1、圓錐曲線的綜合問題直線和圓錐曲線問題解法的一般規律“聯立方程求交點，根與系數的關系求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”一 直線與圓錐曲線的位置關系(1) 從幾何角度看，可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異的公共點.(2) 從代數角度看，可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程 解的情況來判斷.1設直線I的方程為Ax+By+C= 0,圓錐曲線方程f(x,y)= 0.由AX+By C0，消元。如消去y后得a+bx+c= 0.f(x,y) 01若a= 0，當圓錐曲線是雙曲線時，直線I與雙曲線的漸近線平行或重合；當圓錐曲線是拋物線時，直線I與拋物線的對稱軸平行或重

2、合.2若0，設A=b2 4aca.A0 時，直線和圓錐曲線相交于不同兩點；b.A= 0 時，直線和圓錐曲線相切于一點；c.Av0 時，直線和圓錐曲線沒有公共點.2. “點差法”的常見題型求中點弦方程、求(過定點、平行弦)弦中點軌跡、垂直平分線問題.必須提醒的是“點差法” 具有不等價性，即要考慮判別式A0 是否成立.3直線與圓錐曲線相交時的弦長問題(1) 斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點Pi(xi,yi),P2(X2,y2),則所得弦長 IP1P2I；2 : 1=_ 1 1 + k|Xk|X1 X X2|_或 IP1P2| =1 +；2|屮y2|.(2) 當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運

3、算(利用軸上兩點間距離公式).4圓錐曲線的中點弦問題遇到中點弦問題常用“根與系數的關系”或“點差法”求解.b2x0 x2y2y)為中點的弦所在直線的斜率k=孑訂；在雙曲線存=1 中，以只溝,y)為中點的弦所2 2x y在橢圓孑+b2= 1 中，以P(X0,在直線的斜率k=號召；在拋物線？= 2px(p0)中，以P(x。，y。)為中點的弦所在直線的斜率k_pyo.題型一圓錐曲線中的范圍、最值問題【例 1】 已知拋物線C：y2= 4x,過點A(1,0)的直線交拋物線C于P、Q兩點，設AP=:AQ.(1)若點P關于x軸的對稱點為M，求證：直線MQ經過拋物線C的焦點F;1 1(2)若腹 3, 2，求

4、IPQI 的最大值.思維啟迪(1)可利用向量共線證明直線MQ過F; (2)建立|PQ|和入的關系，然后求最值.解析：(1)證明 設P(x1, yd,Q(x2,y2),M(x1, yj.ffTAP=AQ，二X1+ 1 =Xx2+ 1),y1=入2，y1=Z?y2,y2= 4x1,y2= 4x2,X1=Z?x2,鞏X2+ 1 =4冷+1),入2并1)= 1,1入工 1, .x2=,X1=入又F(1,0),f.MF=(1X1,yd=(1入入2,1f=入：一 1 ,y2=?FQ,人.直線MQ經過拋物線C的焦點F.1(2)解由(1)知X2=；X1=入人得x1x2= 1,y!y2= 16x1x2= 16,

5、 丫$20,. 丫兩 4,=x2+x2+y1+yf 21X2+yy)13=U -+2216,1 115 10入 -, 32，入23，探究提咼圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函 數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值.變式訓練 1 (2012 四川如圖，動點M與兩定點A( 1,0)、B(1,0)構成MAB，且直線MA、MB的斜率之積為 4設動點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程.(2)設直線y=x+m(m0)與y軸相交于點P,與軌跡C相交

6、于點Q,R,|PR|且|PQ|0 , 而當 1 或一 1 為方程(*)的根時，m的值為一 1 或 1.結合題設(m0)可知，m0 且mM1.設Q、R的坐標分別為(XQ,yQ),(XR,yp),則XQ,XR為方程(*)的兩根.1 10當心十 3,即|PQ|2有最大值1129，|PQ|的最大值為此時,MA的斜率為土，x+ 1MB的斜率為(2)由y=x+m,4x2y2 4= 0m 2m2+ 3因為 |PQ|PR|，所以 |XQ|XR|,XQ=題型二圓錐曲線中的定點、定值問題3【例 2】 已知橢圓C經過點A1，2，兩個焦點為(一 1,0)、(1,0).(1) 求橢圓C的方程；(2)E、F是橢圓C上的兩

7、個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.思維啟迪可設直線AE的斜率來計算直線EF的斜率，通過推理計算消參 解析x2y2(1)解 由題意，c= 1,可設橢圓方程為+b2= 1.19因為A在橢圓上，所以 市+荷1，解得b2= 3,b2=所以橢圓方程為x+牛=1.XR=m+ 2 :m2+ 33所以211 +- 3，且 1 +2 1+2 1Vm所以IPRI1 1IPQI XR|PR|XR5一 0 ,8mkX1+x2= Cl *|2,則3+4k4m2 3x2=3+ 4k2.又y$2= ( (kx1+m)()(kx2+m) )=劉血劉血+ +mk( (X

8、1+X2) )+m2=橢圓的右頂點為A2(2,0),AA2丄BA2,(X1 2)(X2 2) +yy= 0,二y1y2+X1X2 2(x1+X2)+ 4 = 0,解設橢圓方程為（2） 證明設A(X1,y1),B(X2,y2),聯立2 2X y + -43=1,m24k23+4k2(2)假設存在符合題意的直線I，設其方程為y= 2x+t.3m2 4k24m2 316mk-3+4k2+3+4k2+3T4i?+4=0，oo2k 7m2+ 16mk+4k2= 0,解得m1= 2k,m2=,由，得 3+ 4k2m20,當mi= 2k時，I的方程為y=k(x 2),直線過定點(2,0),與已知矛盾.2k2

9、2當m2= 7 時，|的方程為y=k x 7，直線過定點 7 o ,2直線I過定點，定點坐標為7， o.題型三圓錐曲線中的探索性問題【例 3】 已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A(2,3),且點F(2,0)為其右焦點.(1) 求橢圓C的方程；(2) 是否存在平行于OA的直線I,使得直線I與橢圓C有公共點，且直線OA與I的距離等 于 4?若存在，求出直線I的方程；若不存在，說明理由.思維啟迪可先假設I存在，然后根據與C有公共點和與OA距離等于 4 兩個條件探求.解析x2y2C的方程為+2= 1(ab0)，且可知其左焦點為F(a b2,0).從而有c= 2,2a= |AF| + |AF | =3

10、+ 5= 8,又a2=b2+c2，所以b2= 12,x2y2故橢圓C的方程為 16+12= 1.解方法一(1)依題意，可設橢圓c= 2,解得a= 4.因為直線l與橢圓C有公共點， 所以A=(3t)24X3X(212)0,解得4：3b0),49且有討孑=1,才一b2= 4.從而a= 16.(2)同方法一.探究提咼解決直線與圓錐曲線位置關系的存在性問題，往往是先假設所求的元素存在，然后再推理論證，檢驗說明假設是否正確.變式訓練 3(2012 江西已知三點0(0,0),A( 2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿ffff足 |MA+MB| =OM(OA+OB)+ 2.(1) 求曲線C

11、的方程；(2) 動點Q(Xo,y)( 2X02)在曲線C上,曲線C在點Q處的切線為l問：是否存在定點P(0,t)(t0)，使得I與PA,PB都相交，交點分別為D,己，且厶QAB與厶PDE的面積之比是常 數？若存在，求t的值；若不存在，說明理由.ff解(1)由MA= ( 2 x,1 y),MB= (2 x,1 y),3y= 2%+1,16+12=1得 3x2+ 3tx+t2 12= 0.另一方面，由直線t=213.所以橢圓C的方程為 16+12=1.OA與I的距離d= 4,得解得2-XEXD=x+4t(10X01|MA+MB| = 廠-2x2+2-2y2,OM(OA+OB)=(x,y)(0,2)

12、 2y=由已知得；一 2x_2+一 2 2y2= 2y+ 2, 化簡得曲線C的方程：x2= 4y.(2)假設存在點P(0,t)(t0)滿足條件，t 1則直線PA的方程是y=-x+1,1 tPB的方程是y=x+1.xox0 xo曲線C在Q處的切線I的方程是y= 2X 4，它與y軸的交點為F0, 4 .xo由于一 2X02，因此一 121.t 11x0t 1當一 1t0 時，一 1 2,存在x0 ( 2,2),使得-=2-即I與直線PA平行，故當1t0 時不符合題意.t 1X01 tX0當t-1時，丁-112,所以I與直線PA,PB一定相交.t 11 ty=x+1,y=x+1,分別聯立方程組22x

13、0X0X0Xo尸 ix4,尸 ix4,解得D,E的橫坐標分別是XD=2“節 十2X0+ 1 tx2+ 4tXE=2x+11x4+ 8tx0+ 16t2SQABXo ( 2,2),要使 為常數,SA PDE4t 12= 8t,t滿足 4t 12=16t2.SA QAB解得t=- 1此時=2,SA PDE故存在t= 1,使得QAB與厶PDE的面積之比是常數 2.19.圓錐曲線中的函數思想思想與方法2 2x y典例：(12 分)已知橢圓-+ - = 1 上的兩個動點P,Q,設P(X1, y,Q(X2,y2)且X1+X2= 2.(1)求證：線段PQ的垂直平分線經過一個定點A;(2)設點A關于原點O的對

14、稱點是B,求|PB|的最小值及相應的P點坐標.審題視角(1) 引入參數PQ中點的縱坐標，先求kpQ，利用直線PQ的方程求解.(2) 建立|PB|關于動點坐標的目標函數，利用函數的性質求最值.又 |FP| = X0t,11 t有SA PDE=IFP| XEXD|=x2+ 4t2t 12x0,1又SA QAB=2 4 x24x21 & P，SA QAB4曰_ _是SAPDE1 tx0-4x0-t 1x2+ 4t2力一4+t 12x2+ 4t 122對任意即只需1該直線恒過一個定點A(2,0).規范解答yi一y2i設線段PQ的中點N（i，n）心Xi2亦,線段PQ的垂直平分線方程為yn= 2n

15、（X i）,（2x i）ny= 0,i該直線恒過一個定點Aq, 0）.當Xi=X2時，線段PQ的中垂線也過定點A（i, 0）.i綜上，線段PQ的垂直平分線恒過定點A（2，0）.（2）解 由于點B與點A關于原點O對稱，i 故點B（2，0）.一 2Xi2, 2X2w2, Xi=2X20,2,ii79IPBI2=（xi+2）2+y=2（xi+i）2+44，溫馨提醒（1）本題是圓錐曲線中的綜合問題，涉及到了定點問題以及最值問題.求圓錐曲線的最值問題是高考考查的一個重要問題，通常是先建立一個目標函數，然后利用函數的單調性、函數的圖象、函數的有界性或基本不等式等求最值，本題是建立二次函數、利用二次函數的圖

16、象求最值.（2）本題的第一個易錯點是，表達不出線段PQ的中垂線方程，原因是想不到引入參數表示PQ的中點.第二個易錯點是，易忽視P點坐標的取值范圍.實質上是忽視了橢圓的范圍思想方法感悟提高方法與技巧i.解決直線與橢圓的位置關系問題，如果直線與橢圓有兩個不同交點，可將直線方程y=kx（1） 證明 P（X1,yi）,Q（X2,y，且xi+X2= 2.x2+ 2y1= 4當X2時，由x2+ 2y2= 4 ，得yiy2XiX21Xi+X22yi+y2當點P的坐標為（0, 土.2）時,IPB|min=x2y2+c代入橢圓方程尹衛=i整理出關于x（或y）的一元二次方程Ax2+Bx+C= 0,A=B22.圓錐

17、曲線綜合問題要四重視：(1) 重視定義在解題中的作用；(2) 重視平面幾何知識在解題中的作用；(3) 重視根與系數的關系在解題中的作用；(4) 重視曲線的幾何特征與方程的代數特征在解題中的作用.失誤與防范1.在解決直線與拋物線的位置關系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況. 2中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證40 或說明中點在曲線內部.練出高分A 組專項基礎訓練1直線y=kx+ 2 與拋物線y2= 8x有且只有一個公共點，則k的值為( )A. 1B. 1 或 3C. 0D . 1 或 0解析y=kx+ 2,由2得ky2 8y+ 16= 0,若k= 0,貝Vy= 2,若

18、kz0，若A= 0, 即卩 64 64k= 0,y= 8x解得k= 1，因此直線y=kx+ 2 與拋物線y2= 8x有且只有一個公共點，則k= 0 或k= 1.2 2x y2.AB為過橢圓-+2= 1 中心的弦，F(c,0)為它的焦點，則FAB的最大面積為a b()A.b2B.abC.acD .bc解析設A、B兩點的坐標為(X1,y”、(X1, y”，1則SAFAB=2lOF|2y1| =c|yf0,可利用根與系數之間的關系求弦長3.過拋物線 ？= 2px(p0)的焦點F且傾斜角為 60。的直線l與拋物線在第一、四象限分別|AF|交于A、B兩點，貝 U的值等于()解析記拋物線y2= 2px的準

19、線為I,作AAi丄I,BBi丄I,BC丄AAi，垂足分別是Ai、Bi、C,則有IAF| BF|1l|zb|AF|AF| + |BF| = 2，由此得 |BF| =3,選 C4.(2011 山東設M(xo,yo)為拋物線 C:x2= 8y上一點，F為拋物線C的焦點，以F為圓心、 |FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y。的取值范圍是()A. (0,2)B. 0,2C. (2,+ ) D. 2,+)解析 x2= 8y,.焦點F的坐標為(0,2),準線方程為y=- 2.由拋物線的定義知|MF| =yo+ 2. 由于以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準線相交，又圓心F到準線的距離為 4,故 42.5

20、設拋物線x2= 4y的焦點為F,經過點 只 1,4)的直線I與拋物線相交于A、B兩點，且點P恰為AB的中點，U|AF| + |BF|=_.解析y1y2設A(X1,yj,B(X2,y2),由題意知X1+X2=-2,且x1= 4y1,x2= 4y?,兩式相減整理得，X1X2X1+X21=4= 2，所以直線AB的方程為X 2y+ 7= 0.將x= 2y 7 代入x2= 4y整理得4f32yff+ 49 = 0,所以y1+y2= 8，又由拋物線定義得 |AF| + |BF| = +y2+ 2 = 10.B. 4C. 3cos 60|AC|AAi|-|BBi|LAB?=|AF|+|BF|? |PF2|

21、= 4 |PF1| = 4 2= 2 7.直線y=kx 2 與拋物線y2= 8x交于不同兩點A、B,且AB的中點橫坐標為 2,則k的值 是.y=kx2,設A(x1,y1)、B(X2,y2),由y2= 8x,消去y得k2x2 4(k+ 2)x+ 4= 0,=4k+2 24Xk2X40,由題意得k 1,1 (ab0)與直線x+y 1 = 0 相交于P、Q兩點，且OP丄0Q(0為原 (1)求證：*+ 等于定值;(2)若橢圓的離心率e三3, #，求橢圓長軸長的取值范圍.b2x2+a2y2=a2b2,(1)證明由x+y 1 = 0消去y, 得 (a +b2)x2 2ax+a2(1 b2) = 0,直線與

22、橢圓有兩個交點， $0,即 4a4 4(a2+b2)a2(1 b2)0?a2b2(a2+b2 1)0,/ab0 ,s2+b21.設P(X1,yj、Q(X2,y2),貝UX1、血是方程的兩實根.2a2a21 b2:x1+x2=OTP,x1x2=a2+b2由OP丄OQ得X1X2+ 出比=0,又y1= 1 X1,y2= 1 x, 得 2x1X2(X1+X2)+1 = 0.式代入式化簡得a2+b2= 2ab2.1 1二a2+蘆2.(2)解利用的結論，將a表示為e的函數c由e= _?b2=a2才e2,a4k+ 2X1+X2=k= 1 或k= 2,即k=2.x2y28.(10分)橢圓孑+孑=代入式，得 2

23、-e2- 2a2(1 -e2) = 0.V 4,沁2./a0,9. (12 分)給出雙曲線X2 - = 1.求以A(2,1)為中點的弦所在的直線方程；(2) 若過點A(2,1)的直線I與所給雙曲線交于P1,P2兩點，求線段P1P2的中點P的軌跡方程;(3) 過點B(1,1)能否作直線m,使得m與雙曲線交于兩點Q1,Q2,且B是Q1Q2的中點？這樣 的直線m若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由.兩式相減得到2(X1-X2)(X1+X2) = (y1- y?)(y1+y2),又X1+X2= 4,yt+y2= 2,y1y2所以直線斜率k= 一 = 4.X1-X2故求得直線方程為4X-y- 7=

24、0.(2)設P(x,y),P1(X1,y1),P2(X2,y2),2X2-y2- 4x+y= 0,檢驗當X1=X2時，x= 2,y= 0 也滿足方程,故P1P2的中點P的軌跡方程是 2x2-y2- 4x+y= 0.(3)假設滿足題設條件的直線m存在，按照(1)的解法可得直線m的方程為y= 2x- 1.y= 2x-1,2 -e2二a= 21 -e21 12+2 1 -e2(1)設弦的兩端Pg y,P2(X2,y2),則2x1y=2,2X2y2=2,按照(1)的解法可得y1-y2X1-X22x由于P1,P2,P,A四點共線，得y1-y2y- 1X1X2x-22x y-1由 可 得?=長軸長的取值范

25、圍考慮到方程組2y2無解，因此滿足題設條件的直線m是不存在的.X2- - = 1練出高分B 組專項能力提升E的中心為原點，F(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A,B兩點,N( 12, 15),則E的方程為直線AB的方程為y=X 3.由于雙曲線的焦點為F(3,0),.c= 3,c2= 9.y2設雙曲線的標準方程為孑b2= 1(a0,b0),x2x 32則孑b= 1整理，得(b2af)x2+ 6a2x 9a2a2b2= 0.2.已知拋物線y=x2+ 3 上存在關于直線x+y= 0 對稱的相異兩點A、B,則|AB|等于()A. 3B. 4C. 3 2D . 4 2解析設直線AB的方程為y=

26、x+b.y= x2+ 3由？x2+x+b 3= 0?X1+x2= 1,y=x+b1 1得AB的中點M 2, 2+b.1 1又M 2, 2+b在直線x+y= 0 上，可求出b= 1,1 已知雙曲線 且AB的中點為2 2X yA 12 2X yB.4- T = 145x2y2C.63=1D.?-彳=1- kAB=0+ 153+ 12設A(x,y,B(X2,y2),則x+ 血=6a2a2=2x(2),才=4a2+ 4b2, 5 孑=4b2.又a+b2= 9,.a2= 4,b2= 5,.雙曲線E的方程為牛y5 = 1.x2+x 2= 0,則|AB| =；1+12-1 一2_ 4X_ 2 = 3 2.3

27、.如圖，已知過拋物線y2= 2px(p0)的焦點F的直線xmy+m= 0 與拋物線交于A、B兩 點，且OAB(O為坐標原點)的面積為 2 :2，則m6+m4的值是()A. 1B. .2C. 2D . 4解析p設A(xi,yi),B(X2,y2),由題意可知，=m,將x=mym代入拋物線方程y2= 2px(p0)中，整理得y2 2pmy+ 2pm= 0,由根與系數的關系， 得yi+y?= 2pm,y2= 2pm,.(yi曲1p1=(yi+y2)2 4yiy?= (2pm)2 8pm= 16m4+ 16m2,又厶OAB的面積S= 2X?|yi謔 I = ?(m)X4m4+m2= 2：2 兩邊平方即可得m6+m4= 2.4直線y=kx+ 1 與橢圓X+ -= 1 恒有公共點，則m的取值范圍是5 m-方程X2+ J 1 表示橢圓，m0 且m，5.5m直線y=kx+ 1 恒過(0,1)點，0212要使直線與橢圓總有公共點，應有：+w1,m 1,5mm的取值范圍是ml且m，5.x2y2x y5.已知雙曲線a 了 = 1 (a1 ,b0)的焦距為 2c,離心率為 e,若點(1,0)與(1,0 倒直線ab4=1 的距離之和s 5c,則e的取值范圍是| bab|bab| 2ab4由題意知s=-,a2+b2+誡+b2=T5c,2c25b2c25ab,r wa ab又一=a=,e21,. 2e