1、隨機變量及其分布考點總結(jié)標(biāo)準(zhǔn)化文件發(fā)布號：（9556EUATWKMWUBWUNNJNNULDDQTYKII第二章 隨機變量及其分布 復(fù)習(xí) x 隨機變曲1. 胡機試驗的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗如果滿足下述條件： 試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一 個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會 出現(xiàn)哪一個結(jié)果.它就被稱為一個隨機試驗.2. 離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機 變量叫做離散型隨機變量.若g是一個隨機變量，a, b是常數(shù).則“叱+b也是一個隨機變量. 一般地，若E是隨機

2、變量，/(對是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則/'(§)也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變量.3. 分布列：設(shè)離散型隨機變量§可能取的值為：小七,宀，E取每一個值小(心1.2,)的概率P=G=/g則表稱為隨機變量E的概率分布，簡稱E的分布列. PPlP1 P, 有性質(zhì) 1 卩2 0=1,2,；2 /?)+/?,+ = 1.注意：若隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量例如: 8曰0.5即f可以取05之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).典型例題:1、隨機變量歹的分布列為P(g = k)=：，斤= 1,2,3，貝IJP(1<<

3、;3) =k 伙+ 1)2、袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取兩個球都是白球的概率為現(xiàn)在甲乙兩人從袋 中輪流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取.取后不放回，直到兩人中有一人取到 白球時終止，用芒表示取球的次數(shù)。(1)求§的分布列(2)求甲取到白球的的概率3、5封不同的信放入三個不同的信箱，且每封信投入每個信箱的機會均等，X表示三哥信 箱中放有信件樹木的最大值，求X的分布列。4、為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班50人進行了問卷調(diào)查得到了如下的 列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生5女生10合計5 03已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為§

4、;(1) 請將上面的列聯(lián)表補充完整；(2) 是否有99.5%的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由；(3) 已知喜愛打籃球的10位女生中，人，A，4,人，人還喜歡打羽毛球，色，星，艮還 喜歡打乒乓球，G，C?還喜歡踢足球，現(xiàn)再從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的 女生中各選出1名進行其他方面的調(diào)查，求d和G不全被選中的概率.P(K2>k)0. 150. 100. 050. 0250.0100.0050. 001k2. 0722. 7063. 8415. 0246. 6357. 87910. 828F面的臨界值表供參考:n(ad -be)2(a + b)(c + d)(a +

5、c)(b + d)其中 n = a+b+c + cl)(參考公式:K2 =二、幾種常見概率1、條件概率與事件的獨立性(1) B A與AB的區(qū)別：(2) P(B|A)的計算公式,注意分子分母事件的性質(zhì)相同(3) P(AB)的計算公式注意三點：前提，目標(biāo)，一般情況(4) P (A+B)的計算公式注意三點：前提，目標(biāo)，一般情況典型例題:1、市場上供應(yīng)的燈泡，甲廠產(chǎn)品占70%,乙廠產(chǎn)品占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,乙廠 產(chǎn)品的合格率80%,則從市場上買到一個是甲廠產(chǎn)的合格品的概率是多少？2、把一副撲克52張隨即均分給趙錢孫李四家，A二趙家得到六章草花, B二孫家得到3張 草花,計算 P(B|A)

6、, P(AB)3、從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任取兩張，將其中1張在驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔, 求兩張都是假鈔的概率。4、有外形相同的球分裝在三個盒子，每個盒子10個，其中第一個盒子7球標(biāo)有字母A, 3 個球標(biāo)有字母B ；第二個盒子中五個紅球五個白球；第三個盒子八個紅球，兩個白球；在如 下規(guī)則下：先在第一個盒子取一個球，若是A球，則在第二個盒子取球；如果第一次取出的 是B球，則在第三個盒子中取球，如果第二次取出的球是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功 的概率。率，當(dāng)開關(guān)合上時，電路暢通的概率是5、在圖所示的電路中，5只箱子表示保險匣，箱中所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概6、甲、乙二射擊運動員分

7、別對一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為0.8,乙射中的概率為 0.9,求：(1) 2人都射中目標(biāo)的概率；(2) 2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率；(3) 2人至少有1人射中目標(biāo)的概率；(4) 2人至多有1人射中目標(biāo)的概率？三、幾種分布1. (1)獨立重復(fù)試驗與二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：p(E = k)=C”q"其中0.1.=“于是得到隨機變量E的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量E服從二項分布，記作§B(n-p),其中 n, P 為參數(shù)，并記Cpkqn-k=b(k:n p).(2) 二項分布的判斷與應(yīng)用.

8、二項分布，實際是對n次獨立重復(fù)試驗.關(guān)鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復(fù)，且 每次試驗只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布. 當(dāng)隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有 兩種試驗結(jié)果，此時可以把它看作獨立重復(fù)試驗，利用二項分布求其分布列.2. 幾何分布：冷=1表示在第k次獨立重復(fù)試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗時 事件A發(fā)生記為事A不發(fā)生記為Ak，P(AJ=q,那么P( = k) = P(A1A；-AAk).根據(jù)相互獨 立事件的概率乘法分式:= k) = P(A,)P(A2)-P(Ak_,)P(Ak) =qk-'p (k

9、 = 1.2.3,-)于是得到隨機變量£的 概率分布列.123 k PQQPq'p q-p 我們稱E服從幾何分布，并記g(k.p)=qgp,其中6/ = 1 -/?. k = 1.2,3-3.超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M (M < X)件次品，今抽取n(l<n<N)fr,則 廠k廠n-k其中的次品數(shù)E是一離散型隨機變量，分布列為P( = k) = -2iL_L.(o<k<M.()<n-k<N-M).分子是從M件次品中取k件，從件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定/h < r時C；=0, 則k的范圍可以寫為k二0, 1,

10、 , n.(2) 超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，今抽取n件(lWnWa+b),貝IJ次品數(shù)E的分布列為P(E = k)= £H k = 0.1,C+b(3) 超幾何分布與二項分布的關(guān)系.設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數(shù)E服從超幾何分布. 若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把個產(chǎn)品編號，則抽取n次共有 (“剛個可能結(jié)果，等可能:(n = k)含C沁嚴(yán)個結(jié)果,故p(n = k)=Cakbn"k(a + b)nCM)n"k,k = 0J.2r-,n, a + b即“ 班”宀)我們先為k個次品選定位

11、a + b置，共C：種選法；然后每個次品位置有&種選法，每個正品位置有b種選法可以證明： 當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，p( = k)p(n = k)I因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣. 典型例題:-3-1、某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%,計算(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)：(1) 5次預(yù)報中恰有4次準(zhǔn)確的概率；(2) 5次預(yù)報中至少有4次準(zhǔn)確的概率.2、在一個圓錐體的培養(yǎng)房內(nèi)培養(yǎng)了 40只蜜蜂，準(zhǔn)備進行某種實驗，過圓錐高的中點有一個 不計厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個實驗區(qū)，其中小錐體叫第一實驗區(qū)，圓 臺體叫第二實驗區(qū)，且兩個實驗區(qū)是互通的。

12、假設(shè)蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的， 且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的。(1) 求蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；(2) 若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；(3) 記X為落入第一實驗區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX。3、A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗。每個試驗組由4只小 白鼠組成，其中兩只服用A,兩只服用B,然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效 的小白鼠只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率 為2/3,服用B有效的概率為1/2.(1) 求一個試驗組為甲類組的概率。(2) 觀察3個試

13、驗組，用g表示3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求g分布列4.某射擊運動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為P(0<P<l) 0他有10發(fā)子彈，現(xiàn)對某一目標(biāo)連續(xù)射擊，每 次打一發(fā)子彈，直到擊中目標(biāo)，或子彈打光為止。求他射擊次數(shù)的分布列。5、由180只集成電路組成的一批產(chǎn)品中，有8只是次品，現(xiàn)從中任抽4只，用g表示其 中的次品數(shù)，試求：(1)抽取的4只中恰好有k只次品的概率；(2)求歹分布列.二、數(shù)學(xué)期望與方差.1.期望的含義：一般地，若離散型隨機變量E的概率分布為 PPlP2 則稱磚=“嚴(yán)皿+為召的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡稱期望.數(shù)學(xué)期 望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.2.隨機變量

14、H =的數(shù)學(xué)期望：Er（ = E（a+b） = ciE + bfl）當(dāng)c, = 0時，E（h） = b,即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個常數(shù)本身. 當(dāng)“ =1時，E（屮）=E屮,即隨機變量E與常數(shù)之和的期望等于E的期望與這個常數(shù)的和. 當(dāng) =0時，E（殆）=“磚，即常數(shù)與隨機變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機變量期望的乘 積.（2）單點分布:Eg = cxl=c其分布列為:P = l） = c.01PQP（3）兩點分布：E=0x7 + lxp = p,其分布列為： （P + Q = 1）（4）二項分布：Eg =k十嚴(yán)=沖其分布列為g B（n） （P為發(fā)生g的概率）（5）幾何分布：磚=*其分布列為g q（

15、k,p）. （P為發(fā)生f的概率）3. 方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機變量E的分布列為陀=池）=幾伙=12）時，則稱£）©=（比-磚）認(rèn)+仗2-磚）認(rèn)+（x*-E纖幾+為E的方差.顯然DgnO,故X =erg為£的根方差或標(biāo) 準(zhǔn)差隨機變量E的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量E取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程 度越小，穩(wěn)定性越高，波動越小.4. 方差的性質(zhì).01PQPb均為常數(shù)）隨機變量 n = a+b 的方差 £（） = D（ag + b） =a'D. （d、（2）單點分布： = 0其分布列為P（H兩點分布：Dg = pq其分布列為：（p + q二1）

16、二項分布：D = npq 幾何分布：必=2P'5. 期望與方差的關(guān)系.如果磚和勵都存在,則E（£ ±）=磚± E1設(shè)E和是互相獨立的兩個隨機變量，則E（切）=E? E：D（£ + ） =+ Dq期望與方差的轉(zhuǎn)化：de = eJe纖硝-矽= £©-£（磚）（因為毋為一常數(shù)）=Eg-Eg = O.典型例題:1、 如圖，由必到艸的電路中有4個元件，分別標(biāo)為N K K 幾 電流能通過幾 7；的概率都是p電流能通過刀的概率是0.9 .電流能否通過各元件相互獨立.已知K Tz, T.中至少有一個能通過電流的概率為0. 999 .

17、（I ）求P ； （II）求電流能在M與之間通過的概率；（III）纟表示；，N幾Z中能通過電流的元件個數(shù)，求§的期望-6-2、一名小學(xué)教師為了激發(fā)學(xué)生閱讀名著的熱情，在班內(nèi)進行名著和其作者的連線游戲，作 為獎勵，參加連線的同學(xué)每連對一個獎勵一朵小紅花。假定一名小學(xué)生對四大名著沒有了 解，只是隨即連線，試求該同學(xué)得到小紅花數(shù)X的分布列，均值，方差。3、甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，2 ? 2 1 答錯得零分。假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為亍 乙隊中3人答對的概率分別為煮冷且 各人正確與否相互之間沒有影響用£表示甲隊的總得分.(I )

18、求隨機變量£分布列和數(shù)學(xué)期望；(II) 用月表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用方表示“甲隊總得分大于乙隊總 得分”這一事件，求尸(個.24、某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是彳，且各次射擊的結(jié)果互不影響。(I )假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率(II) 假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)。另外2次未擊中目標(biāo)的概率；(III) 假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，在3次射 擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3 分，記纟為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù)，求纟的分布列，均值，方差。三、正態(tài)分

19、布.1密度曲線與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機變量乙位于x軸上方，E落在任一區(qū)間如內(nèi)的概 率等于它與X軸.直線X = “與直線x = b所圍成的曲邊梯形的面積(如圖陰影部分)的曲線叫E的密度曲線，以其作為-7-圖像的函數(shù)叫做E的密度函數(shù) 由于是必然事件，故密度曲線與X軸所夾部分面積等于1.2. (1)正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機變量E的概率密度為：/(0 =亠寸. y/2a為常數(shù),且"0),稱E服從參數(shù)為"。的正態(tài)分布,用§“心)表示.他)的表達(dá)式可簡 記為NT,它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.(2)正態(tài)分布的期望與方差：若g Ar(/.CT2),貝IJE的期望與方差分別為

20、：Eg = p、DE=o】. 正態(tài)曲線的性質(zhì).曲線在X軸上方 與X軸不相交曲線關(guān)于直線“對稱. 當(dāng)x = 時曲線處于最高點，當(dāng)x向左、向右遠(yuǎn)離時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、 兩邊低”的鐘形曲線.當(dāng)"< “時，曲線上升；當(dāng)x> “時，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸 時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.S，當(dāng)“一定時，曲線的形狀由b確定，b越大，曲線越“矮胖".表示總體的分布越分散；"越 小，曲線越“瘦高：表示總體的分布越集中.3. (1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機變量E的概率函數(shù)為風(fēng)丫)=1 -4e - (-OC Y AY則稱E服從標(biāo)-9

21、-準(zhǔn)正態(tài)分布.即§N(o,l)有於)= P(gS),僅Q = 1-做-X)求出，而P (avgwb)的計算則是P(a Y g S )=(p(h) 一 俠a)注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的e(x)的X取0時，有e(x)= o.5當(dāng)?shù)腦取大于0的軍時，有 (x)a0.5.比如e(斗產(chǎn)) = 0.0793 Y 0.5則氣嚴(yán)必然小于0,如圖."(2)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若g N(“Q，)則E的分布函數(shù)通卄/| 常用 F(X)表示，且有 P("x) = F(x) = %)."a標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線4.(1 )M3 CT 另原則.SppO. 5 Sa=O. 5-S假設(shè)檢驗是就