1、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/141多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用及其應(yīng)用第七章第七章習(xí)題課習(xí)題課一、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類(lèi)一、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類(lèi)二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類(lèi)二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類(lèi)三、關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)、全微分計(jì)算的題類(lèi)三、關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)、全微分計(jì)算的題類(lèi)四、關(guān)于多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的題類(lèi)四、關(guān)于多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的題類(lèi)1.幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用.2.極極(最最)值值機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/142本章基本概念及其關(guān)系本章基本概念及其關(guān)系連續(xù)性連續(xù)性 偏導(dǎo)數(shù)存在偏

2、導(dǎo)數(shù)存在 方向?qū)?shù)存在方向?qū)?shù)存在可微性可微性1. 多元函數(shù)的定義、極限多元函數(shù)的定義、極限 、連續(xù)、連續(xù) 定義域及對(duì)應(yīng)規(guī)律定義域及對(duì)應(yīng)規(guī)律 判斷極限不存在及求極限的方法判斷極限不存在及求極限的方法 函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2. 幾個(gè)基本概念的導(dǎo)出關(guān)系幾個(gè)基本概念的導(dǎo)出關(guān)系機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/143偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可可 微微連連 續(xù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在極限存在極限存在極限存在極限存在【必須【必須熟練掌握熟練掌握本章以下幾個(gè)概念之間的關(guān)系】本章以下幾個(gè)概念之間的關(guān)系】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)

3、束2021/8/144一、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類(lèi)一、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類(lèi)二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限要復(fù)雜得多，計(jì)算二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限要復(fù)雜得多，計(jì)算也更困難：也更困難：【例【例1】2200limyxxyyx 求求【解】【解】取路徑取路徑 y = k x，則，則 , 1)1(limlim22220220kkxkkxyxxyxkxyx 與與k有關(guān)有關(guān),故不存在故不存在.【例【例2】2201)ln(limyxexyyx 計(jì)計(jì)算算初等函數(shù)初等函數(shù).(1,0)定義域定義域內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn).連續(xù)連續(xù).代入法代入法【例【例3】2322222200)(sinlim yxyxyxyx 求求換元換元,化

4、為一元化為一元函數(shù)的極限函數(shù)的極限機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/145【閱讀與練習(xí)】【閱讀與練習(xí)】求下列極限求下列極限; )0( )sin(lim)1(0 axxyayx;)11(lim)2(222yxxayxx ;)sin1(lim)3(100 xyyxxy 【解】【解】 )sin(lim)1(0ayxyxyayx 原式原式 1)11(lim)2(022 exyxxxayx原原式式 )sin1(lim)3(sinsin100exyxyxyxyyx 原式原式【提示】【提示】可以引用一元函數(shù)求極限的各種技巧可以引用一元函數(shù)求極限的各種技巧4422lim)

5、4(yxyxyx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/146【例【例4】【解】【解】222limxyxxyyx 求求由于由于22221|2|022xxxxyxyyxxy 且且021lim2 xx故原極限故原極限=0夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 0lim22224422 yxyxyxyxyx原原式式,214422 yxyx0)11(limlim222222 xyyxyxyxyx(4) 【法【法】【法【法】0220,4444444422 yxyxyxyxyxyx夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/147二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)

6、、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類(lèi)二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類(lèi)1.一般來(lái)說(shuō)，討論一般來(lái)說(shuō)，討論二元二元函數(shù)函數(shù)z = f (x,y)在某點(diǎn)的連續(xù)性、可在某點(diǎn)的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性以及可微性時(shí)，都要用相應(yīng)的偏導(dǎo)性以及可微性時(shí)，都要用相應(yīng)的定義判定定義判定；尤其是；尤其是分段函數(shù)在分段函數(shù)在分界點(diǎn)分界點(diǎn)的上述的上述“性態(tài)性態(tài)”就是要用各自的就是要用各自的定義定義判斷判斷.連連 續(xù)續(xù)),(),(lim0000yxfyxfyyxx 可偏導(dǎo)可偏導(dǎo)hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0000000 可可 微微0),(),(lim),( 0000000 yyxfxyxfzyxyx可可微微點(diǎn)點(diǎn)

7、220000)()(, ),(),( yxyxfyyxxfz 其其中中內(nèi)含三條，缺一不可內(nèi)含三條，缺一不可包括高階偏包括高階偏導(dǎo)數(shù)定義等導(dǎo)數(shù)定義等機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1482.【二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)】二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/149偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如u = f (x , y , z) 在在(x , y , z) 處處 ,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzy

8、xfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 3.【多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)】【多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/14104. 【偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義】【偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義】,),(),(,(00000上上一一點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1411 xyz),(00yx0MxTyTo0 x0y0M 00),(yyyxfz 00),(xxyxfz機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/14

9、12【5.5.幾何意義】幾何意義】 . tan . tan ? )5 , 4 , 2(44 . 522的傾角是多少的傾角是多少軸軸處的切線對(duì)于處的切線對(duì)于在點(diǎn)在點(diǎn)曲線曲線xyyxz tan)5,4,2( xz機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1413【例【例1】【解】【解】 , 0, 00,),(2222222 yxyxyxyxyxf設(shè)設(shè) )0 , 0(),(？處是否連續(xù)處是否連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)問(wèn)問(wèn)yxf2220000lim),(limyxyxyxfyxyx 0 0222 yyxyx)0 , 0(0),(lim00fyxfyx . )0 , 0(),(處處是是連

10、連續(xù)續(xù)的的在在點(diǎn)點(diǎn)即即yxf機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1414【解】【解】 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1415【證】【證】 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立 【證完】【證完】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1416例4. 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)在點(diǎn) (2,1) 處的全微分. yxez 解解:x

11、z222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例5. 計(jì)算函數(shù)的全微分. zyeyxu2sin解解: udyz,yxeyyxex)d2d(2yxe機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1417作業(yè)作業(yè) p100 同濟(jì)同濟(jì)p62, p69機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1418三、三、關(guān)于高階偏導(dǎo)數(shù)、關(guān)于高階偏導(dǎo)數(shù)、全微分計(jì)算的題類(lèi)全微分計(jì)算的題類(lèi)),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfxyzyzxy

12、x 二階純偏導(dǎo)數(shù)二階純偏導(dǎo)數(shù)二階混合偏導(dǎo)數(shù)二階混合偏導(dǎo)數(shù)1. 【高階偏導(dǎo)數(shù)的定義】【高階偏導(dǎo)數(shù)的定義】 , ),(2yxfyxzxzyxy 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1419【定義式】【定義式】xyxfyxxfyxfxxxxx ),(),(lim),(0yyxfyyxfyxfxxyxy ),(),(lim),(0其余類(lèi)推其余類(lèi)推(2) 同樣可得：同樣可得：三階、四階、三階、四階、以及、以及n 階偏導(dǎo)數(shù)。階偏導(dǎo)數(shù)。(3) 【定義】【定義】二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)?！窘狻俊窘狻縳z ,33322yyy

13、x yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1420【解】【解】,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1421yxe22例3. 求函數(shù)求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 2

14、23xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的二階偏導(dǎo)數(shù)及 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1422(4)【問(wèn)題】【問(wèn)題】具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？即混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)即混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān). .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/14232. 【多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則】【多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則】(1) 【可導(dǎo)充分

15、條件】【可導(dǎo)充分條件】?jī)?nèi)層函數(shù)偏導(dǎo)存在內(nèi)層函數(shù)偏導(dǎo)存在, 外層函數(shù)偏導(dǎo)連續(xù)外層函數(shù)偏導(dǎo)連續(xù)(2) 【復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t】全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù) dtdvvzdtduuzdtdz uvxzxyyxvvzxuuzxz yvvzyuuzyz uvtzt),(yxufz yxuyxxuufxfxz yuufyfyz 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1424例1. 設(shè),sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuz

16、yvvzveucosy1 x1 zvuyxyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1425【例【例2】【解】【解】 ., 0, 0,求求一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè) yxxuzy ;1 zyzxyxu );)(ln1 zyzyxxyuz)(ln)(lnyyxxzuzyz 【注意】【注意】 )( zyyzzyxxx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1426例3.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21

17、(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1427【例【例4】【解】【解】，具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)) (),(3fxyxyfxz )1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 【分析】抽象函數(shù)無(wú)中間變量【分析】抽象函數(shù)無(wú)中間變量,引入記號(hào)引入

18、記號(hào)f 1 , f 12等等.xyzyxz 22 2)(4221211413 xfxyfyfxfx)(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx .,222yxzyzyz 求求)(222212xyfyfx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1428為簡(jiǎn)便起見(jiàn) , 引入記號(hào),2121vuffuff ),(1zyxzyxf例5. 設(shè)設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則zxw2111 f22221

19、211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) p100 p100 同濟(jì)同濟(jì)p69,p75p69,p75機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/14293.【全微分全微分】 全微分各偏微分之和全微分各偏微分之和u,v是自變量是自變量或中間變量或中間變量4.【隱函數(shù)的求導(dǎo)法則】【隱函數(shù)的求導(dǎo)法則】(1)公式法公式法(2)推導(dǎo)法推導(dǎo)法( (直接法直接法)方法步驟方法步驟0),( yxF)(xfy yxFFdxdy x、y、z 等各變量地位等同等各變量地位等同0),( zyxF),

20、(yxzz zxFFxz zyFFyz 0),(0),(vuyxGvuyxF ),( , ),( yxvvyxuu 公式不必記公式不必記,要求掌握要求掌握推導(dǎo)法推導(dǎo)法解由解由得到的得到的方程方程(組組), 解出要求的偏導(dǎo)數(shù)解出要求的偏導(dǎo)數(shù).形式不變性形式不變性dvvzduuzdz 搞清哪個(gè)搞清哪個(gè)(些些)是是因變量因變量、中間變量中間變量、自變量自變量；將方程將方程(組組)兩邊同時(shí)兩邊同時(shí)對(duì)對(duì)某個(gè)某個(gè)自變量自變量求求(偏偏)導(dǎo)導(dǎo)；其余自變量的偏導(dǎo)數(shù)同理可求其余自變量的偏導(dǎo)數(shù)同理可求.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1430例1. 設(shè)設(shè),04222zzyx

21、解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 再對(duì) x 求導(dǎo)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1431解法2 利用公式利用公式設(shè)zzyxzyxF4),(222則,2xFxzxFFxz兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1432例2.

22、 設(shè)設(shè), 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx練習(xí)練習(xí): 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 答案答案:由題設(shè)故有機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1433 ,sin, 0),(),(2xyzexzyxfuy 設(shè)設(shè)【例【例3 3】【解】【解】,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 顯然顯然,dxdz求求得得的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩兩邊邊求求

23、對(duì)對(duì),0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 【分析】【分析】 確定確定y=y(x), z=z(x), u=u(x) )三方程兩邊同時(shí)對(duì)三方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo). .于是可得于是可得, ,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故., 0) ,(dxduzf求求且且，具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1434【例【例4】【分析】【分析】隱函數(shù)，含抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)隱函數(shù)，含抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù).【解【解】 公式法公式法.),(

24、22yzfyzyfzx 可微，求可微，求其中其中設(shè)設(shè)),(),( 22yzyfzxzyxF 令令),()(yzfyzyzfFy ),(2yzfzFz 則則.)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfFFyzzy x,y,z .地地位位等等同同機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1435,)()(22yzyyzyzf yyzfyzz )(22yzyfzx .)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfyz 解得解得【解【解】 推導(dǎo)法推導(dǎo)法（直接法）（直接法）【例【例4】【分析】【分析】隱函數(shù)，含抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)隱函數(shù)，含抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù).),(22y

25、zfyzyfzx 可微，求可微，求其中其中設(shè)設(shè)z是是x,y的函數(shù)的函數(shù)兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì)y求導(dǎo)求導(dǎo)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/14362)()(22yzdyydzyzf ydyyzfzdzxdx dyyzfyzyzfxdxdzyzfz)()(2)(2 .)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfyz 解得解得)(22yzyfzx 【解【解】全微分法全微分法【例【例4】【分析】【分析】隱函數(shù)，含抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)隱函數(shù)，含抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù).),(22yzfyzyfzx 可微，求可微，求其中其中設(shè)設(shè)（作業(yè)（作業(yè) p100 p100 同濟(jì)同濟(jì)p89

26、p89）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1437四、關(guān)于多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的題類(lèi)四、關(guān)于多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的題類(lèi)1.【幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用】空間曲線空間曲線有有切線切線和和法平面法平面退化情形退化情形切向量切向量)(),(),(tzztyytxx )( ),(xzzxyy 0),(, 0),( zyxGzyxF)(),(),(tztytx )(),(, 1(xzxy ),(),(,),(),(,),(),(yxGFxzGFzyGF 空間曲線空間曲線T平面曲線平面曲線C切向量切向量)(xfy 0),( yxF)(, 1(xf ),(xyFF T(P85; 同濟(jì)

27、同濟(jì)p94)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1438空間曲面空間曲面有有切平面切平面和和法線法線退化情形退化情形0),( zyxF),(yxfz ),zyxFFF（)1,( yxff法向量法向量空間曲面空間曲面n平面曲線平面曲線C法向量法向量)(xfy 0),( yxFn)1),(xf ),(yxFF(P88; 同濟(jì)同濟(jì)p98)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1439【例【例1】【解】【解】處的切平面處的切平面在點(diǎn)在點(diǎn)求曲面求曲面)14, 1, 2(23022 Myxz方程、法線方程和向上法線的方向余弦方程、法線方

28、程和向上法線的方向余弦. , 12)1, 2( xf , 4)1, 2( yf 1)1, 2( zf切平面切平面0)14()1(4)2(12 zyx法法 線線 11441122 zyx向上法線方向與向上法線方向與z 軸正向夾角為銳角，故所求方向余弦為軸正向夾角為銳角，故所求方向余弦為 16112)1()4(1212cos222 ; 1614cos 1611cos 2223),(yxyxf 由由機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1440【解】【解】 設(shè)設(shè) 為曲面上的切點(diǎn)為曲面上的切點(diǎn), ,),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(20000

29、00 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 【分析】【分析】為隱式情形（待定常數(shù)法）為隱式情形（待定常數(shù)法）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1441因?yàn)橐驗(yàn)?是曲面上的切點(diǎn)，是曲面上的切點(diǎn)，),(000zyx, 10 x所求切點(diǎn)為所求切點(diǎn)為滿(mǎn)足方程滿(mǎn)足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)機(jī)動(dòng)

30、機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1442【解】【解】, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1443【例【例4】【解】【解】【分析】【分析】的交線的交線和平面和平面求求06222 zyxzyx . )1 , 2, 1(處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程在點(diǎn)在點(diǎn) M空間曲線方程為一般式

31、，理論上化為參數(shù)式，空間曲線方程為一般式，理論上化為參數(shù)式，再用隱函數(shù)求導(dǎo)的推導(dǎo)法（直接法）求導(dǎo)再用隱函數(shù)求導(dǎo)的推導(dǎo)法（直接法）求導(dǎo).曲線方程為曲線方程為 00222zyxzyx )()( xzzxyyxx 010222dxdzdxdydxdzzdxdyyx , 0)1 ,2, 1()1 ,2, 1( yzzxdxdy , 1)1 ,2, 1()1 ,2, 1( yzxydxdz切切 線：線： 11021 zyx法平面：法平面： 0 )1()1( zx 0 zx 0211 yzx（即（即P87例例2同濟(jì)同濟(jì)p96例例5）（作業(yè)（作業(yè) p105 同濟(jì)同濟(jì)p100）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束2021/8/1444二元函數(shù)極值的判定定理二元函數(shù)極值的判定定理0),(, 0),(0000 yxfyxfyx又又2.【極【極(最最)值】值】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束