1、知識回顧知識回顧 1.1.在平面幾何中在平面幾何中 角角 是怎樣定義的？是怎樣定義的？ 從一點出發的兩條射線所組成的圖形叫做角。從一點出發的兩條射線所組成的圖形叫做角。 或或: : 一條射線繞其端點旋轉而成的圖形叫做角。一條射線繞其端點旋轉而成的圖形叫做角。 2. 2.在立體幾何中在立體幾何中, ,異面直線所成的角異面直線所成的角 是怎樣是怎樣定義的？定義的？ 直線直線a a、b b是異面直線是異面直線, , 經過空間任意一點經過空間任意一點O,O,分別引直線分別引直線a /a, b/ b,a /a, b/ b,我們把相交直線我們把相交直線a a 和和 b b所成的銳角所成的銳角 （或直角）叫

2、做異面直線所成的（或直角）叫做異面直線所成的角。角。 3. 3.在立體幾何中在立體幾何中, ,直線和平面所成的角直線和平面所成的角 是怎是怎樣定義的？樣定義的？ 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角銳角, , 叫做這條直線和這個平面所成的角。叫做這條直線和這個平面所成的角。 思考：思考：異面直線所成的角、直線和平面所成的異面直線所成的角、直線和平面所成的角與有什么共同的特征？角與有什么共同的特征？ 它們的共同特征都是將三維空間的角轉化它們的共同特征都是將三維空間的角轉化為二維空間的角為二維空間的角, , 即平面角。即平面角。 一條一條直線直線上的一個

3、上的一個點點把這條把這條直線直線分成兩個分成兩個部分部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做射線射線。 一個一個平面平面內的一條內的一條直線直線把這個把這個平面平面分成兩分成兩個部分，其中的每一部分都叫做個部分，其中的每一部分都叫做半平面半平面。 llA 定義定義: :從一條從一條直線直線出發的兩個出發的兩個半平面半平面所組成的所組成的圖形叫做圖形叫做二面角二面角。 這條直線叫做這條直線叫做二面角的棱二面角的棱。 這兩個半平面叫做這兩個半平面叫做二面角的面二面角的面。 l B o A 二面角由二面角由半平面半平面-線線-半平面半平面構成。構成。 平面角由平面角由射線射線-點點-射線射線構

4、成。構成。 二面角的表示二面角的表示 二面角?l?二面角?AB?Q B P 二面角P?l?Q二面角P?AB?Q? ? A l ? ? 二面角的畫法二面角的畫法 F E B ? ? l A ? ? D C C B D A 二面角二面角? ? l ? ? 二面角二面角CAB D 角角 A 邊邊 圖形圖形 頂點頂點 O 邊邊 B A 二面角二面角 ? 面面 ? 棱棱 a B 面面 定義定義 從一條直線出發的兩個從一條直線出發的兩個從一點出發的兩條射線從一點出發的兩條射線半平面所組成的圖形叫半平面所組成的圖形叫所組成的圖形叫做所組成的圖形叫做角角。 做做二面角二面角。 邊邊點點邊邊 （頂點）（頂點）

5、AOB 面面直線直線面面 （棱）（棱） 二面角二面角?l? 或二面角或二面角?AB ? 構成構成 表示法表示法 二面角的度量二面角的度量 以二面角的以二面角的棱棱上任意一上任意一點為端點，在點為端點，在兩個面內兩個面內分別分別作作垂直垂直于棱的兩條射線，這于棱的兩條射線，這兩條射線所成的兩條射線所成的角角叫做叫做二面二面角的平面角角的平面角。 二面角的平面角的三個特征二面角的平面角的三個特征: : 1.點在棱上點在棱上 2.線在面內線在面內 B? ? BD3.與棱垂直與棱垂直 O?l OCA? ? A?二面角的大小的范圍二面角的大小的范圍: : 0?180?平面角是直角的二面角叫做直二面角平面

6、角是直角的二面角叫做直二面角. 例例1:在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中中 求求:二面角二面角D-AB-D的大小的大小 求求:二面角二面角A-AB-D的大小的大小 A D A D B C C B 例例2:已知銳二面角已知銳二面角? ? l ? ? ，A為面為面? ? 內一點內一點，A到到? ? 的距離為的距離為 2 3，到到 l 的距離為的距離為 4，求，求二面角二面角 ? ? l ? ? 的大小。的大小。 A ? ? D O l ? ? 解解： A作作 AO? ? 于于O，過，過 O作作 OD l 于于D，連，連AD 過過l? 平面?AOl, OD l l平面平面AOD AD?

7、平面AOD得得 AD l AO? ? ADO就是二面角就是二面角 ? ? l ? ? 的平面角的平面角 AO為為 A到到? ?的距離的距離 ， AD為為 A到到 l 的距離的距離 AO=2 ，AD=4 3A 在在Rt ADO中，中， 2 33? ? AO ?sinADO= AD 24D O ADO =60 l ? ? 二面角二面角 ? ? l ? ? 的大小為的大小為60 從一條直線出發的兩個半從一條直線出發的兩個半 小結小結:二二 面面 角角 1、二面角的平面角、二面角的平面角 平面所組成的圖形叫做二平面所組成的圖形叫做二 必須滿足三個條件必須滿足三個條件面角。這條直線叫做二面面角。這條直線

8、叫做二面 二二 面面 角角 ? ?AB ? ? 2、二面角的平面角、二面角的平面角 角的棱。這兩個半平面叫角的棱。這兩個半平面叫1、根據定義作出來、根據定義作出來 二二 面面 角角 CAB D 的大小與的大小與 其頂點其頂點 做二面角的面。做二面角的面。 2、利用直線和平面垂、利用直線和平面垂 二二 面面 角角 ? ? l ? ? 直作出來直作出來 二、二面角的表示方法：二、二面角的表示方法： 在棱上的位置無關在棱上的位置無關 3、二面角的大小用、二面角的大小用 1、找到或作出二面角的平面角、找到或作出二面角的平面角 它的平面角的大它的平面角的大 三、二面角的平面角：三、二面角的平面角： 小來

9、度量小來度量2、證明、證明 1中的角就是所求的中的角就是所求的 角角 3、計算所求的角、計算所求的角 一、二面角的定義：一、二面角的定義： 四、二面角的平面角的作法：四、二面角的平面角的作法： 五、二面角的計算：五、二面角的計算： 一一“作作”二二“證證”三三“計算計算” 練習練習 如圖如圖，已知已知A、B是是120? ?的二的二面角面角? ?l? ?棱棱l上的兩點上的兩點，線段線段AC，BD分別在面分別在面? ?，? ?內內，且且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求求? l 線段線段CD的長。的長。 B C D ? A 練習練習 如圖如圖，已知已知A、B是是120? ?的二面的

10、二面角角? ?l? ?棱棱l上的兩點上的兩點，線段線段AC，BD分分別在面別在面? ?，? ?內內，且且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求線段求線段CD的長。的長。 分析：分析： OAC 120? ? AO=BD =1, AC=2 四邊形四邊形ABDO為矩形為矩形, DO=AB =3 ? B C l D ? A O CO? ?AC? ?AO? ?2AO? ?AC? ?COS120? ?7在在Rt COD中，中， 222? ?CD? ?CO? ?DO? ?7? ?3? ?4222練習練習 如圖如圖，已知已知A、B是是120? ?的二面的二面E ? 角角? ?l? ?棱棱l上的兩點

11、上的兩點，線段線段AC，BDl B ? 分別在面分別在面? ?，? ?內內，且且ACl，BDl ，D C AC=2，BD=1，AB=3，求線段求線段CD的長。的長。 O 解解：在平面：在平面? ?內，過內，過A作作AOl ，使使 A AO=BD, 連結連結CO、DO, 則則OAC就是就是 二面角二面角? ?l? ?的平面角，即的平面角，即 OAC 120? ?， BDl AOBD，四邊形四邊形ABDO為矩形為矩形, DO l ， AO=BD ACl ， AOl ， l 平面平面CAO AOl CODO BD=1 AO= 1，在在OAC中，中，AC=2， 222? CO? ?AC? ?AO? ?

12、2AO? ?AC? ?COS120? ?7在在Rt COD中，中，DO=AB=3 ? ?CD? ?CO? ?DO? ?7? ?3? ?4222面面垂直的判定面面垂直的判定 復習回顧：復習回顧： 從一條直線出發的兩個半從一條直線出發的兩個半 1、二面角的平面角、二面角的平面角 二二 平面所組成的圖形叫做平面所組成的圖形叫做 必須滿足三個條件必須滿足三個條件 面角面角。這條直線叫做。這條直線叫做二面二面2、二面角的平面角、二面角的平面角 角的棱角的棱。這兩個半平面叫。這兩個半平面叫1、根據定義作出來、根據定義作出來定義法定義法 的大小與的大小與 其頂點其頂點 做做二面角的面二面角的面。 2、利用直

13、線和平面垂直作出來、利用直線和平面垂直作出來 垂線垂面法垂線垂面法 二、二面角的表示方法：二、二面角的表示方法： 在棱上的位置無關在棱上的位置無關 3、二面角的大小用、二面角的大小用 1、找到或作出二面角的平面角、找到或作出二面角的平面角 它的平面角的大它的平面角的大 三、二面角的平面角：三、二面角的平面角： 小來度量小來度量2、證明、證明 1中的角就是所求的中的角就是所求的 角角 3、計算所求的角、計算所求的角 二二 面面 角角 ? ?AB ? ? 二二 四、二面角的平面角的作法：四、二面角的平面角的作法：面面 角角 CAB D 二二 面面 角角 ? ? l ? ? 一、二面角的定義：一、二

14、面角的定義： 五、二面角的計算：五、二面角的計算： 一一“作作”二二“證證”三三“算算” 22 觀察下面兩個圖形觀察下面兩個圖形,它們之間有什么關系它們之間有什么關系? 一、兩個平面垂直的定義一、兩個平面垂直的定義 BAO 如果兩個平面相交如果兩個平面相交所成的二面角是直二所成的二面角是直二面角，那么我們稱這面角，那么我們稱這兩個平面相互垂直兩個平面相互垂直. . 記作：記作： 畫法：畫法： 二、兩個平面垂直的判定定理二、兩個平面垂直的判定定理 如果一個平面經過另一個平面的一條垂如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直線，那么這兩個平面互相垂直 A已知：已知：ABAB，AB

15、AB? ? . . 求證：求證：。 C?BE 證明證明 ：設設=CD=CD， ABAB，CDCD? ?，ABCDABCD 在平面在平面內過點內過點B B作直線作直線BECDBECD，則，則ABEABE是二面角是二面角-CD-CD-的平面角，的平面角， 而而ABBEABBE，故，故-CD-CD-是直二面角是直二面角 。 D兩個平面垂直的判定定理：兩個平面垂直的判定定理： 如果一個平面如果一個平面經過經過另一個平面的另一個平面的一條垂線一條垂線，那么這兩個平面，那么這兩個平面互相垂直互相垂直. . 線線垂直線線垂直 線面垂直線面垂直 面面垂直面面垂直 例題講解：例題講解： 例例1：在正方體在正方體

16、ABCDA1B1C1D1中中, 求證：平面求證：平面AA1C1C平面平面BB1D1D D1 A1 B1 C1 D A C 例例2如右圖：如右圖：A是是BCD所在平面外一點，所在平面外一點，AB=AD，ABC=ADC=90，E是是BD的中點，的中點，若將此條件改為若將此條件改為求證：平面求證：平面AEC平面平面ABD BAC=DAC=90，證明：證明： ABC=ADC=90 A AB=AD，AC=AC . ABC ADC. CB=CD 又又 AB=AD， E是是BD的中點，的中點， AE BD， CE BD, B AE EC=E， BD 平面平面AEC. E 又又BD在平面在平面BCD內，內，

17、平面平面AEC平面平面ABD D 則結論成立嗎？則結論成立嗎？ C 例例3 3在空間四邊形在空間四邊形ABCDABCD中中, ,若若AB=BC, AB=BC, AD=CD,EAD=CD,E為對角線為對角線ACAC的中點的中點. . A 求證求證: :平面平面ABCABC平面平面BDE BDE E B D C 課堂練習課堂練習 一、判斷：一、判斷： 1.如果平面如果平面內有一條直線垂直于平面內有一條直線垂直于平面內內的一條的一條 直線，則直線，則.（ ） 2.如果平面如果平面內有一條直線垂直于平面內有一條直線垂直于平面內的兩條直線，則內的兩條直線，則.（ ） 3. 如果平面如果平面內的一條直線垂

18、直于平面內的一條直線垂直于平面內的內的兩條相交直線兩條相交直線, 則則.（ ） 4.若若m，m/，則，則.( ) 二、填空題：二、填空題： 無數無數個平面個平面 1.過平面過平面的一條垂線可作的一條垂線可作_ 與平面與平面垂直垂直. 無數無數 個平面與已知平面垂直個平面與已知平面垂直. 2.過一點可作過一點可作_3.過平面過平面的一條斜線，可作的一條斜線，可作_一一 個平個平 面與平面與平面面垂直垂直. 一一 個平面與個平面與4.過平面過平面的一條平行線可作的一條平行線可作_垂直垂直. 三、證明題：三、證明題： 在空間四邊形在空間四邊形ABCDABCD，AB=BCAB=BC，AD=CDAD=CD， E E、F F、G G分別是分別是ADAD、CDCD、ACAC的中點的中點. . ? ?A 求證求證: :平面平