1、奮斗沒有終點任何時候都是一個起點2016年浙江省嘉興市高考數學一模試卷（理科）一、選擇題（本大題共 8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的）1 .函數f1的最正周期為（）A.7TB.C.兀 D. 2兀信達2.設函數fW =則ff （1）的值為（2x x=C 012x 340A. - 6 B. 0C. 4D. 53 .設變量x, y滿足約束條件：,則目標函數z=2x+3y+4的最小值為()2K y 340A. 10B. 11C. 12D. 274 .右a是第二象限角，t.丁U二三,貝+值)=()_ 334, 3；A. B. C.言D. 土餐5|5|55

2、：5 .已知 f (x) =ax3+b3M+4 (a, b C R), flg (log 32) =1 ,則 flg (log 23)的值為()A. - 1 B. 3C. 7D. 8其中 AB=Vt+i|，AD=Vi+2，貝感麗=(6.如圖，B、D是以AC為直徑的圓上的兩點,D. 2t(a>0, b>0),若焦點F (c, 0)關于漸近線x的對稱點在另一條漸近線y=x上，則雙曲線的離心率為(A. B. 2C. . : D. 38 .已知三棱錐 ABC邛,AB±CD且AB與平面BCD成60°角.當的值取到最大值S&BCDSAACDA. 30° B

3、, 45° C.60° D. 90°時，二面角A- CD- B的大小為(二、填空題(本大題共 7小題，共36分)9 .設全集 U=R 集合 A=x|1 <xW3, B=x|x >2,則 AA B=, AU B=, AA (? rB) =.10 .已知命題p：“若a2=b2,則a=b",則命題p的否命題為 ,該否命題是一個 命題.(填“真"，"假”)11 .如圖是一個幾何體的三視圖，正視圖是邊長為2的正三角形，俯視圖是等腰直角三角形，該幾何體的表面積為,體積為.12 .若函數f (x)是哥函數，則f (1) =,若滿足f (

4、4) =8f (2),則£得)=.13 .空間四點 A、B C D滿足|AB|=1 , |CD|=2 , E、F分別是AD. BC的中點，若 AB與CD 所在直線的所成角為 60。，則|EF|= .14 .已知F1, F2分別是橢圓C: 二9+3=1 (a>b>0)的左右焦點，A是其上頂點，且AF1F2是等腰直角三角形，延長AF2與橢圓C交于另一點B,若AFiB的面積為6,則橢圓C的方程為.15 .已知等差數列an?兩足 a9V0,且 a8> |a 9 ,數列bn滿足 bn=anan+1an+2 (nC N), b n的 前n項和為Sn,當S取得最大值時，n的值為.

5、三、解答題(本大題共 5小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 16.在 ABC中，角 A B、C分別是邊a、b、c的對角，且 3a=2b,(I )若 B=60° ,求 sinC 的值；(n)若 b - C=g,求 cosC 的值.17 .如圖，平行四邊形 ABCDL平面 CDE AD=DC=DE=4 / ADC=60 , AD± DE(I )求證：DE1平面 ABCD(n)求二面角 C- AE- D的余弦值的大小.18 .已知函數 f (x) =x2+ax+1,(I )設g (x) = (2x - 3) f (x),若y=g (x)與x軸恰有兩個不同的交

6、點，試求a的取值集合；(n)求函數y=|f (x) |在0, 1上的最大值.19.過離心率為坐的橢圓222C：的右焦點/b2F (1, 0)作直線l與橢圓C交于不同的兩點 A B,設|FA|二入|FB| , T (2, 0).(I)求橢圓C的方程；(n)若1W入w 2,求 ABT中AB邊上中線長的取值范圍.20.數列an各項均為正數，a1=7,且對任意的n N*,者B有an+1=an+can2 (c>0). zc c 1(1)求不式+!它的值；(2)若c=-,是否存在nCN,使得an> 1,若存在，試求出n的最小值，若不存在,2016請說明理由.2016年浙江省嘉興市高考數學一模試

7、卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題(本大題共 8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的)1.函數f (工)=sin2K+J3cci52箕的最正周期為()r 兀八r cB. C.兀 D. 2 Tl2三角函數的周期性及其求法. X由已知利用兩角和的正弦函數公式化簡函數解析式可得f (x) =2sin (2xr),JA.【考點】【分析】利用三角函數的周期公式即可求值得解.【解答】B： f Cx)=sin2x+/3cos2x=2sin (2x+-), J口 ,2兀I二取小正周期 T=;r-=兀.故選：C.2.設函數 式工)二<，則ff (1)的值為(

8、)2x 工< 0A. - 6 B. 0C. 4D. 5【考點】分段函數的應用；函數的值.【分析】直接利用分段函數化簡求解即可.工 2 - 4 j 0【解答】 解：函數-，貝U ff (1) =f (1 4) =f ( 3) =- 6.2 x<o故選：A.3.設變量x, y滿足約束條件:* K-y+1)。,則目標函數z=2x+3y+4的最小值為()- v - 340A. 10 B. 11 C. 12 D. 27【考點】簡單線性規劃.【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解, 聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數得答案.k+l 3Ao【解答】

9、解：由約束條件J x-y+l>0 作出可行域如圖，2s- y - 340(x4-y -* 3=0聯立,解得A (2, 1),2k - y - 3=0，一一一一 .、，2 仝 M化目標函數 z=2x+3y+4為尸 - w用,9 H 4由圖可知，當直線 尸-巨肝 過A時，直線在y軸上的截距最小,z有最小值為11.33故選：B.7)=()4 .若“是第二象限角,C.A.【考點】兩角和與差的正切函數；兩角和與差的余弦函數.【分析】由條件利用同角三角的基本關系，三角函數在各個象限中的符號，求得cos(4卜n)的值.7T714 miM/十“)冗【解答】解：a是第二象限角， 3七十。)1=，口r+a為

10、第三項象U1限角.- sin Jr+Q )+ms (十篁)=1, sin -十篁)<0, cos -十Q) <0, JU'J ,丸3求得GOM (+篁) = - -,故選：A.5 .已知 f (x) =ax3+bMi+4 (a, b C R), flg (log 32)=1 ,則 flg (log。)的值為()A. - 1 B. 3C. 7D. 8【考點】奇偶性與單調性的綜合；函數的值.【分析】易判lg (log 23)與lg (log互為相反數，構造函數f (x) =g (x) +4,即g (x)=ax3+b30，利用g (x)的奇偶性可求結果.【解答】 解：,lg (l

11、og 23) +lg (log 32)=lg (log 23?10g 32)=lg1=0 ,1 lg (log 23)與 lg (log 32)互為相反數，令 f(x)=g (x) +4,即 g(x) =ax3+b3|,易知 g (x)為奇函數，則 g(lg(log 23) +g (lg(log 32) =0, f (lg (log 23) +f (lg (log 32) =g (lg (log I) +4+g (lg (log 32) +4=8,又 f (lg (log 23) =1, f (lg (log 32) =7,故選：C6 .如圖，B、D是以AC為直徑的圓上的兩點， 其中ABWIT

12、il，貝感而二（）A. 1 B. 2C. tD. 2t【考點】向量在幾何中的應用.【分析】 可連接CD CB,從而得到CDL AD, BC1AB,這便可得到|AC|cogZDAC=|AI) |，|AC|cogZBAC=AB b從而得出 至森工唯“也,不二|75- I屈|工 帶入AD=V t+2, A&=、便可求出 匠*標的值.【解答】解：如圖，連接 CD CB;,AC為直徑；.-.CD± AD, BC± AB;=- -r r.=I ,二：. t|1 .:i門：=t+2 - ( t+1 ) =1.故選A.7 .已知雙曲線J=1 (a>0, b>0),若焦點

13、F (c, 0)關于漸近線y上x的對稱點在U礴a另一條漸近線y=-kx上，則雙曲線的離心率為()aA.-： B. 2C.- D. 3【考點】雙曲線的簡單性質.【分析】首先求出Fi到漸近線的距離，利用焦點 F (c, 0)關于漸近線y上x的對稱點在另一條漸近線y=-x±,可得直角三角形，即可求出雙曲線的離心率.a【解答】解：由題意，Fi (- c, 0), F2 (c, 0), k be 設一條漸近線方程為 y=x,則Fi到漸近線的距離為=;=b.aV 整+/設Fi關于漸近線的對稱點為 M FiM與漸近線交于 A, |MFi|=2b , A為FiM的中點,又焦點F (c, 0)關于漸近

14、線y上a的對稱點在另一條漸近線y=-二x上，aa.OA/ F2M 1 / FiMF為直角,MFF2為直角三角形，由勾股定理得4c2=c2+4b23c2=4 (c2- a2),c2=4a2,1. c=2a , 1. e=2.故選：B.iabcd8.已知三棱錐 ABC邛，AB±CD且AB與平面BCD成60°角.當的值取到最大值SAACD時，二面角A- CD- B的大小為()A. 30° B, 45° C. 60° D, 90°【考點】 二面角的平面角及求法.s【分析】根據直線和平面所成的角，求出 產旦的值取到最大值時的條件，進行求解即可.

15、【解答】 解：過A作AOL平面BCD連接BO并延長交CD于E,連接AE,貝U BE是AB在底面BCD141射影，則/ABE=60 ,-. AB± CD AOL CD,.-.A0±¥面 ABE,即 AE± CD則/ AEB是二面角 A- CD- B的平面角，則紅星空里，S*CD抑曲蛆要使注里的值取到最大值，則 叫取得最大，IAACD時由正弦定理得巴=吃“彳暨，AE smbO當sin / BAE取得最大值，即當/ BAE=90時取最大值.此時/ AEB=30 ,故選：A二、填空題(本大題共 7小題，共36分)9.設全集 U=R 集合 A=x|1 <x&

16、lt;3, B=x|x >2,則 AA B= x|2 <x< 3 , AU B= x|x >1, AA ( ?rB) = x|1 vx<2.【考點】交集及其運算；交、并、補集的混合運算.【分析】由A與B,求出兩集合的交集，并集，找出 A與B補集的交集即可.【解答】 解：.全集 U=R 集合 A=x|1 <x<3 , B=x|x >2,即？RB=x|x v 2,.An B=x|2 <x< 3, AU B=x|x >1, AA ( ?RB) =x|1 <x<2, 故答案為：x|2 <x< 3, x|x >

17、;1, x|1 <x<2 10.已知命題p：“若a2=b2,則a=b",則命題p的否命題為 若a2w b2則aw b ,該否命題 是一個 真 命題.(填“真”，"假”)【考點】四種命題間的逆否關系；四種命題的真假關系.【分析】根據命題：“若p,則q”的否命題為“若p,則q"，寫出它的否命題，再判定真假性.【解答】 解：命題p： “若a2=b2,則a=b”，則命題p的否命題為“若 a2w b2,則awb”，該否命題是一個真命題.故答案為：“若a2w b2,則awb”，真.11 .如圖是一個幾何體的三視圖， 正視圖是邊長為2的正三角形，俯視圖是等腰直角三角

18、形,該幾何體的表面積為144V5 +5 ,體積為.3【考點】由三視圖求面積、體積.【分析】由三視圖可知：該幾何體為一個三棱錐 P-ABC底面 ABC是等腰直角三角形，PBC是邊長為2的正三角形，且平面 PBCL底面ABC利用三角形面積計算公式、三棱錐的 體積計算公式即可得出.【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為一個三棱錐 P- ABC底面 ABC是等腰直角三角形, PBC是邊長為2的正三角形，且平面 PBCL底面ABC，該幾何體的表面積為=X 224卜唔=4+6+小，11?-體積V='=3/33故答案分別為：4+Vs+Vt；2坐12.若函數f (x)是哥函數，則f (1) = 1 ,若

19、?足f (4) =8f (2),則f(4) 【考點】函數的值.【分析】設f (x) =x"，由哥函數的性質能求出結果.【解答】 解：:函數f (x)是募函數，設 f (x) =x",.f (1) =1,滿足 f (4) =8f (2),.4'=8X2"，解得 a =3,吟=佳故答案為:1,2713 .空間四點 A、B C D滿足|AB|=1 , |CD|=2 , E、F分別是AD BC的中點，若 AB與CD所在直線的所成角為 60。，則|EF|= 區或也.rrrrri【考點】點、線、面間的距離計算.FO/ AB,且 |FO|= , /【分析】 取BD中點O

20、,連結EO FO,推導出EO/ CD且|EO|=1 ,EOF （或其補角）是異面直線 AB與CD所成的角，由此能求出EF.【解答】解：取BD中點0,連結EO FQ四面體ABC邛，|AB|=1 , |CD|=2 , E、F分別為BG AD的中點，且異面直線 AB與CD所成的角為60° ,EO/ CD 且 |EO|=1 , FO/ AB,且 |FO|二 / EOF（或其補角）是異面直線 AB與CD所成的角, ./ EOF=60 或 120° ,/ EOF=60 ,/EOF=120 ,EF=.I -14 .已知Fi, F2分別是橢圓 C: +-=1 （a>b>0）的左

21、右焦點，A是其上頂點，且AFF2是等腰直角三角形，延長 AF2與橢圓C交于另一點B,若ARB的面積為6,則橢圓C的方22程為 J 4馬二二1 .99【考點】橢圓的簡單性質.22【分析】由AF1F2是等腰直角三角形，可得 b=c,可設橢圓的標準方程為：/一十 J=1 (b2b?>0).在 RtABFi 中，由勾股定理可得：| 2+|AB| 2二|F?B | 2, |AFz|=|AF 產退' 設|BF2|=m,貝U |BFi|=2a m=2/b m, 2b2+(&b+m) ?=(2臟匕-m) ,又京|AF1 | |陽信 X百bx (&b+m)=6,聯立解出即可得出.【

22、解答】解：. AF1F2是等腰直角三角形，b=c,22可設橢圓的標準方程為：=+tt=1 (b>0).在 RtABF 中，由勾股定理可得：lAFi I 2+|AB| 2=|F2B I 2,|AF2|=|AF i|4/2b,設 |BF2|=m,則 |BFi|=2a - m=2b - m代入可得：2b2+(&b+ni)1電屏-m)2,又白|A1| |AB|4x百bx【企卜+加=6,聯立解得b2號，22橢圓的標準方程為：工斗_4L=i .9故答案為:15.已知等差數列an滿足 a9<0,且 a8> |a 9| ,數列bn滿足 bn=anan+1an+2 (nC N*), b

23、 n的 前n項和為當S取得最大值時，n的值為 8 .【考點】等差數列的前n項和.【分析】設等差數列an的公差為d,由滿足a9< 0,且a8>|ag| ,可得d< 0, a&> - ag> 0, 因此當 nw8 時，an>0;當 n>9 時，anv 0. Sn=a1a2a3+a2a3a4+a6a7a8+a7a8a9+a8a9al0+a9a10ali+ +anan+an+2,當 nW 6 時，Sn 的每一'項都大于 0,當 n>9 時，anan+en+2V 0,只要計算 a7a8a9+a8a9a10 與0的關系即可得出.【解答】 解：

24、,設等差數列an的公差為d, 滿足a9V 0,且a8>|a9|, dv 0, ag+a9>0,a&> a9>0).二當 nw 8時，an>0;當 n>9 時，an<0.S=a1a2a3+a2a3a4+a6a7a8+a7a8a9+a8a£10+29a 10311+2口2口+何口+2)當nW6時，&的每一項都大于 0,當n>9時，anan+初n+2V。，而 a7a8a9V 0, a8a9a10°,并且因此當Sn取得最大值時，n=8.故答案為：8.a7+a1o)=a8a9 (a&+a9)> 0,三、解答

25、題(本大題共 5小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16 .在 ABC中，角 A B、C分別是邊a、b、c的對角，且 3a=2b,(I )若 B=60° ,求 sinC 的值；(n)若 b - g,求 cosC 的值. J【考點】正弦定理.【分析】(I )利用正弦定理化簡已知可得3sinA=2sinB ,由已知可求sinA ,利用大邊對大角可得A為銳角，可求cosA,利用三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式即可求sinC的值.cosC的值.(n)設a=2t, b=3t,由已知可求g=b一1利用余弦定理即可得解【解答】(本題滿分為14分) 解：(I)在 ABC中,

26、 3a=2b, . 3sinA=2sinB. a：b=2： 3,，解得 sinA=y-又丁 B=60° ,代入得 3sinA=2sin60sinC=gin(A+B)=sinAcosB+cosAsi*, 6(n )設 a=2t, b=3t,貝U g=b 一 二戶?, «J JcosC_ 2ab =2X-(2t)3<(3t)2717 .如圖，平行四邊形 ABCDL平面 CDE AD=DC=DE=4 / ADC=60 , AD± DE(I )求證：DE1平面 ABCD(n)求二面角 C- AE- D的余弦值的大小.【考點】直線與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法

27、.【分析】（I）過 A作AH，DC交DC于H證明AHL DE, AD± DE然后證明D已平面ABCD（n ）過 C作CML AD交AD于M,過 C作CNL AE交AE于N,連接 MN說明/ CNM是所求 二面角的一個平面角.然后求解即可.【解答】（本題滿分15分）證明：（I ）過 A作AHI DC交DC于H.平行四邊形ABCDL平面CDE .AH,平面 CDE又丁 DE?平面CDE-.AHI± DE 由已知 AD± DE ,AHA AD=A 由得，DE1平面ABCD解：（口）過 C作CMLAD交AD于M,過C作CN!AE交AE于N,連接MN由（I ）得DE1平面A

28、BCD又 DE?平面ADE平面ADEL平面ABCD .CML AE,又 CN垂直 AE,且 CMT CN=C二AE，平面CMN得角CNM是所求二面角的一個平面角.X . CM=23,18.已知函數 f (x) =x2+ax+1,(I )設g (x) = (2x - 3) f (x),若y=g (x)與x軸恰有兩個不同的交點，試求a的取值集合；(n)求函數y=|f (x) |在0, 1上的最大值.【考點】函數的最值及其幾何意義.【分析】(I)分類討論，從而由 f (x) =0恰有一解及f (x) =0有兩個不同的解求得；(n)分類討論，從而確定二次函數的單調性及最值，從而確定函數y=|f (x)

29、 |在0,1上的最大值.【解答】解：(I) (1)若f (x) =0恰有一解，且解不為 , 即 a2-4=0,解得 a=±2;(2)若f (x) =0有兩個不同的解，且其中一個解為-y,代入得|亭十1二。，故kY;綜上所述，a的取值集合為-二，-2, 2.6(n) (1)若一號<0,即a>0時，函數y=|f (x) |在0, 1上單調遞增，故 ymax=f (1) =2+a;(2)若即-2vav0 時,此時 =a2- 4<0,且f (x)的圖象的對稱軸在(0, 1)上，且開口向上;f(0)s f (1) =max fl,(3)若 一 £>1，即 aw

30、 - 2 時,1 :此時 f (1) =2+a<0,y=max f(0)i ' f (l)=max 1, -2TUSK綜上所述,19.過離心率為 返2的橢圓F (1, 0)作直線l與橢圓C交于不同的兩點 A B,設|FA|二入|FB| , T (2, 0).(I)求橢圓C的方程；(n)若1W入w 2,求 ABT中AB邊上中線長的取值范圍.【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程.【分析】(I)由題意可得 巴=返，c=1, a2=b2+c2,聯立解出即可得出.2(n)當直線l的斜率為0時，不成立.于是可設直線l的方程為：my=x- 1,設A (xi, yj,B(X2, y2),與橢圓方程聯立可得：(m2+2) y2+2my- 1=0,由|FA|二入|FB| ,可得y產一入y2,再利用根與系數的關系代入可得:用AB邊上的中線長為 上|行+讀|寺&町+年力+%)2,及其二次函數的單 調性即可得出.【解答】解：(I) ,卜, c=1, a2=b2+c2,c=l=b,，橢圓C的方程為：竽4y二1.(n)當直線l的斜率為0時，顯然不成立.因此可設直線l的方程為：my=x- 1,設A(x1, y1)，B(X2, y2),直線l的方程與橢圓方程聯立可得：(