1、帕斯卡與前 n 個自然數的平方和十七世紀的法國數學家帕斯卡（ Pascal B. ，）想出了一個新的很妙的方法能求出前 n 個自然數的平方和。這個方法是這樣的：利用和的立方公式，我們有（ n 1） 3 n3 3n2 3n 1，移項可得（ n 1） 3 n33n2 3n 1，此式對于任何自然數 n 都成立。依次把 n1,2， 3， n 1，n 代入上式可得33221 3?1 3?11，33232 3?2 3?21，33243 3?3 3?31，n3（ n 1）3 3（ n 1）2 3（ n 1） 1，（ n 1） 3 n33n2 3n 1，把這 n 個等式的左邊與右邊對應相加，則n 個等式的左邊

2、各項兩兩相消，最后只剩下（n 1）3 1；而 n 個等式的右邊各項，我們把它們按三列相加，提取公因數后，第一列出現我們所要計算的前n個自然數的平方和，第二列出現我們在上一段已經算過的前n 個自然數的和，第三列是n 個 1。因而我們得到（ n 1） 3 1 3Sn 3n( n 1) n，2現在這里 Sn 12 22 n2。對這個結果進行恒等變形可得n3 3n2 3n 3Sn 3n(n 1) n，22n3 6n2 6n 6Sn 3n2 3n 2n移項、合并同類項可得6Sn 2n3 3n2 nn（ n1）（ 2n 1）， Sn 1 n（ n 1）（ 2n 1），6即12 22 32 n2 1n（ n

3、 1）（2n 1）。6這個方法把所要計算的前 n 個自然數的平方和與已知的前 n 個自然數的和及其它一些已知量通過一個方程聯系起來，然后解方程求出所希望得到的公式，確實是很妙的。前 n 個連續自然數的平方和公式的最新證明方法袁志紅關于前 n 個連續自然數的平方和： 122232n 2 1 n( n 1)(2n 1) 的證明方法6很多，這里不再一一列舉了 .為了讓小學生掌握住這個公式， 我現在用一種比較合適的方法，方便孩子們理解和掌握，同時發現這個方法教學效果很好 .我們先來計算：122232 =1×1+2× 2+3× 3，即 1 個 1 與 2 個 2 與 3 個

4、 3 的和。為此我們把這些數排列成下面等邊三角形的形狀的數表：122333把這個等邊三角形數表順時針旋轉120 度得到數表：332321再把數表順時針旋轉120 度得到數表：323123觀察、三個數表對應位置的數字，看看它們之間有什么規律？不難發現：最頂層的三個數字是： 1、3、3；第二行左側三個數字是：2、 3、 2；第二行右側三個數字是：2、 2、 3；第三行最左側三個數字是：3、3、1；第三行中間三個數字是：3、 2、 2；第三行最右側三個數字是：3、1、3.通過簡單地計算發現，上面每一組數字之和都是7.每個數表都是 6 個位置，所以三個數表數字之和：共6 個 7，而這三個數表的數字都是

5、一樣的（因為都是旋轉得到的，只是改變了位置關系，數字不變），所以每個數表數字之和為： 6× 7÷ 3.而數表中數字的個數可以這樣計算：第一行排 1 個數，第二行排 2 個數；第三行排 3 個數，所以共排了： 1+2+3=6個數字。所以 122232(133)(123)3=（ 1+2×3）× 3×（ 3+1）÷ 6；同理 122232n2 也可以采用上面的方法推導出來：122333nnnn nnnnnn120nnn-1nn-1n-2nn-1n-2n-3nn-1n-2n-3 43 2 1把數表再順時針旋轉120 度，得到：nn-1nn-2n-1nn-3n-2n-1n12 3n-1n三個數表對應位置數字之和都是：1+n+n=2n+1,每個數表共排數字：1+2+3+4+ n=n(n+1) ÷ 2, 所以三個數表數字之和： （ 2n+1）n(n+1) ÷ 2, 所以每個數表數字之和：1(1)( 2n1).6n n即 22232n21