二階節(jié)系數單獨控

12、制一對零、極點，有利于控制頻率響應；此外級聯(lián)結構中后面的網絡輸出不會再流到前面，運算誤差的積累相對直接型就小。4、結論在受實際條件限制，參數字長有限的情況下，級聯(lián)結構型濾波器對參數變化的反應要比直接結構型的更低，性能指標誤差更小，濾波器失真更小，濾波效果更好，更能符合設計指標的要求。三 參數字長對性能指標的影響在實際的數字濾波器的設計中，由于計算機或DSP芯片等的字長和存儲空間有限，所以也只能對設計參數取有限的字長進行設計。然而，如果字長太短，則設計的濾波器誤差就會太大，造成濾波效果不佳。下面就將以上述性能指標為依據，初始設計的橢圓數字IIR帶阻濾波器為例，研究不同參數字長對性能指標的影響。并

13、為合適參數字長的確定探索規(guī)律。將計算獲得的帶阻數字濾波器的系數輸入圖1所示的filter coefficients工具中，并點擊Import Filter按鈕，生成數字濾波器。運用FDATOOL工具左下側上數第三個的Set quantization parameters按鈕，在filter arithmetic下拉菜單下選擇Fixed Point選項，進入如圖6所示的界面。圖6 Set quantization parameters工作界面通過改變coefficient word length的值便可以改變參與構建濾波器的參數字長。1、參數字長取2位對性能指標的影響將coefficient w

14、ord length的值改為2，點擊下方的Apply按鈕，此時設計的濾波器幅頻響應曲線和性能指標如圖7所示：圖7 參數字長取2位時的濾波器幅頻響應曲線圖圖7中的虛線為供參考的理想字長下生成的濾波器的幅頻響應曲線，圖中實線為參數字長取為2位時的濾波器幅頻響應曲線。從圖中可以看出：字長為2位時，濾波器的各項性能指標離設計指標偏差很大，濾波器失真明顯，濾波效果很差，遠遠不能滿足設計指標的要求。2、參數字長取4位對性能指標的影響將coefficient word length的值改為4，點擊下方的Apply按鈕，此時設計的濾波器幅頻響應曲線和性能指標如圖8和表3所示：圖8 參數字長取4位時的濾波器幅頻

15、響應曲線圖表3參數字長取4位時的實際性能指標一覽表性能指標）初始設計指標實際指標差值0.20.03587977-0.164120230.30.44799800.1479980.70.5520020-0.1479980.80.96412020.164120260*1*由圖8和表3可以看出，當參數字長取為4位時，幅頻曲線失真度較2位時有明顯改進，但仍很明顯：通、阻帶截止頻率分別有較大的偏移，使得截止頻率坡度非常平緩，濾波效果很差。通帶和阻帶波動平緩，最小和最大衰減頻率不明顯，通帶甚至出現(xiàn)了正增益。離設計指標差距仍然很大。3、參數字長取6位對性能指標的影響將coefficient word leng

16、th的值改為4，點擊下方的Apply按鈕，此時設計的濾波器幅頻響應曲線和性能指標如圖9和表4所示：圖9參數字長取6位時的濾波器幅頻響應曲線圖表4 參數字長取6位時的實際性能指標一覽表性能指標）初始設計指標實際指標差值0.20.21640890.01640890.30.2803943-0.01960570.70.71960570.01960570.80.7835911-0.01640896056.47906-3.5209418.0936887.093688由圖9和表4可以看出，當參數字長取為6位時，幅頻曲線失真進一步減小，已經初具帶阻濾波器的形制。性能指標也明顯接近設計要求：通、阻帶截止頻率與設

17、計要求間的誤差已經縮小至0.02的范圍內，截止頻率的坡度也已經十分陡峭；但是通帶最大衰減頻率和阻帶最小衰減頻率與設計指間標誤差還是很大，離設計要求距離還是較遠。4、參數字長取8位對性能指標的影響將coefficient word length的值改為8，點擊下方的Apply按鈕，此時設計的濾波器幅頻響應曲線和性能指標如圖10和表5所示：圖10參數字長取8位時的濾波器幅頻響應曲線圖表5 參數字長取8位時的實際性能指標一覽表性能指標）初始設計指標實際指標差值0.20.20309660.00309660.30.2784694-0.02153060.70.72161060.02153060.80.79

18、69034-0.00309666057.14474-2.85526112323660.232366由圖10和表5可以看出，當參數字長取為8位時，幅頻曲線失真進一步減小，但仍可以看出。性能指標與設計要求的差值繼續(xù)減小，也已不明顯；通帶最大衰減頻率和阻帶最小衰減頻率與設計指間標誤差還是有一定的差距，距離設計要求仍可以進一步接近。5、參數字長取10位對性能指標的影響將coefficient word length的值改為10，點擊下方的Apply按鈕，此時設計的濾波器幅頻響應曲線和性能指標如圖11和表6所示：圖11參數字長取10位時的濾波器幅頻響應曲線圖表6參數保留小數點后7位時的性能指標一覽表性能指標）初始設計指標實際指標差值0.20.20426680.00426680.30.2802527-0.01974730.70.71974740.01974730.80.7957332-0.00426686059.32246-0.6775411.20996570.2099657由圖11和表6可以看出，當參數字長取為8位時，幅頻曲線失真進一步減小，但程度已經很小，失真幾乎可以忽略。截止頻率已與設計要求相差無幾，改善的程度也變得很小；通帶最大衰減和阻帶最小衰減仍然和設計要求有微小的差距，不可以忽略。