1、學案9.4 直線與圓、圓與圓的位置關系自主預習案 自主復習 夯實基礎【雙基梳理】1判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系 相交； 相切； 相離(2)代數法：【知識拓展】圓的切線方程常用結論(1)過圓x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0xy0yr2.(2)過圓(xa)2(yb)2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過圓x2y2r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0xy0yr2.2圓與圓的位置關系設圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>

2、;0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0).幾何法：圓心距d與r1，r2的關系代數法：聯立兩圓方程組成方程組的解的情況相離 外切 相交 內切 (r1r2) 內含 (r1r2) 【知識拓展】常用結論(1)兩圓的位置關系與公切線的條數：內含：0條；內切：1條；相交：2條；外切：3條；相離：4條(2)當兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數相同)相減便可得公共弦所在直線的方程【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件()(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數解，則兩圓外切()(3)

3、如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交()(4)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程()(5)過圓O：x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0xy0yr2.()(6)過圓O：x2y2r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0xy0yr2.()考點探究案 典例剖析 考點突破考點一 直線與圓的位置關系例1(1)已知點M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關系是()A相切 B相交C相離 D不確定(2)若過點(1,2)總可以作兩條直線與圓x2y2kx2yk2

4、150相切，則實數k的取值范圍是_(3)已知方程x20有兩個不等實根a和b，那么過點A(a，a2)，B(b，b2)的直線與圓x2y21的位置關系是_變式訓練：已知直線l：ykx1，圓C：(x1)2(y1)212.(1)試證明：不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點；(2)求直線l被圓C截得的最短弦長 考點二 圓與圓的位置關系例2(1)圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關系為()A內切 B相交C外切 D相離(2)過兩圓x2y24xy1，x2y22x2y10的交點的圓中面積最小的圓的方程為_(3)如果圓C：x2y22ax2ay2a240與圓O：x2y24總相交，那么實數a的取值范

5、圍是_ 變式訓練：(1)圓C1：x2y22y0，C2：x2y22x60的位置關系為()A相離 B外切C相交 D內切考點三：直線與圓的綜合問題命題點1求弦長問題例3(2015·課標全國)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圓交y軸于M、N兩點，則|MN|等于()A2 B8 C4 D10命題點2由直線與圓相交求參數問題例4(2015·課標全國)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(1)求k的取值范圍；(2)若·12，其中O為坐標原點，求|MN|.命題點3直線與圓相切的問題例5(1)過點P(2,4)引圓(x1)2

6、(y1)21的切線，則切線方程為_；(2)已知圓C：(x1)2(y2)210，求滿足下列條件的圓的切線方程與直線l1：xy40平行；與直線l2：x2y40垂直；過切點A(4，1)變式訓練：(1)過點(3,1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦長為_(2)過原點O作圓x2y26x8y200的兩條切線，設切點分別為P，Q，則線段PQ的長為_ 當堂達標：1(教材改編)圓(x1)2(y2)26與直線2xy50的位置關系是()A相切 B相交但直線不過圓心C相交過圓心 D相離2若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點，則實數a的取值范圍是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)3(2014

7、·湖南)若圓C1：x2y21與圓C2：x2y26x8ym0外切，則m等于()A21 B19 C9 D114(2015·山東)一條光線從點(2，3)射出，經y軸反射后與圓(x3)2(y2)21相切，則反射光線所在直線的斜率為()A或 B或C或 D或5(教材改編)圓x2y240與圓x2y24x4y120的公共弦長為_鞏固提高案 日積月累 提高自我1(2015·廣東)平行于直線2xy10且與圓x2y25相切的直線的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy02已知直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)24相交

8、于A、B兩點，且ABC為等邊三角形，則實數a的值為()A4 B4C4± D4±3若圓C1：x2y22axa290(aR)與圓C2：x2y22byb210 (bR)內切，則ab的最大值為()A. B2 C4 D24過點P(3,1)作圓C：(x1)2y21的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy305若直線ykx與圓(x2)2y21的兩個交點關于直線2xyb0對稱，則k，b的值分別為()A.，4 B，4C.，4 D，46(2015·山東)過點P(1，)作圓x2y21的兩條切線，切點分別為A，B，則·

9、_.7已知曲線C：x，直線l：x6，若對于點A(m,0)，存在C上的點P和l上的點Q使得0，則m的取值范圍為_8在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是_9已知以點C(t，)(tR，t0)為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為原點(1)求證：OAB的面積為定值；(2)設直線y2x4與圓C交于點M，N，若|OM|ON|，求圓C的方程10(2014·課標全國)已知點P(2,2)，圓C：x2y28y0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為

10、坐標原點(1)求M的軌跡方程；(2)當|OP|OM|時，求l的方程及POM的面積學案9.4 直線與圓、圓與圓的位置關系自主預習案 自主復習 夯實基礎【雙基梳理】1判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系d<r相交；dr相切；d>r相離(2)代數法：【知識拓展】圓的切線方程常用結論(1)過圓x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0xy0yr2.(2)過圓(xa)2(yb)2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過圓x2y2r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩

11、切點所在直線方程為x0xy0yr2.2圓與圓的位置關系設圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0).幾何法：圓心距d與r1，r2的關系代數法：聯立兩圓方程組成方程組的解的情況相離d>r1r2無解外切dr1r2一組實數解相交|r1r2|<d<r1r2兩組不同的實數解內切d|r1r2|(r1r2)一組實數解內含0d<|r1r2|(r1r2)無解【知識拓展】常用結論(1)兩圓的位置關系與公切線的條數：內含：0條；內切：1條；相交：2條；外切：3條；相離：4條(2)當兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數相同)相減

12、便可得公共弦所在直線的方程【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件(×)(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數解，則兩圓外切(×)(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交(×)(4)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程(×)(5)過圓O：x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0xy0yr2.()(6)過圓O：x2y2r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B

13、四點共圓且直線AB的方程是x0xy0yr2.()考點探究案 典例剖析 考點突破考點一 直線與圓的位置關系例1(1)已知點M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關系是()A相切 B相交C相離 D不確定(2)若過點(1,2)總可以作兩條直線與圓x2y2kx2yk2150相切，則實數k的取值范圍是_(3)已知方程x20有兩個不等實根a和b，那么過點A(a，a2)，B(b，b2)的直線與圓x2y21的位置關系是_答案(1)B(2)(3)相切解析(1)因為M(a，b)在圓O：x2y21外，所以a2b2>1，而圓心O到直線axby1的距離d<1.所以直線與圓相交(2)把

14、圓的方程化為標準方程得2(y1)216，所以16>0，解得<k<.由題意知點(1,2)應在已知圓的外部，把點代入圓的方程得14k4k215>0，即(k2)(k3)>0，解得k>2或k<3，則實數k的取值范圍是.(3)由題意可知過A，B兩點的直線方程為(ab)xyab0，圓心到直線AB的距離為d，而ab，ab，因此d，化簡后得d1，故直線與圓相切變式訓練：已知直線l：ykx1，圓C：(x1)2(y1)212.(1)試證明：不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點；(2)求直線l被圓C截得的最短弦長(1)證明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因為(

15、4k2)228(k21)>0，所以不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點(2)解設直線與圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則直線l被圓C截得的弦長|AB|x1x2|22 ，令t，則tk24k(t3)0，當t0時，k，當t0時，因為kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值為4，此時|AB|最小為2. 考點二 圓與圓的位置關系例2(1)圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關系為()A內切 B相交C外切 D相離(2)過兩圓x2y24xy1，x2y22x2y10的交點的圓中面積最小的圓的方程為_(3)如果圓C：x2y22ax2ay2a240與圓O

16、：x2y24總相交，那么實數a的取值范圍是_答案(1)B(2)22(3)(2，0)(0,2)解析(1)兩圓圓心分別為(2,0)和(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d.32<d<32，兩圓相交(2)由得2xy0，代入得x或1，兩圓兩個交點為，(1，2)過兩交點的圓中，以，(1，2)為端點的線段為直徑的圓時，面積最小該圓圓心為，半徑為，圓的方程為22.(3)C的標準方程為(xa)2(ya)24，圓心坐標為(a，a)，半徑為2.依題意得：0<<22，0<|a|<2.a(2，0)(0,2) 變式訓練：(1)圓C1：x2y22y0，C2：x2y22x60的位置關系為

17、()A相離 B外切C相交 D內切答案D解析圓C1：x2y22y0的圓心為C1(0,1)，半徑r11，圓C2：x2y22x60的圓心為C2(，0)，半徑r23，|C1C2|2，又r1r24，r2r12，|C1C2|r2r12，圓C1與C2內切(2)設M(x，y)|y，a>0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a>0，且MN，求a的最大值和最小值解M(x，y)|y，a>0，即(x，y)|x2y22a2，y0，表示以原點O為圓心，半徑等于a的半圓(位于橫軸或橫軸以上的部分)N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a>0，表示以O(1，)為圓心，半徑等于a的一個圓再由MN，可

18、得半圓和圓有交點，故半圓和圓相交或相切當半圓和圓相外切時，由|OO|2aa，求得a22；當半圓和圓相內切時，由|OO|2aa，求得a22，故a的取值范圍是22,22，a的最大值為22，最小值為22.考點三：直線與圓的綜合問題命題點1求弦長問題例3(2015·課標全國)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圓交y軸于M、N兩點，則|MN|等于()A2 B8 C4 D10答案C解析由已知，得(3，1)，(3，9)，則·3×(3)(1)×(9)0，所以，即ABBC，故過三點A、B、C的圓以AC為直徑，得其方程為(x1)2(y2)225，令x0得(y2

19、)224，解得y122，y222，所以|MN|y1y2|4，選C.命題點2由直線與圓相交求參數問題例4(2015·課標全國)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(1)求k的取值范圍；(2)若·12，其中O為坐標原點，求|MN|.解(1)由題設，可知直線l的方程為ykx1，因為直線l與圓C交于兩點，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.·x1x2y1y2(

20、1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設可得812，解得k1，所以直線l的方程為yx1.故圓心C在直線l上，所以|MN|2.命題點3直線與圓相切的問題例5(1)過點P(2,4)引圓(x1)2(y1)21的切線，則切線方程為_；答案x2或4x3y40解析當直線的斜率不存在時，直線方程為x2，此時，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線方程為y4k(x2)，即kxy42k0，直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，即d1，解得k，所求切線方程為xy42×0，即4x3y40.綜上，切線方程為x2或4x3y40.(2)已知圓C：(x1)2(y2)210

21、，求滿足下列條件的圓的切線方程與直線l1：xy40平行；與直線l2：x2y40垂直；過切點A(4，1)解設切線方程為xyb0，則，b1±2，切線方程為xy1±20；設切線方程為2xym0，則，m±5，切線方程為2xy±50；kAC，過切點A(4，1)的切線斜率為3，過切點A(4，1)的切線方程為y13(x4)，即3xy110.變式訓練：(1)過點(3,1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦長為_(2)過原點O作圓x2y26x8y200的兩條切線，設切點分別為P，Q，則線段PQ的長為_答案(1)2(2)4解析(1)設P(3,1)，圓心C(2,2)，

22、則|PC|，由題意知最短的弦過P(3,1)且與PC垂直，所以最短弦長為22.(2)將圓的方程化為標準方程為(x3)2(y4)25，則圓心為(3,4)，半徑長為.由題意可設切線的方程為ykx，則圓心(3,4)到直線ykx的距離等于半徑長，即，解得k或k，則切線的方程為yx或yx.聯立切線方程與圓的方程，解得兩切點坐標分別為(4,2)，此即為P，Q的坐標，由兩點間的距離公式得|PQ|4. 當堂達標：1(教材改編)圓(x1)2(y2)26與直線2xy50的位置關系是()A相切 B相交但直線不過圓心C相交過圓心 D相離答案B解析由題意知圓心(1，2)到直線2xy50的距離d<且2×1(

23、2)50，所以直線與圓相交但不過圓心2若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點，則實數a的取值范圍是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)答案C解析由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為，即|a1|2，解得3a1.3(2014·湖南)若圓C1：x2y21與圓C2：x2y26x8ym0外切，則m等于()A21 B19 C9 D11答案C解析圓C1的圓心C1(0,0)，半徑r11，圓C2的方程可化為(x3)2(y4)225m，所以圓心C2(3,4)，半徑r2，從而|C1C2|5.由兩圓外切得|C1C2|r1r2，即15，解得m9，故選C.4(2015·山東)一條光線

24、從點(2，3)射出，經y軸反射后與圓(x3)2(y2)21相切，則反射光線所在直線的斜率為()A或 B或C或 D或答案D解析由已知，得點(2，3)關于y軸的對稱點為(2，3)，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線一定過點(2，3)設反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光線與圓相切，則有d1，解得k或k，故選D.5(教材改編)圓x2y240與圓x2y24x4y120的公共弦長為_答案2解析由得xy20.又圓x2y24的圓心到直線xy20的距離為.由勾股定理得弦長的一半為，所以，所求弦長為2.鞏固提高案 日積月累 提高自我1(2015&

25、#183;廣東)平行于直線2xy10且與圓x2y25相切的直線的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案A解析設所求直線方程為2xyc0，依題有，解得c±5，所以所求直線方程為2xy50或2xy50，故選A.2已知直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)24相交于A、B兩點，且ABC為等邊三角形，則實數a的值為()A4 B4C4± D4±答案C解析易知ABC是邊長為2的等邊三角形故圓心C(1，a)到直線AB的距離為.即，解得a4±.3若圓C1：x2y22axa290(aR)與圓C2：x2

26、y22byb210 (bR)內切，則ab的最大值為()A. B2 C4 D2答案B解析圓C1：x2y22axa290 (aR)化為：(xa)2y29，圓心坐標為(a,0)，半徑為3.圓C2：x2y22byb210 (bR)，化為x2(yb)21，圓心坐標為(0，b)，半徑為1，圓C1：x2y22axa290 (aR)與圓C2：x2y22byb210 (bR)內切，31，即a2b24，ab(a2b2)2.ab的最大值為2.4過點P(3,1)作圓C：(x1)2y21的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30答案A解析如圖所示：由題意知：

27、ABPC，kPC，kAB2，直線AB的方程為y12(x1)，即2xy30.5若直線ykx與圓(x2)2y21的兩個交點關于直線2xyb0對稱，則k，b的值分別為()A.，4 B，4C.，4 D，4答案A解析因為直線ykx與圓(x2)2y21的兩個交點關于直線2xyb0對稱，則ykx與直線2xyb0垂直，且2xyb0過圓心，所以解得k，b4.6(2015·山東)過點P(1，)作圓x2y21的兩條切線，切點分別為A，B，則·_.答案解析由題意，圓心為O(0,0)，半徑為1.如圖所示，P(1，)，PAx軸，PAPB.POA為直角三角形，其中OA1，AP，則OP2，OPA30°，APB60°.·|·cosAPB××cos 60°.7已知曲線C：x，直線l：x6，若對于點A(m,0)，存在C上的點P和l上的點Q使得0，則m的取值范圍為_答案2,3解析曲線C：x，是以原點為圓心，2為半徑的半圓，并且xP2,0，對于點A(m,0)，存在C上的點P和l上的點Q使得0，說明A是PQ的中點，Q的橫坐標x6，m2,38在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使