1、小學數學常用的十一種解題思路一、直接思路直接思路”是解題中的常規思路。它一般是通過分析、綜合、歸納等 方法，直接找到解題的途徑。【順向綜合思路】從已知條件出發，根據數量關系先選擇兩個已知數 量，提出可以解決的問題；然后把所求出的數量作為新的已知條件，與其他的 已知條件搭配，再提出可以解決的問題；這樣逐步推導，直到求出所要求的解 為止。這就是順向綜合思路，運用這種思路解題的方法叫 綜合法”。/ 例1兄弟倆騎車出外郊游，弟弟先出發，速度為每分鐘200米，弟弟出發5分鐘后，哥哥帶一條狗出發，以每分鐘 250米的速度追趕弟弟而狗以 每分鐘300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，見到哥哥后又立即

2、 向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時狗跑了多少千米？分析(按順向綜合思路探索)：(1)根據弟弟速度為每分鐘200米，出發5分鐘的條件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離。(2)根據弟弟速度為每分鐘200米，哥哥速度為每分鐘250米，可以 求什么？可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少米。(3)通過計算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000米，每分鐘可追上的距離為50米，根據這兩個條件，可以求什么？可以求出哥哥趕上弟弟所需的時間。/(4)狗在哥哥與弟弟之間來回不斷奔跑， 看起來很復雜，仔細想一想， 狗跑的時間與誰用的時間是一樣的？狗跑的時間與哥哥追上弟弟所用的時間是相同的。(

3、5)已知狗以每分鐘300米的速度，在哥哥與弟弟之間來回奔跑，直 到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時間，可以求什么？可以求出這時狗總共跑了多少距離？ 這個分析思路可以用下圖(圖)表示。配.1例2下面圖形(圖)中有多少條線段？圖之2川分析(仍可用綜合思路考慮)：我們知道，直線上兩點間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰 兩點間的線段叫做基本線段，那么就可以這樣來計數。(1)左端點是A的線段有哪些？ 有 AB AC AD AE AF AG 共 6 條。(2)左端點是B的線段有哪些？有 BC、BD、BE、BF、BG 共 5 條。/(3)左端點是C的線段有哪些？/有 CD、CE、CF、CG 共

4、 4 條。/(4)左端點是D的線段有哪些？/有 DE、DF、DG 共 3條。/(5)左端點是E的線段有哪些?有EF、EG共2條。（6）左端點是F的線段有哪些？有FG共1條。 /然后把這些線段加起來就是所要求的線段。二、逆向分析思路,從題目的問題入手，根據數量關系，找出解這個問題所需要的兩個條件， 然后把其中的一個（或兩個）未知的條件作為要解決的問題，再找出解這一個 （或兩個）問題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題里都是已知 的為止，這就是逆向分析思路，運用這種思路解題的方法叫分析法。例1兩只船分別從上游的A地和下游的B地同時相向而行，水的流速 為每分鐘30米，兩船在靜水中的速度都是每

5、分鐘 600米，有一天，兩船又分別 從A、B兩地同時相向而行，但這次水流速度為平時的2倍，所以兩船相遇的地點比平時相遇點相差60米，求A、B兩地間的距離。分析（用分析思路考慮）：（1）要求A、B兩地間的距離，根據題意需要什么條件？需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時間。（2）要求兩船的速度和，必要什么條件？ 兩船分別的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600米，那么不論其水速是否改變，其速度和均為（600+600 ）米，這是因為順水船 速為：船速+水速，逆水船速為：船速-水速，故順水船速與逆水船速的和為：船 速+水速+船速-水速=2個船速（實為船在靜水中的速度）/（3）要求相遇的時間

6、，根據題意要什么條件？/兩次相遇的時間因為距離相同，速度和相同，所以應該是相等的，這 就是說，盡管水流的速度第二次比第一次每分鐘增加了30米，仍不會改變相遇時間，只是改變了相遇地點：偏離原相遇點 60米，由此可知兩船相遇的時間為 6030=2 （小時）。/此分析思路可以用下圖（圖）表示：SZ. 3例2五環圖由內徑為4,外徑為5的五個圓環組成。其中兩兩相交的 小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等（如圖），已知五個圓環蓋住的總面 積是，求每個小曲邊四邊形的面積（圓周率 冗取）U2.4分析（仍用逆向分析思路探索）：（1）要求每個小曲邊四邊形的面積，根據題意必須知道什么條件？曲邊四邊形的面積，沒有公式

7、可求，但若知道 8個小曲邊四邊形的總 面積，則只要用8個曲邊四邊形總面積除以8,就可以得到每個小曲邊四邊形的 面積了。（2）要求8個小曲邊四邊形的總面積，根據題意需要什么條件？8個小曲邊四邊形恰好是圓環面積兩兩相交重疊一次的部分，因此只要把五個圓環的總面積減去五個圓環蓋住的總面積就可以了。（3）要求五個圓環的總面積，根據題意需要什么條件？/求出一個圓環的面積，然后乘以 5,就是五個圓環的總面積。（4）要求每個圓環的面積，需要什么條件？/已知圓環的內徑（4）和外徑（5）,然后按圓環面積公式求就是了。圓環面積公式為：S圓環=兀（R2-r2）=兀(R + r)( R-r)其思路可用下圖(圖)表小:釀

8、E三、一步倒推思路順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯系，不可分割的。在解題時，兩種 思路常常協同運用，一般根據問題先逆推第一步，再根據應用題的條件順推， 使雙方在中間接通，我們把這種思路叫步倒推思路”。這種思路簡明實用。 例1 一只桶裝滿10千克水，另外有可裝3千克和7千克水的兩只空 桶，利用這三只桶，怎樣才能把10千克水分為5千克的兩份？分析(用一步倒推思路考慮)：(1)逆推第一步：把10千克水平分為5千克的兩份，根據題意，關 鍵是要找到什么條件？因為有一只可裝3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用3 + 2=5,就可以把水分成 5千克一桶，所以關鍵是要先倒出一個 2千克水。(2)按

9、條件順推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩 3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水 3千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，這時10千克水桶里有水6 千克，把7千克桶里的4千克水倒入、3千克水桶里，這時7千克水桶里剩水1 千克，3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里白水倒入10千克桶里， 這時10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，這時7 千克桶里無水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入 7千克桶里，10千克水桶里剩下2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原 有1千克水），只倒出2千克水，7千克

10、桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千 克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因為原有2千克水，這時也 正好是5千克水了。其思路可用下圖（圖和圖）表小：問題：邸7M 條14順m例2今有長度分別為1、2、39厘米的線段各一條，可用多少種 不同的方法，從中選用若干條線風步正方形？ /分析（仍可用一步倒推思路來考慮）：(1)逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用若干條線段組成正方形必須的條件是什么？根據題意，必須知道兩個條件。一是確定正方形邊長的長度范圍，二 是每一種邊長有幾種組成方法。(2)從條件順推。因為九條線段的長度各不相同，所以用這些線段組成的正方形至少 要7條，最多用了 9條，這

11、樣就可以求出正方形邊長的長度范圍為(1+2+/當邊長為7厘米時，各邊分別由1+6、2+5、3+4及7組成，只有一 種組成方法。當邊長為8厘米時，各邊分別由1+7、2+6、3+5及8組成，也只有 一種組成方法。當邊長為9厘米時，各邊分別由1+8、2+7、3+6及9; 1+8、2+7、 4+5 及 9; 2+7、3+6、4+5 及 9; 1+8、3 + 6、4 + 5 及 9; 1+8、2+7、3 + 6及4 + 5共5種組成方法。當邊長為10厘米時，各邊分別由1+9、2 + 8、3 + 7及4 + 6組成， 也只有一種組成方法。當邊長為11厘米時，各邊分別由2+9、3+8、4+7及5+6組成，

12、也只有一種組成方法。將上述各種組成法相加，就是所求問題了。此題的思路圖如下(圖)：問題：能用賽少種不同方法從中選用若干條線段俎成正萬能逆推第一步圖蕓昌的長度范圍第一種邊長"瘠 各少種蛆成法四、還原思路從敘述事情的最后結果出發利用已知條件，一步步倒著推理，直到解決問 題，這種解題思路叫還原思路。解這類問題，從最后結果往回算，原來加的用 減、原來減的用加，原來乘的用除，原來除的用乘。運用還原思路解題的方法 叫還原法”。 例1 一個數加上2,減去3,乘以4,除以5等于12,你猜這個數是 多小、分析（用還原思路考慮）：從運算結果12逐步逆推，這個數沒除以5時應等于多少？沒乘以.4時 應等于多

13、少？不減去3時應等于多少？不加上2時又是多少？這里分別利用了 加與減，乘與除之R儀逆運算關系，一步步倒推還原，直找到答案。/其思路圖如下（圖）：條件：一個數T加2 T用減3 一口乘以4 T曰除以5等于國還原問題，向一減2一同加3一口除以4 用乘以5 J例2李白街上走，提壺去打酒；遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和 花，喝光壺中酒。試問酒壺中，原有多少酒？/ 分析（用還原思路探索）：李白打酒是我國民間自古以來廣為流傳的一道用打油詩敘述的著名算題。題意是：李白提壺上街買酒、喝酒，每次遇到酒店，便將壺中的酒量增添'' 1 倍，而每次見到香花，便飲酒作詩，喝酒 1斗。這樣他遇店、見花經過

14、3次,1 便把所有的酒全喝光了。問：李白的酒壺中原有酒多少？下面我們運用還原思路，從三遇店和花，喝光壺中酒”開始推算。見花前有1斗酒。第三次：見花后一一壺中酒全喝光。第三次：遇店前一一壺中有酒半斗。第一次：見花前一一壺中有酒為第二次遇店前的再加 1斗遇店前一一壺中有酒為第一次見花前的一半。其思路圖如下二遇圖乙10五、假設思路在自然科學領域內，一些重要的定理、，法則、公式等，常常是在首先提出假設、猜想，然后再進行檢驗、證實”的過程中建立起來的。數學解題中，也離 不開假設思路，尤其是在解比較復雜的題目時，如能用假設”的辦法去思考，往往比其他思路簡捷、方便。我們把先提出假設、猜想，再進行檢驗、證實的

15、 解題思路，叫假設思路。例1中山百貨商店，委托運輸隊包運 1000只花瓶，議定每只花瓶運 費元，如果損壞一只，不但不給運費，而且還要賠償損失元。結果運輸隊獲得 運費元。問：損壞了花瓶多少只？/ 分析（用假設思路考慮）：（1）假設在運輸過程中沒有損壞一個花瓶，那么所得的運費應該是多 少？>1000=400 （元）。（2）而實際只有元，這當中的差額，說明損壞了花瓶，而損壞一只花 瓶，不但不給運費，而且還要賠償損失元，這就是說損壞一只花瓶比不損壞一 只花瓶的差額應該是多少元？+ =（元）（3）總差額中含有一個元，就損壞了一只花瓶，含有幾個元，就是損 壞了幾只花瓶。由此便可求得本題的答案。例2有

16、100名學生在車站準備乘車去離車站 600米的烈士紀念館搞活 動，等最后一人到達紀念館 45分鐘以后，再去離紀念館900米的公園搞活動。 現在有中巴和大巴各一輛，它們的速度分別是每分鐘 300米和150米，而中巴 和大巴分別可乘坐10人和25人，問最后一批學生到達公園最少需要多少時間？分析（用假設思路思索）；假設從車站直接經烈士紀念館到公園，則路程為（600+900）米。把 在最后1人到達紀念館后停留45分鐘，假設為在公園停留45分鐘，則問題將 大大簡化。（1）從車站經烈士紀念館到達公園，中巴、大巴往返一次各要多少時 問？中巴：（ 600+900 ）300X2=10 （分鐘） 大巴：( 600

17、+900 )勺50X2=20 (分鐘)(2)中巴和大巴在20分鐘內共可運多少人?中巴每次可坐10人，往返一次要10分鐘，故20分鐘可運20人。大巴每次可坐25人，往返一次要20分鐘，故20分鐘可運25人。所以在20分鐘內中巴、大巴共運45人。(3)中巴和大巴20分鐘可運45人，那么40分鐘就可運45X2=90 (人)，100人運走90人還剩下10人，還需中巴再花10分鐘運一次就夠了。(4)最后可求出最后一批學生到達公園的時間：把運90人所需的時間，運10人所需的時間，和在紀念館停留的時間相加即可。六、消去思路對于要求兩個或兩個以上未知數的數學題，我們可以想辦法將其中一個未 知數進行轉化，進而消

18、去一個未知數，使數量關系化繁為簡，這種思路叫消去 思路，運用消去思路解題的方法叫消去法。二元一次方程組的解法，就是沿著 這條思路考慮的。例1師徒兩人合做一批零件，徒弟做了 6小時，師傅做了 8小時，一 共做了 312個零件，徒弟5小時的工作量等于師傅2小時的工作量，師徒每小 時各做多少個零件？分析(用消去思路考慮)：這里有師、徒每小時各做多少個零件兩個未知量。如果以徒弟每小時工作量為1份，把師傅的工作量用徒弟的工作量來代替，那么師傅8小時的工作量相當于這樣的幾份呢？很明顯，師傅 2小時的工作量相當于徒弟5小時的 工作量，那么8小時里有幾個2小時就是幾個5小時工作量，這樣就把師傅的 工作量換成了

19、徒弟的工作量，題目里就消去了師傅工作量這個未知數；然后再 看312個零件里包含了多少個徒弟單位時間里的工作量，就是徒弟應做多少個。 求出了徒弟的工作量，根據題中師博工作量與徒弟工作量的倍數關系，也就能 求出師傅的工作量了。例2小明買2本練習本、2枝鉛筆、2塊橡皮，共用元，小軍買4本 練習本、3枝鉛筆、2塊橡皮，共用去元，小慶買 5本練習本、4枝鉛筆、2塊 橡皮，共用去元，問練習本、鉛筆、橡皮的單價各是多少錢？分析(用消去法思考)：這里有三個未知數，即練習本、鉛筆、橡皮的單價各是多少錢？我們 要同時求出三個未知數是有困難的。應該考慮從三個未知數中先去掉兩個未知 數，只留下一個未知數就好了。如何消

20、去一個未知數或兩個未知數？ 一般能直接消去的就直接消去， 不能直接消去，就通過擴大或縮小若干倍，使它們之間有兩個相同的數量，再 用加減法即可消去，本題把小明小軍、小慶所購買的物品排列如下：小明2本2枝2塊元、小軍4本3枝2塊元/ 小慶5本4枝2塊元現在把小明的各數分別除以2,可得到1本練習本、1枝鉛筆、1塊橡 皮共元。接著用小慶的各數減去小軍的各數，得 1本練習本、1枝鉛筆為元。再把小明各數除以2所得的各數減去上數，就消去了練習本、鉛筆兩 個未知數，得到1塊橡皮元，采用類似的方法可求出練習本和鉛筆的單價。七、轉化思路解題時，如果用一般方法暫時解答不出來，就可以變換一種方式去思考， 或改變思考的

21、角度，或轉化為另外一種問題，這就是轉化思路。運用轉化思路 解題就叫轉化法。例1姐妹兩養兔1。只，姐姐養的1比妹妹養的需多16只，求姐妹兩各養兔多少只？分析（用轉化思路思索）：題中數量關系比較復雜，兩個分率的標準量不同，為了簡化數量關系,只呢？這時兩人養的總只數該是多少只呢？假設后的數量關系，兩人養的 總只數應是：100-16X3=52 （只）/11 + 2 + 3+10：0“根據上面的假設.此題就轉化為“姐妹兩人共養兔52只，姐姐養的; 等于妹妹養的5,兩人各養兔多少只？"這時問題就解決了，例2計算：1+L 十 1一 1+2 1+2+3分析（用轉化思路分析）：/,本題求和，題中每個分

22、數的分子都是 1,分母是幾個連續自然數的和,好像不能把每個分數分成兩個分數相減，然后相加抵消一些數。但是只要我們 按等差數列求和公式，求出分母就會發現，可將上面各分數的分母轉化為兩個 連續自然數積的形式。2因如"1 _12(1 + 2)X'2 = 2X321121 + 2 +3 (l-f-3)X3-3X421 + 2+3+W0 " (1 + 10CJ X100 - 1001012所以例題可以轉化為二-1H-2 1 + 2 + ?1 + 2+3+1002,222u34 2X3 %乂4+ iUi1 I2xr + - 4X2 2X311 I2 乂 +2 2 31 1 v

23、3X4100X1011 111 1K1-.- - -+3 4 4100101然后再相加，抵消中間的各個分數即可八、類比思路類比就是從一個問題想到了相似的另一個問題。例如從等差數列求和公式 想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長方體體積公式等等；類比是一個重 要的思想方法，也是解題的一種重要思路。例1有一個掛鐘，每小時敲一次鐘，幾點鐘就敲幾下，鐘敲 6下，5 秒鐘敲完；鐘敲12下，幾秒敲完？分析（用類比思路探討）：有人會盲目地由倍數關系下結淪，誤認為10秒鐘敲完，那就完全錯了。 其實此題只要運用類比思路，與植樹問題聯系起來想一想就通了： 一條線路植 樹分成幾段（株距），如果不包括兩個端點，共需植

24、（n-1）棵樹，如果包括兩 個端點，共需植樹（n + 1）棵，把鐘點指數看作是一棵棵的樹，把敲的時間看 作棵距，此題就迎刃而解了。例2從時針指向4點開始，再經過多少分鐘，時針正好與分鐘重合。分析（用類比思路討論）：本題可以與行程問題進行類比。如圖，如果用時針1小時所走的一格作為路程單位，那么本題可以重新敘述為：已知分針與時針相距4格，分 如果分針與時針同時同向出發，問：分針過多少分鐘可追上時針？這樣就 與行程問題中的追及問題相似了。 4為距離差，速度差為，重合的時間，就是追 上的時間。九、分類思路把一個復雜的問題，依照某種規律，分解成若干個較簡單的問題，從而使 問題得到解決，這就是分類思路。這

25、種思路在解決數圖形個數問題中經常用到,例1如圖，共有多少個三角形?分析（用分類思路考慮）：/ 這樣的圖直接去數有多少個三角形，要做到能不重復，又不遺漏，是 比較困難的。怎么辦？可以把圖中所有三角形按大小分成幾類，然后分類去數, 再相加就是總數了。本題根據條件，可以分為五類（如圖）。C整個。類L3個 E2. 13例2如圖，象棋棋盤上一只小卒過河后沿 這小卒有多少種不同的走法？曖25個著最短的路走到對方 將”處,分析（運用分類思路分析）：小卒過河后，首先到達 A點，因此，題目實際上是問：從/A點出發,沿最短路徑有多少種走法可以到達 將”處，所謂最短，是指不走回頭路因為 將”直接相通的是P點和K點，

26、所以要求從A點到 將”處有多少 種走法，就必須是求出從 A到P和從A到K各有多少種走法。J 分類。一種走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一種走法。二種走法：從A到H有兩種走法。三種走法：從A到M及從A至山各有三種走法。、其他各類的走法：因為從 A到M、到I各有3種走法，所以從A至hN 就有3 + 3 = 6種走法了，因為從A到I有3種走法，從A到D有1種走法，所 以從A到J就有3+1=4種走法了； P與N、J相鄰，而A到N有6種走法，A 到J有4種走法，所以從A到P就有6+4=10種走法了；同理K與J、E相鄰， 而A到J有4種走法，到E有1種走法，所以A到K就有4+1=5種走法。再求從A

27、到 將”處共有多少種走法就非常容易了。十、等量代換思路二有些題的數量關系十分隱蔽，如果用一般的分析推理，難于找出數量之間 的內在聯系，求出要求的數量。那么我們就根據已知條件與未知條件相等的關 系，使未知條件轉化為已知條件，使隱蔽的數量關系明朗化，促使問題迎刃而 解。這種思路叫等量代換思路。例1如圖的正方形邊長是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙 三角形的面積比甲三角形大 6平方厘米，求CE長多少厘米？/分析（用等量代換思路思考）：按一般思路，要求CE的長，必須知道乙三角形的面積和高，而這兩個 條件都不知道，似乎無法入手。用等量代換思路，我們可以求出三角形ABE的面積，從而求出CE的長，怎樣

28、求這個三角形的面積呢？設梯形為內：已知乙二甲+6/丙+ 甲=6 X6=36用甲+6代換乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42即三角形ABE的面積等于42平方厘米，這樣，再來求 CE的長就簡 單了。例2有三堆棋子，每堆棋子數一樣多，并且都只有黑白兩色棋子。第這三堆棋子集中一起，問白子占全部棋子的幾分之幾？分析（用等量代換的思路來探討）：這道題數量關系比較復雜，如果我們把第一堆里的黑子和第二堆的白 子對換一下，那么這個問題就簡單多了。出現了下面這個等式。第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）=第三堆（白子+黑子）（這里指的棋子數）份，則第二堆（全部黑子）為3份，這樣就出現了每堆棋子為3份，3堆棋 子的總份數自然就出來了。而第三堆黑子占了 2份，白子自然就只有32=1份 了。第一堆換成了全部白子，所以白子總共是幾份也可求出。最后去解決白子 占全部棋子的幾分之幾就非常容易了。十一、對應思路分數、百分數應用題的特點是一個數量對應著一個分率，也就是一個數量 相當于單位“1的幾分之幾，這種關系叫做對應關系。找對應關系的思路，我們 把它叫做對應思路。例1有一塊菜地和一塊麥地，菜地的一半和麥地的三分之一放在一起 是91公畝，麥地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公畝，那么，菜地是幾公畝？分析（用對應思路分析）：這是一道復雜的分數應用題，我們不妨用