1、高中數學必修 5 知識點第一章 解三角形1 三角形三角關系：A+B+C=180 ; C=180 -（A+B）;2、三角形三邊關系：a+bc; a-b冷-I0tan 00T1廠-1返00第二章數列1、數列：按照一定順序排列著的一列數.2、數列的項：數列中的每一個數.3、有窮數列：項數有限的數列.4、無窮數列：項數無限的數列.5、 遞增數列：從第 2 項起，每一項都不小于它的前一項的數列（即：an+ian）6、 遞減數列：從第 2 項起，每一項都不大于它的前一項的數列（即：an+ian）7、 常數列：各項相等的數列（即:an+i=an）.8、擺動數列：從第 2 項起，有些項大于它的前一項，有些項小

2、于它的前一項的數列.9、 數列的通項公式：表示數列an的第n項與序號n之間的關系的公式.10、 數列的遞推公式：表示任一項a1與它的前一項an 1（或前幾項）間的關系的公式.11、 如果一個數列從第 2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差.符號表示：an 1and。注：看數列是不是等差數列有以下三種方法： anan 1d(n 2, d 為常數)2anan 1an 1(n 2) ankn b(n,k 為常數12、 由三個數a,b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則稱為a與b的a c等差中項.若b，則稱b為a與c的等差中項.213、

3、 若等差數列an的首項是a1，公差是d，則an冃n 1 d.Siaia2Lan17、等差數列的前n項和的性質：若項數為2n n*，則S2nn耳01，且14、通項公式的變形：4 amn md:aann 1 d:dana1n 1；15、若右an1:danaman是等差數列，且是等差數列，且2n），則2a16.等差數列的前n項和的公式：Sh，則aapQi.nnq 1 -d.2為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比符號表示:會出現值為 0 的項；同號位上的值同號）注：看數列是不是等比數列有以下四種方法：ananq(n 2,q 為常數,且 0)anan 1an 1(n 2,anan 1an 10)3an

4、cqn（c,q 為非零常數）.4正數列an成等比的充要條件是數列 logxan （ x 1）成等比數列.19、在a與b中間插入一個數G，使a,G,b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項.若G2ab，則稱G為a與b的等比中項（注：由G2ab不能得出a,G,b成等比，由a,G,bG2ab)20、若等比數列an的首項是q，公比是q，則ann 1aqn mn 1an21、通項公式的變形：|anamq: da.q:qn 1n:a1n manqam22、 若an是等比數列，且m n p q（m、n、p、q），貝U amanapaq；*2若an是等比數列，且2n p q（n、p、q），則anna q 123

5、、 等比數列an的前n項和的公式：Sna11 qn1 qSiaia2Lans奇nd,ans偶an 1若項數為2n 1 n*，則S2n 12nS奇nan，$禺n1an)lan，且% %a，S的（其中2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱apaq印a.q1 q18、如果一個數列從第q（注：等比數列中不24、對任意的數列an的前n項和Sn與通項an的關系：a注:anain id nd aid （ d 可為零也可不為零宀為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）7若 d 不為 0,則是等差數列充分條件）.2等差an前n項和SnAn2Bndn2a1dn9 可以為零也可不為零7為等差2

6、 22的充要條件7若 d 為零，則是等差數列的充分條件；若 d 不為零，則是等差數列的充分條件3非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列（不是非零，即不可能有等比數列）附：幾種常見的數列的思想方法：1.等差數列的前n項和為Sn,在 d 0 時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法： 一是求使 an0,an 10，成立的n值；二是由 Snn2d）n 利用二次函數的性質求n的值.2.數列通項公式、求和公式與函數對應關系如下：數列通項公式對應函數等差數列陶=口 + (尿.1 加=- d二兀+色（初芒 0 時為一次函數）等比數列n-171% =叱=Qy = a （指數型函數）數列前 n

7、 項和公式對應函數等差數列川（科一 1）,川 2仇葉=力 1+2圧=?料十2|B汁斗（雷羊0時為二次函數）等比數列“鴿丁 V 鳥y二討（指數型函數）我們用函數的觀點揭開了數列神秘的“面紗”，將數列的通項公式以及前 于 n 的函數，為我們解決數列有關問題提供了非常有益的啟示。3例題：1、等差數列億中，幾二：1則二分析：因為是等差數列，所以 是關于 n 的一次函數，一次函數圖像是一條直線，則（n,m） ,（m,n）,（m+n,匕 ）三點共線，s1a1(n 1)SnSni( n 2)n 項和看成是關1,11A1w；1飛，得：=0 (圖像如上)，這里利用等差數列通項公式與一次函數的對應關系，并結合圖像

8、，直觀、簡潔。例題：2、等差數列中，1， 前 n 項和為匚，若刊二匸，n 為何值時最大?分析：等差數列前 n 項和 I 可以看成關于d 2(&、是拋物線八 =【即當；一上時，最大。例題：3 遞增數列，對任意正整數 n, I 一 恒成立，求丄分析：1 一構造一次函數，由數列 -遞增得到：一對于一切恒成立，即出：恒成立，所以-一I _對一切、- 丁恒成立，設/-，則只需求出；的最大值即可，顯然有最大值，所以丄的取值范圍是：:構造二次函數，看成函數h，它的定義域是二!，因為是遞增數列，即函數為遞增函數，單調增區間為A =已知區間的位置。從對應圖像上看，對稱軸1A 3 一 2 的任意自然a數，

9、驗證anan i(-)為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法：驗證an 122an 1anan 2(an 1a.an 2)n N都成立。am07.在等差數列an中，有關 S 的最值問題：當a10,d0 時，滿足的項數am 10am0m 使得sm取最大值.(2)當a10 時，滿足的項數 m 使得sm取最小值。在解am 10含絕對值的數列最值問題時，注意轉化思想的應用。附：數列求和的常用方法1.公式法：適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。其中an是各項不為 0 的等差數列,anan 1數列、含階乘的數列等。例題：已知數列an的例題：已知數列an的通項為 an=1n(n求這個

10、數列的前n 項和 S.1)解：觀察后發現1:an=n1n 1Sna1a2an1、 ,111 1 、(1 -)(-)( )2 23n n 111n 13.錯位相減法：適用于2.裂項相消法：適用于C 為常數；部分無理anbn其中 anbn是各項不為 0 的等比數列。通項公式為ann 2n，求這個數列的前 n 項之和q。解：由題設得:Sia1a?a3an1即sn=1 212 223 2n 2n把式兩邊同乘 2 后得2sn=1 222 233 2n 2n用-，即:sn=1 212 223 23n 2n4*22Sn=1 22 233 24Sn22232nn 2n 1- Sn2(11 22n12n 2n

11、12n1(1 n)2n 1(n 1)2n 14.倒序相加法：類似于等差數列前n 項和公式的推導方法.5.常用結論1):1+2+3+.+n =n(n 1)2)1+3+5+.+(2 n-1)=)13231)4)12221)(2n1)5)n(n 1) n n 1n(n 2)2)6)n 2；pq(Pq)附加：重點歸納等差數列和等比數列（表中m, n, p,q N）類別 項八、等差數列an等比數列 an定義an 1andan 1q an通項公anain 1 dan 1naq式anamn m dann mamq前 n 項onda.nQn n 11-d2nd qsa111nqa1anqq 1q1 q和Sn2

12、1la等差（比）中項2an 1aan 2an 12anan2公差danamm nn manqam（比）dnmm n p qamanapaqm n pqamanapaqm n 2paman2apm n2 pamanap5m, S2m5m, S3mS2m丄 成等差TEmT3mm，Tm工m丄成等比數列，公性質數列，公差為md（Sn是前n項和）2比為qm（Tn是前n項積）am, am k, am 2k, L仍然 是等差數列，am, am k, am2k,L仍然是等比數其公差為 kd列,其公比為qkk b是等差數列bak是等比數列（b 0）d0,Z7印0時，q1,Z，0 q 1,；單調性d0,760時，

13、q1,，0 q 1,Z；d0,常數列q 1為常數列；q 0為擺動數列2.等差數列的判定方法：(a,b,d為常數).定義法：若an iand1(2).等差中項法：若2ania.a.2 an為等差數列.通項公式法：若anan b.前 n 項和法：Snan2bn3.等比數列的判定方法：(k，q 為非零常數)an 1.定義法：若q、an(2).等比中項法：若an12anan 2an為等比數列.(3).通項公式法：若ankqn.前 n 項和法：Snk kqn第三章不等式、不等式的主要性質：(1)對稱性：a b b a(2)傳遞性：a b,b c a c(3)加法法則：a b a c b c；(4)同向不

14、等式加法法則：a b,c d a c b d(5)乘法法則：a b,c0 acbc;ab,c 0acbc(6)同向不等式乘法法則：a b0,c d0 acbd(7) 乘方法則：a b 0 anbn(nN *且 n1)(8) 開方法則：a b 0nanb(nN *且 n1)(9) 倒數法則：a1b,ab 01ab一、 兀二次不等式ax2bx c0和ax2bx c0(a0)及其解法0002222aba 0,b 0a2b22a b ,a,byax2bx cy2axa(xbx cyax2bx ca(x x1)(xX2)Xi)(XX2)二次函數y ax2bx c1 r /J1（a 0）的圖象vu兀次方程

15、有兩相異實根有兩相等實根ax2bx c 0b無實根Xi,X2(XiX2)XiX2a 0 的根2aax2bx c 0bxxx1或 x x2XXR（a 0）的解集2aax2bx c 0 xxx x2（a 0）的解集1.一元二次不等式先化標準形式（a 化正）2.常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式。口訣：在二次項系數為正的前提下：“大于取兩邊，小于取中間”三、均值不等式1、設a、b是兩個正數，則 乞衛稱為正數a、b的算術平均數,2幾何平均數.2、 基本不等式（也稱均值不等式）：若a 0均值不等式：如果1a b a b 2 ab 即-；ab（當且僅當 a b 時取” ”號）.2注意：使用均值不

16、等式的條件：一正、二定、三相等(當a=b時取等)丄1a b2b2a2b22ab a,b R:ab -一a,b R；2,ab稱為正數a、b的a,b 是正數，那么3、平均不等式:4、常用的基本不等式：a、b為正數），即a b25、極值定理：設x、y都為正數，則有:2s若x y s（和為定值），則當x y時，積xy取得最大值.若xy p（積為定4四、含有絕對值的不等式值），則當x y時，和x y取得最小值2 p1 絕對值的幾何意義:| x |是指數軸上點x到原點的距離;x21是指數軸上 為,x2兩點間的距離；代數意義:|a|02、如果 a 0,則不等式:|x| a；|x| a4、解含有絕對值不等式的

17、主要方法：解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號五、其他常見不等式形式總結：分式不等式的解法：先移項通分標準化，則學0 f (x)g(x) 0；平0g(x)g(x)f(x)g(x)0g(x) 0指數不等式：轉化為代數不等式af(x)ag(x)(a 1) f(x) g(x)；af(x)ag(x)(0 a 1) f (x) g(x)對數不等式：轉化為代數不等式f(x)logaf(x) logag(x)(a 1) g(x)f(x)g(x)f (x) 0logaf(x) logag(x)(0 a 1) g(x) 0f(x) g(x)高次不等式：數軸穿線法口訣 小于取下邊，大于取上邊”2 2例題：不等式 a3x 2）（x 4）x 3A. 1 2C.x=4 或3 2“從右向左，自上而下；奇穿偶不穿，遇偶轉個彎;0的解為（B.x 3 或 1x 2D.x=4 或x3 或 1wx”號，則xy C 0所表示的區域為直線 I：x y C 0的右邊部分。若是“ ”號，則xy C 0所表示的區域為直線 I：x y C 0的左邊部分。目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量 線性目標函數：目標函數為x，y的一次解析式. 線性規劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題.可行解：滿