1、高等代數知識點總結首都師范大學數學科學院 11005000702第3頁共17頁第四章矩陣一. 矩陣及其運鼻1 矩陣的概念（1）由sxn個數知（i=l, 2.S； j=l,2n）排成n行n列的數表 丨矩陣，簡記為A = （n.）w o（2）矩陣的相等 設力= （）B = （%» ,如果m=h n=kt且嗎=,對i=E 2m； j=I，2n都成立，則稱A與E相等，記人=。（3）各種特殊矩陣 行矩陣，列矩陣，零矩陣，方陣（上）下三角矩陣，對角矩陣，數量矩陣，單 位矩陣。2. 矩陣的運算（1）矩陣的加法ai9l幾、+=4a z2bsn 7+ bsl運算規律：i) A+B=B+Ai) (A+E

2、 )+C=A+(E+C)iii) A+O=Aiv) A+(-A)=O(3)數與矩陣的乘法an如ka 4u如 kci運算規律：(k+1) A=kA+lA> k(A+B 尸 ka+kB k(lA)=(kl)A 1A=A(3)矩陣的乘法仏臥、5C: : 4bc C wrlmn /其中 cu = a也)+ ai2b2j +airtbnjJ = 1,2J = 1,2m運算規律：i) (AB) C=A(BC)i)A(E+C尸 AB+ACill) (B+C)A=BA+CAiv) k(AB)=A(kB)=(kA)E一般情況，AB HEAAB=AC,A HO 迭E=CAB=0 迭 A=0 或 B=0(4)

3、矩陣的轉置%仏、an aj4 = A的轉置就是指矩陣4'= 4U< Cllnasn )運算規律：i) (A) = Aii) (A + B)=A' + Biii) (AB) = BAiv) (kA) = kA(5)方陣的行列式<an叮鈕an設方陣4 = A的行列式為|4| = 門皿/運算規律：0 |皆|4|u) kA = kn |A|in) AB = AB = BA，這里 A.B 均為 n 級方陣。二. 矩陣的逆1 基本概念（1）矩陣可逆的定義n級方陣A稱為可逆的，如果有n級方陣使得AB=BA=E,這里E是單位矩陣。高等代數知識點總結首都師范大學數學科學院 11005

4、000704第7頁共17頁pzll設州是矩陣A = 中元素知的代數余子式，矩陣A =稱A的伴41 ann JA 一隨矩陣。2. 基本性質4*（1）矩陣A可逆的充分必要條件是A非退化（|4|工0）,而A_1 = -同（2）如果矩陣A, B可逆，那么A與AE也可逆，且（A）T=（ATj ）T=BW設A是sxn矩陣，如果P是sxs可逆矩陣，Q是11X11可逆矩陣，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）三. 分塊矩陣也0了解分塊矩陣的概念及運算，特別是準對角矩陣的性質。 對于兩個有相同分塊的準對角矩陣00、A =,B =如果它們相應的分塊是同級的，則<0<0（1）AB=、oA即A+d 0、（

5、2）A + B=、oA+坊丿 |a| = |a|A|.|4|0（4） A可逆的充要條件是A，九4可逆，且此時，A_1=、o四. 初等變換與初等方陣1 .基本概念（1）初等變換）用一個非零的數k乘矩陣的第1行（列）記作xkxk）©互換矩陣中1, j兩行（列）的位置，記作一 rjCxc,迪）將第I行（列）的k倍加到第j行（列）上，記作r + kr（c. x乜）稱為矩陣的三種初等行（列）矩陣。初等行，列變換稱為初等變換所得到的矩陣。（2）初等方陣單位矩陣經一次初等變換所得到的矩陣。、2.基本性質xn初等矩陣。.0）.0（1）對一個s xn矩陣A作一次初等行變換就相當于在A的左邊乘上相應的s

6、 x s初等矩陣；對A 作一次初等列變換就相當于在A的右邊乘上相應的n(I00（2）任意一個s xn矩陣a都與一形式為的等價，它稱為矩陣A的標準型,000<0主對角線上1的個數等于A的秩。（3）11級矩陣A為可逆的充分必要條件是，它能表示成一些初等矩陣的乘積。（4）兩個sxn矩陣A, E等價的充分必要條件是，存在可逆的s級矩陣P與可逆的n級矩陣Q,使B=PAQo3. 用初等變換求逆矩陣的方法把n級矩陣A.E這兩個nxn矩陣湊在一起，得到一個nx2n矩陣（AE）,用初等行變換把它的左邊一半化成E,這時，右邊的一半就是人7。高等代數知識點總結首都師范大學數學科學院 1100500070第五章

7、二次型知識考點精要1. 二次型及其矩陣表示（1）二次型設P是一數域，一個系數在數域P中的心.,x“的二次齊次多項式 /（召,“2,Xn） = anx; + 2al2xtx2 + + 2務”為£ + a22x; + + 2a2nx2xn + +amx;稱 為數域P上的一個n元二次型。（2）二次型矩陣設幾心丕,撿）是數域P上的n元二次型，/（心兀,£）可寫成矩陣形式X AX其中X=（X,X2,兀）'，人=（嗎）”如4'=人。A稱為二次型%）的矩陣。秩（A）稱為 二次型/（,-xj的秩。（3）矩陣的合同數域P±nxn矩陣A,E稱為合同的，如果有屬于P上可

8、逆的nxn矩陣C,使B = C AC2. 標準型及規范性定理 數域P上任意一個二次型都可以經過非退化的線性替換化成標準型djf+ *； + + ： 用矩陣的語言敘述，即數域P上任意一個對稱矩陣合同于一個對角矩陣。定理 任意一個復系數的二次型經過一適當的非退化的線性替換化成規范型石+疋+ + Z；且 規范形是唯一的。定理 任意一個實系數的二次型經過一適當的非退化的線性替換化成規范型 疋+Z爲且規范形是唯一的，其中p稱為此二次型的正慣性指數，q稱為此二次型的負慣指數，2p-q稱為此二次型的符號差。3. 正定二次型及正定矩陣（1）基本概念i) 正定二次型實二次型/(坷,)稱為正定的，如果對于任意一組

9、不全為零的實數q,q,.c“ 都有/(C,C2，.c”)>0.Li)正定矩陣實對稱矩陣A稱為正定的，如果二次型X AX正定。hi)負定半正定半負定不定的二次型設/(心心兀,)是一實二次型， 對于任意一組不全為零的實數q,q,.c“，如果 f(ci,c2,.cll)<0.,那么 /(xnx2,%)稱為負定的；如果都有/(c1,c2,.cw)>0.那么稱兀)為半正定的：如果都有/(c1,c2,.c)<0.,那么兀J稱為半負定的；如果它既不是半正定的又不是半負定的，那么/(兀,丕,£)就稱為不定的。(2) 正定二次型，正定矩陣的判定對于實二次型fx2,-xlt) =

10、 X'AX ,其中A是實對稱的，下列條件等價；i) f(xl,x2,-xn)是正定的，1)A是正定的111) /(兀，暫)的正慣指數為11iv) A與單位矩陣合同V)A的各階順序主子式人于零第11頁共17頁9第"匐生空間知識點考點精要一. 線性空間1 線性空間的定義設V是一個非空集合，P是一個數域。在集合V的元素之間定義了一種代數運算；這就是說， 給出了一個法則，對于V中的任意兩個元素么0,在¥中都有唯一的一個元素r與它們對應，稱為Q 與0的和，記為r = a + fl o在數域P與集合V的元素之間還定義了一種運算，叫做數量乘法；這就是說，對于屬于P中任 意數k與V

11、中任意元素a,在V中都有唯一的元素5與它們對應，稱為k與a的數量乘積，記為 S = ka如果加法與數量乘法滿足下述規則，那么v稱為數域p上的線性空間。(1) a+p = p+a(2) a+(0+了) = (&+/?) +了(3) 在V中有一元素0,對于v中任意元素a都有 a+0 = a(具有這個性質的元素0稱為v的零元素)；(4) 對于V中的每一個元素a ,都有V中的元素0,使得& + 0 = 0 (0稱為a的負元素)(5) l*cz = a;(6) k(la) = (kl)a(7) (k + l)a = ka + la(8) ka+p)= ka+kp2.維數，基與坐標(1)

12、如果在線性空間V中有n個線性無關的向量。但是沒有更多數目的線性無關的向量，那么V 就稱為n維的。如果在V中可以找到任意多個線性無關的向量，那么V就稱為無限維的。(2) 如果在線性空間V中有n個線性無關的向量匕，4,.,a”，且V中任一向量都可以用它們 線性表出，那么V是n維的，而q,勺,.,a”就是V的一組基。(3) 在n維線性空間中，n個線性無關的向量芻電.稱為V的一組基。設a是V中任一向量，于是牡6.，呂，a線性相關，因此a可以被基£6,.唯一的線性表出3高等代數知識點總結首都師范大學數學科學院 1100500070a =+ ci +an£n,其中系數aa2.，匕稱為a

13、在基勺電心下的坐標,記（匕，4,.）3. 基變換與坐標變換（1）設勺電，島與g,血是n維線性空間V中兩組基,如果%、an 仏（殆£；, 總）=（勺£©J 矩陣4 = 稱為勺&G到1 Clnlann >d仏）基環卷,;的過度矩陣。（2）設勺電，爲與斫,笛,.，陽是n維線性空間V中兩組基,由基勺坨.，爲到基e-,e;,.,en的過度矩陣為A,向量a在這兩組基下的坐標分別為（兀,兀,.,%）與（兀，兀/ » x2=AX2 K丿 二. 線性子空間1. 線性子空間（1）數域p中線性空間V的一個非空子集合W稱為V的一個線性子空間，如果W對于V的兩種 運

14、算也構成數域P上的線性空間。（2）線性空間V的非空子集W是V的子空間的充分必要條件是W對于V的兩種運算封閉。2. 子空間的交與和（1）線性空間V的子空間,匕的交與和，即6匕,+匕都是V的子空間。（2）維數公式 如果嶺,嶺是線性空間V的兩個子空間，那么維（嶺）+維（叫）=維（嶺+嶺）+維（嶺C匕）3. 子空間的直和（1）設X，匕是線性空間V的子空間，如果和V1 + V2中的每個向量a的分解式a = a + a2 g V；, a2 eV2是唯一的，這個和就稱為直和，記為匕匕。（2）設嶺,匕是線性空間V的子空間，卞列這些條件是等價的：1) «+匕是直和U)零向量的表示式是唯一的iii) V

15、irV =0iv) 維(嶺+匕)=維(嶺)+維(匕)。三. 線性空間的同構1. 數域P上兩個線性空間V與V'稱為同構的，如果由V到V'有一個11的映上的映射O，具有 以卞性質：(1) 6/z + 0) = b(a) + b(0);(2) (yka) = k(ya)其中Q,0是V中任意向量，k是P中任意數，這樣的映射O稱為同構映射。2 數域P兩個有限維數線性空間同構的充分必要條件是它們有相同維數。第七章線性變換I知識點考點精要L線性變換及其運算|1. 線性變換的定義線忡空間y的的一個變換d稱為線性變換，如果對于v中任意元素久0和數域p中任意數k,都有 d(a + 0)二d(a )

16、+d(0) d(Kcr )=k d ( a )2. 線性變換的運算設d,糾是數域P上線性空間y的兩個線性變換，kePo(1) 加法 (6 十爐)(a)二 d(Q)+Q ( a )(2) 數乘 (k d ) ( a ) =k d ( fZ )(3) 乘法 (d)(a) = d (0(a)(4) 逆變換V的變換d稱為可逆的，如果有V的變換卩，使= 二G (V的恒等變換)3設云厶，気是數域P上的n維線性空間V的一組基，d是V中的一個線性變換，基向量的彖可以被基線性表出：4q=%G + %6 + + a呦6用矩陣來表示是 A ( h.,£ ) = ( A As2 .,Asn )=(豈 6 .

17、,£n ) A(1)九叮其中 A= .丨 矩陣A稱為6在基勺電.,6下列矩陣。S a,m >（2）設云電，£是數域P上n維向量空間V的一組基，在這組基下，每個線性變換按公式（1） 對應一個nxn矩陣。這個對應具有以下性質：i）線性變換的和對應于矩陣的和ii）線性變換的乘積對應于矩陣的乘積；iii）線性變換的數量乘積對應于矩陣的數量乘積；iv）可逆的線性變換與可逆矩陣對應，且逆變換對應于逆矩陣。（3）設線性變換d在基電下的矩陣是A,向量§在基電,6下的坐標是（x；,x；,.,x；J ,則 d歹在基石 6，気下的坐標（%,兒,，兒）可按公式計算。（4）設A,B為

18、數域P上兩個n級矩陣，如果可以找到數域P上的n級可逆矩陣X,使得B=XlAX, 就說A相似于B°（5）線性變換在不同基下所對應的矩陣是相似的：反過來，如果兩個矩陣相似，那么它們可以看作 同一線性變換在兩組基下所對應的矩陣。二.特征值與特征向量1. 特征值與特征向量的定義設A是數域P上線性空間V的一個線性變換，如果對于數域P中一數久°,存在一非零向量使得A Q爲,那么人稱為A的一個特征值，纟稱為A的屬于特征值人的一個特征向量。2. 特征多項式的定義（1）設A是數域P上一個n級矩陣，兄是一個文字，矩陣幾E-A的行列式第9頁共17頁13高等代數知識點總結首都師范大學數學科學院 1

19、100500070RE - 4|=稱為A的特征多項式，這是數域P上的一個n次多項式，則f & -勺”f (A) = A" - (坷 i + .+)4"“ +.+(-l)n |A|E = O3. 特征值與特征向量的性質(1) 設人，厶,.，血是n級矩陣A =(州)”“的全體特征值，則人+. +人=% +. +血,人.久” =|A|(2) 屬于不同特征值的特征向量是線性無關的。(3) 如果人,人,，血是線性變換A的不同的特征值，而©,.偽是屬于特征值&的線性無關的特征向量，i=l,2-.k那么向量組,氣,.陥.他也線性無關。4. 線性變換在某組基下為對

20、角矩陣的條件(1) 設A是n維線性空間V的一個線性變換，A的矩陣可以在某一組基下為對角矩陣的充要條件是, A有n個線性無關的特征值。(2) 如果在n維線性空間y中的，線性變換A的特征多項式在數域P中有n個不同的根，即A有n 個不同的特征值，那么A在某組基下的矩陣是對角矩陣。(3) 在負數域上的線性空間中，如果線性變換A的特征多項式沒有重跟，那么A在某組基下的矩陣 是對角矩陣。三.矩陣的相似1. 矩陣相似的定義設A, B為數域P上兩個n級矩陣，如果可以找到數域P上的n級可逆矩陣X,使得B = XlAX，就 說A相似于E,記為AE.2. 相似矩陣的性質(1) 相似矩陣有相同的特征多項式.(2)相似

21、矩陣有相同的最小多項式。1 設A是線性空間V的一個線性變換，A的全體彖組成的集合稱為A的值域，用AV表示。AV 是V的子空間，維(AV)稱為A的秩，所有彼A變成零向量的向量組成的集合稱為A的核，記為"TO)。4T(0)是V的子空間，維(獷(0)稱為A的零度。2設6是n維線性空間V的線性變換，h嗎是V的一組基。在這組基卞6的矩陣是A,則(1) dv二L (,Asn)(2) d的秩二A的秩3設A是n維線性空間V的線性變換，則A的秩+A的零度二n五. 不變子空間1. 設A是數域P上線性空間V的線性變換，W是V的子空間，如呆W中的向量在A下的彖仍在W 中，就稱W是A的不變子空間，簡稱A-子空

22、間。第九章歐幾里得空間知識考點精要|一.歐氏空間的基本概念1. 設V是是數域R上一線性空間，在V上定義了一個二元實函數，稱為內積，記為(久0),特具有一下性質：(1)(G,0) = (0,G);(ka,0) = k(a,Q(3) (a+/?,/) = (a,/)+(/?,/)；(4) (么&疋0,當且僅當&=0時(a,0)=0.這里久0是v中任意的向量，k是任意實數，這 樣的線性空間v稱為歐幾里得空間。2. 非負實數J(a,a)稱為向量a的長度,記為|閔。3.非零向量a,0的夾角a,0規定為70= 4 如果向量久0的內積為零，即a 0) = 0,那么Z0稱為正交或互相垂直，記為

23、a丄0。5設V是一個n維歐幾里得空間,在V中取一組基勺電G令坷=(務勺),(jj = 12山)矩陣A = (al?)x稱為基牡電，名的度量矩陣。(1) 度量矩陣是正定的：(2) 不同基底的度量矩陣是合同的。6.歐氏空間V中一組非零向量，如果它們兩兩正交，就稱為一正交向量組。在n維歐氏空間中，由 n個向量組成的正交向量組稱為正交基：由單位向量組成的正交基稱為標準正交基。同構1實數域R上歐氏空間V與“稱為同構，如果FhV到卩有一個1上的映射CT,適合(1) b(a+0) = cr(a) + b(0)（2）（y（ka） = k（j（o（）（3）（b（a）,b（0） = （a,0） 這里a,/3eV,

24、kwR,這樣的映射稱為v到“的同構映射。2 兩個有限維歐氏空間同構的充分條件是它們的維數相同。三.正交矩陣1.基本概念（1）n級實數矩陣A稱為正交矩陣，如果AA = EO（2）歐氏空間V的線性變換A稱為正交變換，如果它保持向量的內積不變，即對任意的a、卩3都有（4a, 40） = a0）2主要結論設A是歐氏空間V的一個線性變換，于是下面4個命題等價：（1）A是正交變換：（2）A保持向量的長度不變，即對于aeV, |Aa| = |<z|；（3）如果£6,是標準正交基，那么4勺人冬也是標準正交基；（4）A在任一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣。|四.正交子空間|1. 基本概念（1）設

25、匕,是歐氏空間v中兩個子空間。如果對于任意的匕恒有（久0）=0,則稱嶺，匕 為正交的，記叫丄匕。一個向量a,如果對于任意的卩削,恒有（久0）=0,則稱a與子空 間嶺正交，記為Q丄嶺。（2）子空間匕稱為子空間的一個正交補，如果叫丄匕，并且V； + K=Vo2. 主要結論（1）如果子空間Vp.，匕兩兩正交，那么和嶺+.+匕是直和。（2）歐氏空間V的每一個子空間叫都有唯一的正交補嶺丄。（3）嶺丄恰由所有與叫正交的向量組成。五.對稱矩陣的性質1.實對稱矩陣的性質(1) 實對稱矩陣的特征值皆為實數。(2) 設A是n級實對稱矩陣，則中屬于A的不同特征值的特征向量必正交。(3) 對于任意一個n級實對稱矩陣A

26、,都存在一個n級正交矩陣T,使T AT = TlAT成對角矩陣。2. 對稱矩陣(1) 設A是歐氏空間V中的一個線性變換，如果對于任意的有(Aq,0) = (q,A0)則 稱A為對稱變換。(2) 對稱變換的性質1)對稱變換在標準正交基下的矩陣是實對稱矩陣。G設A是對稱變換，叫是A子空間，則丄也是A子空間。iii )設A是n維歐氏空間V中的對稱變換，則V中存在一組由A得特征向量構成的標準正交基。|六.向量到子空間的距離，最小二乘法|1. 長度a-/3稱為向量a和0的距離，記為d(a,0),且(1) d(a,0)=d(0,a)(2) d(a,0)no，當且僅當a = p時等號成立；(3) d(a,0

27、)<d(a) + d(y,0)(三角不等式)2. 實系數線性方程組如兀+兔伍+ +%£-$ = 0<0”兀+%無+= °可能無解，即任何一組實數兀,兀,兀都可能使£(©曲+ ai2x2 + aisxs -bf不等于零, 1=1尋找實數組卅,.使上式最小，這樣的卅，卅,.稱為方程組的最小二乘解。3. 線性方程組AX=b的最小二乘解即為滿足方程組A4X = Ab的解X。第13頁共17頁19高等代數知識點總結首都師范大學數學科學院 1100500070I第十章雙線性函數I一線性函數1. 基本概念(1) 設V是數域P上的一個線性空間,f是V到P的一個

28、映射，如果f滿足：i) /(G+0) = /(a) + /(0)h) fg = kfg其中久0是v中任意元素，k是P中任意數，則稱f為v上的一個線性函數。(2) 設V是數域P上的一個n維線性空間。V上全體線性函數組成的集合記作L(V,P)o用自然數 方法定義L(V,P)中的加法和數量乘法，L(V,P)稱為數域P上的線性空間，稱為V的對偶空間。(3) 設數域P上n維線性空間V的一組基為耳電占,作V上n個線性函數皿仁,使得1 / = /= qi,j = ,2.n則“人為L(V.P)的一組基，稱為弓& .，気的對偶基。2. 主要結論(1) 設V是P上一個n維線性空間，牡電是V的一組基，aLa

29、2.衛”是P中任意11個數， 存在唯一的V上線性函數f使/(<) = ajf i = 1,2.n o(2) 設勺勺,總及，”是線性空間V的兩組基，它們的對偶基分別為人扎仁及乩。如果由%邑,5到“仏，“"的過度矩陣為A,那么由 :£到g,g?g“ 的過度矩陣為(A尸。(3) 設V是P上一個線性空間，V*是其對偶空間，取定V中一個向量x,定義V*的一個函數x"如 下：xf) = f(x)JeV*容易驗證T上的一個線性函數，因此是曠的對偶空間(V*y=V* 中的一個元素，映射是V到卩杯的一個同構映射。二雙線性函數1基桶念(1)設V是數域P上一個線性空間，/(Q,0)是V上一個二元函數。如果/(Z0)有下列性質:i) /(a,kJ)、+ k2/32) = kja,0J+k2f(a,0Jii) f(kg + k2a2,/3) = kjg,0)+k2f(a2,0).其中zqs，0，A，02是v中任意向量，你心是P中任意數，則稱fa卩)為V上的一個雙線性