1、貨幣的時間價值與年金計算一、現值與未來值（一）基本概念如果將一筆資金存入銀行1年，由于將資金的使用權暫時讓渡給了銀行，所以一年的年末的時候，銀行在歸還這筆資金本身（也叫做本金）之外，還將額外支付這筆資金的使用費，這筆使用費通常叫做利息，利息與本金之比叫做利率。這就是資金的時間價值，利息就是資金時間價值的體現。由于資金有了時間價值，所以我們可以說，年初的10000元，在未來變成11000元，或其他的數額。在投資開始時的資金的數量叫做資金的現值（簡稱現值PV），在投資后某一個時間點的資金的數量叫做資金的未來值（簡稱未來值FV）。（二）各期計息利率相同的現值與未來值計算在復利計算原則下，如果已知資金

2、的現值PV（本金），每一投資周期的利率i及總的投資期數n，則可以用下列公式計算資金的未來值FV：在復利計算原則下，如果已知資金的未來值FV，每一投資周期的利率i及總的投資期數n，則可以用下列公式計算資金的現值PV： 用excel進行貨幣的現值和未來值可以有兩種方法，一種是根據現值和未來值的計算公式，直接轉換成excel的計算公式進行計算；另一種方法是運用excel的函數進行計算。下面先介紹excel的現值函數和未來值函數，然后對這兩種計算方法進行示例。1、FV函數格式：FV（單位投資期利率i，總投資期數n ， ，投資額PV）功能：已知每一單位投資期利率i，總投資期數n，及初始投資額PV，計算到

3、投資期滿時，可收回的資金量（未來值FV）。注意，該函數的第3個參數為空，即第2個與第3個逗號之間沒有數據。2、PV函數格式：PV（單位投資期利率i，總投資期數n ， ，投資期滿時的資金量FV）功能：已知每一單位投資期利率i，總投資期數n，計算投資期滿時的資金量（未來值FV）相當于投資開始時點的資金PV，換句話說，就時計算未來的資金量FV，相當于現在的多少資金量PV。例1：年利率為3.5%，現在存入2300元，那么10年后本息本是多少？這是一個已知現值求未來值的例子，其中，單位投資期為年，所以i=3.5%，n=10，PV=2300，因此計算公式為： =FV(3.5%,10,2300)計算結果：3

4、244.38例2：年利率為3.5%，但每月計算1次利率，現在存入2300元，那么10年后本息本是多少？在這個例子中，單位投資期為月，所以單位投資期利率i=3.5%/12，投資總期n=10*12，PV=2300，因此計算公式為： =FV(3.5%/12,10*12,2300)計算結果：3262.19例3，如果年利率為3.5%，希望10年后能從銀行中取出10000元，那么現在應該存入多少錢？這是一個已知未來值求現值的例子，未來值FV為10000元，所以計算公式為： =PV(3.5%,10,10000)計算結果：7089.19例4：現存入1000元，在年利率為3%，4.2%，5%，8%，9.5%等各

5、種利率情況下，未來10年內每一年年末的積累值，并作圖分析。本題要計算的結果很多，每一種利率情況下，每一年都要一個計算結果，每一個計算結果需要一個計算公式來完成，所以一共需要50個計算公式。為了減少計算公式的輸入量，需要精心安排計算表格，并運用excel的相對引用和絕對引用的性質，使用在輸入了最初的計算公式后，其余的計算公式通過復制就可以得到。為此，將計算表格設計如下：圖一 計算表格的布局設計每一個計算公式的形式均為：=FV（年利率，年數，存款額）。所以，表格中第一行的公式如下：單元格計算公式D6=-FV($D$5,C6,$D$4)E6=-FV($E$5,C6,$D$4)F6=-FV($F$5,

6、C6,$D$4)G6=-FV($G$5,C6,$D$4)H6=-FV($H$5,C6,$D$4)$D$5為利率，C6為投資年數，$D$4。因為在這一列中，每一行都引用同一個利率進行計算，所以使用絕對引用，在公式復制時，利率坐標就不會發生改變，而不行的年份數據是在逐步改變的，所以用相對引用，這樣在復制時，C6就會依次改為C7，C8，其余類推。又因為FV及PV的計算結果均為負數，為了使計算結果為正，所以在每一個計算公式前都加了一個負號。圖二 表中第一行計算公式圖三 第一行的計算結果在表格中依次輸入第一行的每一個公式后，可得到圖三所示的計算結果。然后，將第一行復制到表格中其余各行就可得到如圖四所示的

7、結果：圖四 計算結果根據計算結果，可以做折現圖分析利率變化對未來值的影響。圖五 各種利率情況下資金未來值比較從圖中可以看出，隨著投資年數的增加，不同利率的未來值的差額越大。例5：假設年利率為5%，試計算未來10年每一年年末時的1000元，相當于現在的多少錢，并作圖表示之。圖六 數據布局及第一個計算公式因為利率是固定在C5單元格，所以在第一個計算公式中采用絕對引用，以便在復制該公式時，利率的單元格引用不會發生改變，同樣為了使計算結果為正，所以在計算公式的前面加了一個負號。圖七 第一個計算公式輸入后的計算結果在輸入第一個計算公式并得到計算結果后，將該公式復制到表格中其他單元格，就可得到整個計算結果

8、。圖八 計算結果圖九 根據計算結果得到的資金未來值變化圖從圖中可以看出，隨著年數的增加，未來1000元資金的對應的現值是越來越少。例如，第5年末的1000元相當于現在的785.53，而在第10年末的1000元只相當于現在的613.91元。（三）多重現金流的現值、未來值及利率問題的求解在實務中，常常遇到已知多重現金流的問題，即在一段時間內可能有多次資金的支付，往往需要知道這多次支付的現值或未來值。通過的做法是將每一次資金的支付分別折現到時刻0，然后再將這些折現值相加就可得到所有資金對應的折現值。同樣，可以將每一次資金的支付積累到時刻n，然后再將實些積累值相當就可得到所有資金到時刻n的積累值。另一

9、個就是實際中常常遇到的問題是，已知一段時期內，若干次支付及這些支付對就的現值或積累值，需要知道相應的利率，這樣的問題，一般是根據“所有支付的現值等于時刻0的值”或“所有支付積累到時刻n的積累值等于總的積累值”得到一個一元方程，然后將方程進行整理，使得包含未知量（利率）的因子都在方程的左邊，而方程的右邊只有常量，這時方程的左邊叫做目標函數，方程的右邊叫做目標值。最后用excel的“單變量求解”命令就可求得利率。用“單變量求解”命令求方程的根的基本過程如下：1、在工作表中選定一個單元格存放利率的值（利率是未知量），利率用在單元格叫做可變單元格。2、在工作表中再選定一個單元格存放方程左邊的目標函數（

10、根據excel表達式的書寫規則輸入），目標函數中，所有涉及未知利率的地方，均用利率所在單元格的引用（坐標）來代替，目標函數中利率所在單元格叫做目標單元格。3、運用excel的“單變量求解”命令4、“單變量求解”的對話框中輸入命令中所需要的參數的值（目標單元格的坐標，目標值，可變單元格的坐標）5、得到方程的解。例：一個學生獲得一筆學費貸款，15000元，需要在第5年末歸還8000元，在第6年末歸還8500元，求該筆貸款的實際利率？解：第一步，根據現值相等原理，還款金額在規定利率下的現值之和應該等于貸款金額，得到下列方程：由于，所以該方程的實際未知量是利率i，且所有未知量均在方程的左邊，方程的右邊

11、是常量。所以目標函數為：，目標值為15000。第二步，用excel進行求解，得到利率，具體過程如下：1、設計計算表格的布局，確定利率i的初始值（根據經驗假設，一般在10%左右）及存放的單元格，確定折現因子存放的單元格，并在這個單元格輸入計算折現因子v的計算公式，最后確定存放目標函數的單元格，并在這個單元格中按照excel表達式的輸入規則輸入目標函數的計算公式。如圖所示：2、使用excel的“單變量求解”命令。3、輸入命令所需要參數的值：目標函數的引用（坐標），目標值（必須是常量），可變單元格的引用（坐標）4、得到計算結果。（四）各期計息利率不同的現值和未來值023n-1n1未來值現值t各期計息

12、利率不同的現值和未來值設共有n個計息期，每個計息的利率分別為：，則現值和未來值的關系可表示如下：1、已知現值，各項計息利率，計算未來的excel函數為：格式：FVSCHDULE（現值，利率表）在該函數中，利率表有兩種方法給定：（1）在函數中直接給定各期利率，格式為：格式：FVSCHDULE（現值，）注意，函數中，利率表必須用大括號括起來，且利率表中直接給定的利率只能是小數，不能是百分數表示的利率。（2）先在excel工作表中的一個連續區域依次各期的計息利率，然后在函數中“利率表”的位置給出各期計息利率在工作表中的單元格區域地址。格式：FVSCHDULE（現值，利率表中工作表中的區域地址）在這種

13、格式下，利率可以是小數表示，也可以是百分數表示。在實務中，一般用這第二種形式來進行計算。2、已知未來值計算現值，沒有直接的excel函數進行計算，可以先計算各期的折現因子，然后再利用excel的計算連續乘積的函數來進行計算。格式I：PRODUCT（未來值，）格式II：PRODUCT（未來值， ）其中，各期折現因子一般是存放在一個連續的區域中。未來值可以在函數中直接給定，也可以是先將未來值存放在一個單元格中，在函數中則給定未來值的單元格引用，在實務中，一般是采用后一種方法。例：已知各期計息利率為 2.5% , 2.8% , 3.0% , 2.9% , 3.5% ,3.2%,3.2% , 3.0%

14、 ,3.2% ,3.2% 計算：（1）現在存入10000元，第6年末的本息和是多少？（2）現在存入10000元，第10年末的本息和是多少？（3）如果第10年末需要10000元，現在應該存入多少錢？二、年金（一）基本概念1、年金概念及分類年金就是一系列按照相等的時間間隔支付的款項。例如，貸款購房后，其后10年每月等額歸還貸款本息就構成一個年金。退休后每月領取等額的退休金也構成一個年金。年金分為期初年金和期末付年金兩種。期末付年金是每個付款期末付款，期初付年金是在每個付款期初付款。123n-2n-1nP元P元P元P元P元P元每期支付P元共支付n期的期末付年金示意圖123n-2n-1nP元P元P元P

15、元P元P元每期支付P元共支付n期的期初付年金示意圖對于年金來說，就是要計算年金的現值和終值。年金現值是指在整個支付期內每期支付的款項按復利計算原則折現到第1次支付期開始時的資金總額。其含義相當于計算如果貸款購房，以后每期歸還P元，共歸還n期，求現在可貸貸款多少元的問題。或如果以后希望每次領取P元養老金，共領取n期，那么現在需要存入多少錢。年金終值是批在整個支付期內每期支付的款項按復利計算原則積累到第n期末時的資金總額。其讎是相于計算如果每期存款P元，那么到第n期末一共可收回多少本息。2、年金現值、未來值的理論計算公式設年金每期計息利率為，折現因子，總支付期數為n，每期支付額為P元，根據復利計算

16、原則，可得到年金現值和積累值計算公式：項目理論計算公式期末付年金現值期初付年金現值期末付年金至第n期末積累值期初付年金至第n期末積累值（二）有關年金計算的excel函數年金的計算可以直接根據上述公式轉換成excel計算公式，但從上述年金理論計算公式可以看出，年金的計算是比較復雜，記憶不方便，所以excel專門設計了一系列的年金計算函數。在實務中，一般是運用有關的年金計算函數來計算與年金的有關問題。1、年金現值計算函數格式：PV（每期利率，支付總期數，每期支付額，0，年金類型）功能：已知年金每期計息的實際利率RATE，總的支付期數NPer，每期支付的金額PMT，年金的類型TYPE（期初付年金其類

17、型為1，期末付年金其類型為0），計算該年金的現值。其中，第4個參數為未來值，在計算年金現值時為0，也可省略為空，但逗號不能省略。2、年金積累值計算函數格式：FV（每期利率，支付總期數，每期支付額，0，年金類型）功能：已知年金每期計息的實際利率，總的支付期數，每期支付的金額，年金的類型，計算該年金到最后一次支付期末的積累值。其中，第4個參數為現值，在計算年金積累值時為0，也可省略為空，但逗號不能省略。3、年金每期支付額計算函數格式：PMT（每期利率，支付總期數，年金現值，年金積累值，年金類型）功能：已知年金每期計息的實際利率，總的支付期數，年金的現值或積累值，以及年金的類型，計算該年金每期的支付

18、額。其中，年金的現值和積累值僅用其一，如果給定現值，則未來值為0或為空，反之亦然；注意：上述函數的計算結果均為負數，表示支付，如果要使計算結果為正，則每期支付額應該為負。4、年金每期計息利率計算函數格式：RATE（支付總期數，每期支付額，現值，未來值，年金類型，利率初值）功能：已知年金總的支付期數，每期支付額，年金現值或未來值，以及年金類型，計算年金的每期計息的實際利率其中，年金的現值和積累值僅用其一，如果給定現值，則未來值為0或為空，反之亦然。每期支付額與年金現值（或未來值）必須是符號相反。也就是說，如果每期支付額為正，則年金現值（或未來值）就為負，反之每期支付額為負，則年金現值（或未來值）

19、就為負。利率初值在是excel在計算時首先假設的一個利率，excel根據這個利率，進行迭代計算，得到實際求解的利率。此參數可以省略，如果省略該參數，則excel自動假設該參數的值為10%。5、年金支付期數計算函數格式：NPER（利率，每期支付額，現值，未來值，年金類型）功能：已知年金的每期計息利率，每期支付額，年金現值或未來值，以及年金類型，計算年金的總支付期數。其中，每期支付額與年金現值（或未來值）必須是符號相反。6、年金計算函數基本使用方法（1）計算年金的現值和積累值已知項目值每期利率 RATE5% 總支付期數 NPER10 每期支付額 PMT1000 年金計算公式計算結果期末付年金的現值

20、=PV(5%,10,1000,0)￥-7,721.73期初付年金的現值=PV(5%,10,1000,0,1)￥-8,107.82期末付年金的積累值=FV(5%,10,1000,0,0)￥-12,577.89期初付年金的積累值=FV(5%,10,1000,0,1)￥-13,206.79（2）計算年金的每期支付額已知項目值每期利率 RATE5% 總支付期數 NPER10 期末付年金現值7721.73 期初付年金現值8107.82 期末付年金積累值12577.89 期初付年金積累值13206.79 每期支付額 PMT計算公式計算結果根據期末付年金現值計算 PMT=PMT(5%,10,7721.73,

21、0,0)￥-1,000.00根據期末付年金積累值計算 PMT=PMT(5%,10,8107.82,0,1)￥-1,000.00根據期初付年金現值計算 PMT=PMT(5%,10,0,12577.89,0)￥-1,000.00根據期安付年金積累值計算 PMT=PMT(5%,10,0,13206.79,1)￥-1,000.00（3）計算年金每期計息利率已知項目值總支付期數 NPER10每期支付額 PMT1000期末付年金現值7721.73期初付年金現值8107.82期末付年金積累值12577.89期初付年金積累值13206.79每期計息利率 RATE計算公式計算結果根據期末付年金現值計算 RATE

22、=RATE(10,1000,-7721.73,0,0,4%)5%根據期末付年金積累值計算 RATE=RATE(10,-1000,8107.82,0,1,7%)5%根據期初付年金現值計算 RATE=RATE(10,-1000,0,12577.89,0)5%根據期安付年金積累值計算 RATE=RATE(10,1000,0,-13206.79,1,10%)5%4、計算年金的總支付期數已知項目值每期計息利率 RATE5%每期支付額 PMT1000期末付年金現值7721.73期初付年金現值8107.82期末付年金積累值12577.89期初付年金積累值13206.79項目計算公式計算結果根據期末付年金現值

23、計算 NPER=NPER(5%,-1000,7721.73,0,0)10 根據期末付年金積累值計算 NPER=NPER(5%,1000,-8107.82,0,1)10 根據期初付年金現值計算 NPER=NPER(5%,1000,0,-12577.89,0)10 根據期安付年金積累值計算 NPER=NPER(5%,-1000,0,13206.79,1)10 （三）綜合應用1、某人需要貸款13萬元用于購房，名義年利率為6.35%。（1）每月末等額還一次貸款本息，10年還完，問每月應還款金額。（2）每月末等額還一次貸款本息1000元，問需要多少個月（多少年）才能還完貸款。解：（1）每月末等額還一次貸

24、款本息，10年還完，問每月應還款金額。方法一、利用年金計算公式直接計算。設每月還款金額為P元，月實際利率為，且：將該公式轉換成excel計算公式就可計算出每月還款額P。Excel計算過程如下方法二、利用excel的年金計算函數PMT年金計算函數的基本格式：PMT（實際利率，年金期數，現值，終值，期初或期末支付）功能：根據年金的現值或終值以及實際利率、年金支付期數等計算每期的支付額。其中，如果是期初支付，則參數“期初或期末支付”的值為1；如果是期末支付，則參數“期初或期末支付”的值為0。如果根據現值計算每期支付額，則終值為0，如果根據終值計算每期的支付額，則現值為0。計算過程如下：（2）每月末等額還一次貸款本息1000元，問需要多少個月（多少年）才能還完貸款。這是求年金總支付期數的問題，應用excel的NPER函數可以直接求得年金的總支付期數。2、某人計劃每月初存500元，如果年名義利率為2.45%，問最少需要多少年才能存夠10萬元。解：每月初存款500元，構成一個期初付年金，支付期度量單位為“月”，所以每期計息利率為：每期計息利