1、Xupeisen110 初中數學競賽 初中數學競賽試題一、選擇題共5小題，每題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分1非零實數a，b 滿足 ，那么等于 A1 B0 C1 D22如圖，菱形ABCD的邊長為a，點O是對角線AC上的一點，且OAa，OBOCOD1，那么a等于 第2題A B C1 D23將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數為，第二次擲出的點數為，那么使關于x，y的方程組 只有正數解的概率為 A B C

2、D4如圖1所示，在直角梯形ABCD中，ABDC，. 動點P從點B出發，沿梯形的邊由BCDA運動. 設點P運動的路程為x，ABP的面積為y. 把y看作x的函數，函數的圖像如圖2所示，那么ABC的面積為 A10 B16 C18 D32第4題圖2圖1 5關于x，y的方程的整數解x，y的組數為 A2組 B3組 C4組 D無窮多組二、填空題共5小題，每題7分，共35分6一個自行車輪胎，假設把它安裝在前輪，那么自行車行駛5000 km后報廢；假設把它安裝在后輪，那么自行車行駛 3000 km后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛

3、km 7線段AB的中點為C，以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點D，使得BDAC；再以點D為圓心，DA的長為半徑作圓，與A分別相交于F，G兩點，連接FG交AB于點H，那么的值為 8是滿足條件的五個不同的整數，假設是關于x的方程的整數根，那么的值為 9如圖，在ABC中，CD是高，CE為的平分線假設AC15，BC20，CD12，那么CE的長等于 1010個人圍成一個圓圈做游戲游戲的規那么是：每個人心里都想好一個數，并把自己想好的數如實地告訴他兩旁的兩個人，然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數的平均數報出來假設報出來的數如下圖，那么報3的人心里想的數是 第10題 三、解答題共4

4、題，每題20分，共80分11拋物線與動直線有公共點，且. 1求實數t的取值范圍； 2當t為何值時，c取到最小值，并求出c的最小值.12正整數滿足，且，求滿足條件的所有可能的正整數的和 13如圖，給定銳角三角形ABC，AD，BE是它的兩條高，過點作ABC的外接圓的切線，過點D，E分別作的垂線，垂足分別為F，G試比擬線段DF和EG的大小，并證明你的結論14n個正整數滿足如下條件：；且中任意n1個不同的數的算術平均數都是正整數求n的最大值參考答案一、選擇題共5小題，每題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括

5、號里，不填、多填或錯填都得0分1非零實數a，b 滿足 ，那么等于 A1 B0 C1 D2 【答】C解：由題設知a3，所以，題設的等式為，于是，從而12如圖，菱形ABCD的邊長為a，點O是對角線AC上的一點，且OAa，OBOCOD1，那么a等于 第2題A B C1 D2【答】A 解：因為BOC ABC，所以，即，所以， 由，解得3將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數為，第二次擲出的點數為，那么使關于x，y的方程組 只有正數解的概率為 A B C D 【答】D解：當時，方程組無解當時，方程組的解為由，得即或由，的實際意義為1，2，3，4

6、，5，6，可得共有 5×210種情況；或共3種情況又擲兩次骰子出現的根本領件共6×636種情況，故所求的概率為4如圖1所示，在直角梯形ABCD中，ABDC，. 動點P從點B出發，沿梯形的邊由BCDA運動. 設點P運動的路程為x，ABP的面積為y. 把y看作x的函數，函數的圖像如圖2所示，那么ABC的面積為 A10 B16 C18 D32第4題圖2圖1 【答】B解：根據圖像可得BC4，CD5，DA5，進而求得AB8，故SABC×8×416.5關于x，y的方程的整數解x，y的組數為 A2組 B3組 C4組 D無窮多組 【答】C解：可將原方程視為關于的二次方程

7、，將其變形為 由于該方程有整數根，那么判別式，且是完全平方數由 ，解得 于是01491611610988534顯然，只有時，是完全平方數，符合要求當時，原方程為，此時；當y4時，原方程為，此時所以，原方程的整數解為 二、填空題共5小題，每題7分，共35分6一個自行車輪胎，假設把它安裝在前輪，那么自行車行駛5000 km后報廢；假設把它安裝在后輪，那么自行車行駛 3000 km后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛 km 【答】3750解：設每個新輪胎報廢時的總磨損量為k,那么安裝在前輪的輪胎每行駛1 km磨損量為,安裝

8、在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為.又設一對新輪胎交換位置前走了x km，交換位置后走了y km.分別以一個輪胎的總磨損量為等量關系列方程,有 兩式相加，得 ，那么 7線段AB的中點為C，以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點D，使得BDAC；再以點D為圓心，DA的長為半徑作圓，與A分別相交于F，G兩點，連接FG交AB于點H，那么的值為 解：如圖，延長AD與D交于點E，連接AF，EF 由題設知，在FHA和EFA中，第7題所以 RtFHARtEFA，.而，所以.8是滿足條件的五個不同的整數，假設是關于x的方程的整數根，那么的值為 【答】 10解：因為，且是五個不同的整數，所有

9、也是五個不同的整數又因為，所以由，可得9如圖，在ABC中，CD是高，CE為的平分線假設AC15，BC20，CD12，那么CE的長等于 【答】解：如圖，由勾股定理知AD9，BD16，所以ABADBD25 故由勾股定理逆定理知ACB為直角三角形，且作EFBC，垂足為F設EFx，由，得CFx，于是BF20x由于EFAC，所以 ，即 ，第9題解得所以1010個人圍成一個圓圈做游戲游戲的規那么是：每個人心里都想好一個數，并把自己想好的數如實地告訴他兩旁的兩個人，然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數的平均數報出來假設報出來的數如下圖，那么報3的人心里想的數是 【答】 解：設報3的人心里想的數是，那么報5的

10、人心里想的數應是第10題于是報7的人心里想的數是 ，報9的人心里想的數是 ，報1的人心里想的數是 ，報3的人心里想的數是所以 ，解得三、解答題共4題，每題20分，共80分11拋物線與動直線有公共點，且. 1求實數t的取值范圍； 2當t為何值時，c取到最小值，并求出c的最小值.解：1聯立與，消去y得二次方程 有實數根，那么所以 = 5分把式代入方程得 10分t的取值應滿足0， 且使方程有實數根，即0， 解不等式得 -3或1，解不等式得 .所以，t的取值范圍為. 15分(2) 由式知.由于在時是遞增的，所以，當時,. 20分12正整數滿足，且，求滿足條件的所有可能的正整數的和解：由可得，且 5分因

11、為是奇數，所以等價于，又因為，所以等價于因此有，于是可得15分又，所以因此，滿足條件的所有可能的正整數的和為11192121010571 20分13如圖，給定銳角三角形ABC，AD，BE是它的兩條高，過點作ABC的外接圓的切線，過點D，E分別作的垂線，垂足分別為F，G試比擬線段DF和EG的大小，并證明你的結論解法1：結論是下面給出證明 5分因為，所以RtFCD RtEAB于是可得同理可得 10分第13A題又因為，所以有，于是可得 20分解法2：結論是下面給出證明 5分第13A題連接DE，因為，所以A，B，D，E四點共圓，故 10分又l是O的過點C的切線，所以 15分所以，于是DEFG，故DFEG 20分14n個正整數滿足如下