1、42第8章幾何中的最值問題之和長度有關的最值之多線段的最值一、單選題1如圖，在正方形abcd中，e是ab上一點，be2，ae4，p是ac上一動點，則pb+pe的最小值是（）a6b2c8d2【答案】d【分析】由正方形的性質得出b、d關于ac對稱，根據兩點之間線段最短可知，連接de，交ac于p，連接bp，則此時pb+pe的值最小，進而利用勾股定理求出即可【解答】解：如圖，連接de，交ac于p，連接bp，則此時pb+pe的值最小，四邊形abcd是正方形，b、d關于ac對稱，pbpd，pb+pepd+pedebe2，ae4，adab6，de2，故pb+pe的最小值是2故選：d【點評】本題考查軸對稱最短

2、路線問題，其中涉及正方形的性質、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵2如圖，正方形 中， 是 的中點，點 是對角線 上一動點，則 的最小值為（ ）a4bcd【答案】b【分析】由正方形的中心對稱性質，可得 的最小值即是de的值，再由勾股定理解題計算即可【解答】連接de，交ac于點p，連接bd，點b與點d關于ac對稱，的長即為的最小值，是bc的中點，在中，的最小值是故選：b【點評】本題考查兩點對稱的性質、兩點間的距離、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵3如圖，在邊長為4的正方形abcd中，點e、f分別是邊bc、cd上的動點，且becf，連接bf、d

3、e，則bfde的最小值為（）abcd【答案】d【分析】連接ae，利用abebcf轉化線段bf得到bfdeaede，則通過作a點關于bc對稱點h，連接dh交bc于e點，利用勾股定理求出dh長即可【解答】解：解：連接ae，如圖1，四邊形abcd是正方形，abbc，abebcf90°又becf，abebcf（sas）aebf所以bfde最小值等于aede最小值作點a關于bc的對稱點h點，如圖2，連接bh，則a、b、h三點共線，連接dh，dh與bc的交點即為所求的e點根據對稱性可知aehe，所以aededh在rtadh中，dh2ah2ad2824280dh4bfde最小值為4故選： d【點評

4、】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、最短距離問題，一般求兩條線段最短距離問題，都轉化為一條線段4如圖，在菱形中， ， ， ，的半徑分別為2和1， ， ，分別是邊、和上的動點，則的最小值是（ ）ab2c3d【答案】c【分析】利用菱形的性質及相切兩圓的性質得出p與d重合時的最小值，進而求解即可【解答】解：作點a關于直線cd的對稱點a´，連接bd，da´，四邊形abcd是菱形，ab=ad，bad=60°，abd是等邊三角形，adb=60°，bdc=adb=60°，adn =60°，a´dn=60°，ad

5、b+ada´=180°，a´，d，b在一條直線上，由此可得：當點p和點d重合，e點在ad上，f點在bd上，此時最小，在菱形abcd中，a=60°，ab=ad，則abd為等邊三角形，bd=ab=ad=3，a，b的半徑分別為2和1，pe=1，df=2，的最小值為3故選c【點評】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質，點與圓的位置關系等知識根據題意得出點p位置是解題的關鍵5如圖，等邊abc中，bdac于d，ad=3.5cm，點p、q分別為ab、ad上的兩個定點且bp=aq=2cm，在bd上有一動點e使pe+qe最短，則pe+qe的最小值為（）a3cmb4cmc

6、5cmd6cm【答案】c【分析】作點q關于bd的對稱點q，連接pq交bd于e，連接qe，此時pe+eq的值最小最小值pe+pq=pe+eq=pq，【解答】解：如圖，abc是等邊三角形，ba=bc，bdac，ad=dc=3.5cm， 作點q關于bd的對稱點q，連接pq交bd于e，連接qe，此時pe+eq的值最小最小值為pe+pq=pe+eq=pq，aq=2cm，ad=dc=3.5cm，qd=dq=1.5（cm），cq=bp=2（cm），ap=aq=5（cm），a=60°，apq是等邊三角形，pq=pa=5（cm），pe+qe的最小值為5cm故選：c【點評】本題考查了等邊三角形的性質和判

7、定，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題6如圖，在銳角abc中，abac10，sabc 25，bac的平分線交bc于點d，點m，n分別是ad和ab上的動點，則bmmn的最小值是（ ）a4bc5d6【答案】c【分析】根據ad是bac的平分線，ab=ac可得出確定出點b關于ad的對稱點為點c，根據垂線段最短，過點c作cnab于n交ad于m，根據軸對稱確定最短路線問題，點m即為使bmmn最小的點，cnbmmn，利用三角形的面積求出cn，從而得解【解答】解：如圖，ad是bac的平分線，ab=ac，點b關于ad的對稱點為點c，過點c作cnab于n交ad于m，由軸對稱確定最短路線問

8、題，點m即為使bmmn最小的點，cnbmmn，ab10，sabc25，×10cn25，解得cn5，即bmmn的最小值是5故選：c【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂線段最短的性質，等腰三角形的性質，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點二、填空題7如圖所示，rtabc中，ac=bc=4，ad平分bac，點e在邊ab上，且ae=1，點p是線段ad上的一個動點，則pe+pb的最小值等于_【答案】5【分析】作e關于ad的對稱點e，連接be交ad于p，于是得到pe+pb的最小值=be，根據勾股定理即可得到結論【解答】解

9、：作e關于ad的對稱點e，連接be交ad于p，則此時pe+pb有最小值，pe+pb的最小值=be，ae=ae=1，ac=bc=4，ce=3，be=，pe+pb的最小值=5，故答案為：5【點評】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及勾股定理等知識，根據已知得出對應點p位置是解題關鍵8如圖，正方形的面積為16，為的中點，為對角線上的一個動點，連接、，則線段的最小值是_【答案】【分析】連接cf，當點e，f，c在同一直線上時，af+fe的最小值為ce長，根據勾股定理計算即可【解答】解：四邊形abcd為正方形，a關于bd的對稱點為c，則af=cf，線段的最小值為線段的最小值，當點e，f，c在同一直線

10、上時，af+fe的最小值為ce長，正方形abcd的面積為16，ad=cd=4，e為ad中點，de=2，在rtced中，則線段的最小值是，故答案為：.【點評】本題考查的是軸對稱，最短路線問題，根據正方形的性質作得出a關于bd的對稱點c是解答此題的關鍵9如圖，已知邊長為2的正，兩頂點a，b分別在射線om、on上滑動，當時，_，滑動過程中，連結oc，則線段oc長度的取值范圍是_【答案】53° 【分析】根據三角形內角和為180°，等邊三角形各內角為60°，根據oab=23°，即可求得nbc的度數；取ab的中點d，連接od及dc，根據三角形的邊角關系得到oc小于等

11、于od+dc，只有當o、d及c共線時，oc取得最大值，最大值為od+cd，由等邊三角形的邊長為2，根據d為ab中點，得到bd為1，根據三線合一得到cd垂直于ab，在直角三角形bcd中，根據勾股定理求出cd的長，在直角三角形aob中，od為斜邊ab上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得od等于ab的一半，由ab的長求出od的長，進而求出dc+od，即為oc的最大值，當abc的邊與om和on共線時，od最小，且為2，即可得出oc的長度范圍.【解答】解：等邊三角形各內角為60°，nbc=180°-abc-abo，abo=90°-oab，oab=23

12、76;，nbc=53°；取ab中點d，連od，dc，有ocod+dc，當o、d、c共線時，oc有最大值，最大值是od+cdabc為等邊三角形，d為中點，bd=1，bc=2，根據勾股定理得：cd=，又aob為直角三角形，d為斜邊ab的中點，od=ab=1，od+cd=1+，即oc的最大值為1+，當abc的邊與om和on共線時，od最小，且為2，線段oc的取值范圍是：，故答案為：53°；.【點評】本題考查了等邊三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理，其中找出oc最大時的長為cd+od是解本題的關鍵10如圖，在矩形abcd中，ab4，ad5，連接ac，o

13、是ac的中點，m是ad上一點，且md1，p是bc上一動點，則pmpo的最大值為_【答案】【分析】連接mo并延長交bc于p，則此時，pmpo的值最大，且pmpo的最大值om，根據全等三角形的性質得到amcp4，omop，求得pb1，過m作mnbc于n，得到四邊形mncd是矩形，得到mncd，cndm，根據勾股定理即可得到結論【解答】在矩形abcd中，ad5，md1，amaddm514，連接mo并延長交bc于p，則此時，pmpo的值最大，且pmpo的最大值om，amcp，maopco，aomcop，aoco，aomcop（asa），amcp4，omop，pb541，過m作mnbc于n，四邊形mnc

14、d是矩形，mncdab4，cndm1，pn5113，mp，om故答案為【點評】本題考查軸對稱最短路線問題，矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵11如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是18，腰的垂直平分線分別交，邊于e，f點.若點d為邊的中點，點g為線段上一動點，則周長的最小值為_【答案】11【分析】連接ad，ag，由于abc是等腰三角形，點d是bc邊的中點，故adbc，再根據三角形的面積公式求出ad的長，再根據ef是線段ac的垂直平分線可知，點a關于直線ef的對稱點為點c，ga=gc，推出gc+dg=ga+dgad，故ad的長為bg+gd的最小值，由此即可

15、得出結論【解答】解：連接ad，agabc是等腰三角形，點d是bc邊的中點，adbc，sabc=bcad=×4×ad=18，解得ad=9，ef是線段ac的垂直平分線，點a關于直線ef的對稱點為點c，ga=gc，gc+dg=ga+dgad，ad的長為cg+gd的最小值，cdm的周長最短=（cg+gd）+cd=ad+bc=9+×4=9+2=11故答案為：11【點評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵12如圖，在abc中，ab=ac=10，bc=12，ad=8，ad是bac的平分線若e是ac上一點且beac，p是ad的動點，則p

16、c+pe的最小值是_【答案】【分析】連接pb，根據三線合一得出pb=pc，將求pc+pe的值最小，轉化為pb+pe的值最小，易知be的長即為所求，再根據面積相等即可求出be的值，從而得出答案【解答】解：連接pb，ab=ac=10，ad是bac的平分線，ad為bc的垂直平分線，pb=pc要是pc+pe的值最小，即pb+pe的值最小，只有點p、b、e在一條直線上時，pb+pe的值，即be的長即為所求ab=ac=10，bc=12，ad=8，beac，即，解得：pc+pe的最小值是故答案為：【點評】本題考查了等腰三角形的性質，將求pc+pe的值轉化為求be的值是解題的關鍵三、解答題13如下右圖所示（1

17、）作出關于軸對稱的圖形；（2）在軸上確定一點，使得最小【答案】（1）如圖所示；（2）如圖所示點p【分析】（1）根據軸對稱的性質作圖即可；（2）最短路徑問題，找其中一個點的對稱點，和另一個點連接起來即可【解答】（1）如圖所示；（2）如圖所示，過a點作關于x軸的對稱點a2，連接a2c與x軸交于點p，此時最小【點評】本題考查了軸對稱圖形的作法，最短路徑問題，熟練掌握對稱的性質是解題的關鍵14如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網格中，點a、b、c在小正方形的頂點上，（1）abc的面積為_；（2）在圖中畫出與abc關于直線l成軸對稱的a1b1c1；（3）利用網格線在直線l上求作一點p，使得

18、pa+pc最小請在直線l上標出點p位置，pa+pc最小為_個單位【答案】（1）4；（2）見解析；（3）；【分析】根據割補法求解可得；分別作出點a，b，c關于直線l的對稱點，再順次連接即可得；連接ac1，與直線l的交點即為所求【解答】解：（1）abc的面積為3×3×1×3-×2×2-×1×3=4，故答案為：4（2）如圖，a1b1c1即為所求（3）點p如圖所示，pa+pc=pa+p c1= c1a根據兩點之間線段最短原理可得pa+pc最小為c1a的長根據勾股定理得c1a=【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，軸對稱確定最短路線問

19、題，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置，熟記軸對稱的性質是解題的關鍵15如圖，直角abc中，c90°，ac2，bc4，ac平行于x軸，a、b兩點在反比例函數y（x0）的圖象上延長ca交y軸于點d，ad1（1）求反比例函數的解析式；（2）在y軸上是否存在點p，使pab的周長最小，若存在，直接寫出此時pab的周長；若不存在，說明理由【答案】（1）y（x0）；（2）存在pab的周長的最小值為2+4【分析】（1）設a（1，k），則b（3，k-4），利用反比例函數圖象上點的坐標特征得到3（k-4）=k，解得k=6，從而得到反比例函數的解析式；（2）先計算出ab=2，作a點關于y軸的對稱點a，

20、連接ba交y軸于p點，連接pa，如圖，則a（-1，6），pa=pa，利用兩點之間線段最短可判斷此時pa+pb的值最小，pab的周長最小，然后計算出ba，從而得到pab的周長的最小值【解答】（1）c90°，ac平行于x軸，cdy軸，ad1，ac2，bc4，設a（1，k），則b（3，k4），b點在反比例函數y（x0）的圖象上，3（k4）k，解得k6，反比例函數的解析式為y（x0）；（2）存在a（1，6），b（3，2），ab2，作a點關于y軸的對稱點a，連接ba交y軸于p點，連接pa，如圖，a（1，6），則papa，pa+pbpa+pbba，此時pa+pb的值最小，pab的周長最小，ba4

21、pab的周長的最小值ab+ba2+4【點評】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式，做此類題，先設出含有待定系數的反比例函數解析式y（k為常數，k0），然后把一組對應值代入求出k，從而得到反比例函數解析式也考查了最短路徑問題16如圖，在邊長為2cm的正方形abcd中，q為bc邊的中點，p為對角線ac上的一個動點，連接pb，pq，求pbq周長的最小值【答案】1【分析】由于點b與點d關于ac對稱，所以如果連接dq，交ac于點p，由最短路徑問題模型知，此時pbq的周長最小，pbq的周長=bp+pq+bq=dq+bq在rtcdq中，由勾股定理先計算出dq的長度，再得出結果【解答】解：連接dq，交ac

22、于點p，連接pb、bd，bd交ac于o四邊形abcd是正方形，acbd，bo=od，cd=2cm，點b與點d關于ac對稱，bp=dp，bp+pq=dp+pq=dq在rtcdq中，由勾股定理，得qdpbq的周長的最小值為：bp+pq+bq=dq+bq=+1（cm）【點評】本圖主要考查了正方形的性質，軸對稱-最短路徑問題，同時也考查了勾股定理得應用.是常考的基本題.17如圖，一次函數 y-x+6的圖像與正比例函數 y2x 的圖像交于點 a（1）求點 a 的坐標； （2）已知點 b 在直線 y-x+6上，且橫坐標為5，在 x 軸上確定點 p，使 papb 的值最小，求出此時 p 點坐標，并直接寫出

23、pa+pb 的最小值【答案】（1）點 a 的坐標(2，4)；（2）p 點坐標為(，0)，papb 的最小值為【分析】(1)把兩個函數關系式聯立成方程組求解，即可求得交點a的坐標；(2)作點b關于軸的對稱點c，連接ac交軸于p，連接pb，此時pa+pb的值最小，利用兩點之間的距離公式計算即可求得最小值【解答】(1)解方程組，得：，點a的坐標為(2，4)；(2) 點b在直線上，且橫坐標為5，點b的坐標為(5，1)，作b點關于x軸對稱點c，則點c的坐標為(5，-1)，連接ac交軸于p，連接pb，此時pa+pb的值最小，設直線ac的表達式為，將點a、c的坐標(2，4)、(5，-1)

24、代入，得：，解得：，直線ac的表達式為，令，則，p點坐標為(，0)，pa+pb的最小值=ac=【點評】本題考查了軸對稱-最短問題，一次函數的交點問題，一次函數的應用，兩點間距離公式等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題18如圖，在中，為中點，分別是，上的動點，且滿足（1）求證：；（2）求四邊形的面積；（3）求周長的最小值（結果保留根號）【答案】（1）見解析；（2）1；（3）【分析】（1）連結cd，由等腰直角三角形的性質和角的和差可得：cdebdf，由全等三角形的判定可得decdfb，進而由全等三角形的性質求證結論；（2）利用分割法將四邊形cfde分成兩部分，即dec和cdf，由（1）可

25、知decdfb，進而可知四邊形cfde的面積等于bcd，根據三角形的面積公式代入數據即可求解；（3）由（1）可知cefb，繼而可得cecfbc2，根據等腰直角三角形可得，根據題意可知當時，最小，繼而求得周長的最小值.【解答】（1）證明：連結cd，為的中點，在與中，；（2）解：由（1）知：，（3）由（1）知：，由（1）知：，當時，最小，此時最小為，從而周長的最小值為【點評】本題主要考查等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積公式和周長，解題的關鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定和性質19兩個小鎮在河流的同側，它們到河流的距離千米，千米，且千米，現要在河邊修

26、建一自來水廠，向兩鎮供水，鋪設水管的費用為每千米3萬元（1）請你在河岸上選擇水廠的位置，使鋪設水管的費用最少（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）最低費用為多少？【答案】（1）詳見解析；（2）39萬元【分析】（1）根據題意，要使鋪設水管的費用最少，則自來水廠與、兩個小鎮的距離和最小，所以作出點關于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即是水廠的位置（2）首先根據勾股定理，求出的長度是多少，即可判斷出鋪設水管的長度最短是多少；然后根據總價單價數量，用每千米的費用乘以鋪設的水管的長度，求出最低費用為多少即可【解答】解：（1）根據分析，水廠的位置為：（2）如圖2，在直角三角形中，（千米），（千米），（千米）

27、，鋪設水管長度的最小值為13千米，鋪設水管所需費用的最小值為：（萬元）答：最低費用為39萬元【點評】（1）此題主要考查了軸對稱最短路線問題，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合所學軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點（2）此題還考查了直角三角形的性質和應用，以及勾股定理的應用，要熟練掌握（3）此題還考查了總價、單價、數量的關系：總價單價數量，單價總價數量，數量總價單價，要熟練掌握20如圖，在正方形網格中，點a、b、c、m、n都在格點上（1）作abc關于直線mn對稱的圖形a'b'c'（2）若網格中最小正方

28、形的邊長為1，求abc的面積（3）點p在直線mn上，當pa+pc最小時，p點在什么位置，在圖中標出p點（4）求出第三問中pa+pc的最小值【答案】（1）見解析；（2）3；（3）見解析；（4）【分析】（1）根據軸對稱的性質即可作abc關于直線mn對稱的圖形a'b'c'；（2）根據網格中最小正方形的邊長為1，即可求abc的面積；（3）根據兩點之間線段最短，作點a關于mn的對稱點a，連接ac交直線mn于點p，此時pac周長最小； （4）pa+pc的最小值即為ac，運用勾股定理求解即可【解答】解：（1）如圖，a'b'c'即為所求；（2）abc的面積為：&

29、#215;3×2=3；（3）因為點a關于mn的對稱點為a，連接ac交直線mn于點p，此時pac周長最小所以點p即為所求（4）pa+pc的最小值即為ac，由勾股定理得，ac=，故pa+pc的最小值為：【點評】本題考查了作圖-軸對稱變換，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質和兩點之間線段最短21已知在平面直角坐標系中，a(4，0)，b(0，3)，以線段ab為直角邊在第一象限內作等腰直角三角形abc，ab=ac，bac=90°（1）在圖（1）中，求點c坐標； （2）在圖（2）中，動點p從原點出發，以每秒2個單位長度的速度向x軸正方向運動，設點p的運動時間為t，pac的面積為s，求s與

30、t的關系式，并寫出t 的取值范圍（3）在（2）問條件下，若pb+pc 的值最小時，求p點坐標及t的值 【答案】（1）c（7，4）；（2），s=4t-8（t2）；（3）p（3，0），t=1.5【分析】（1）過點c作chx軸于點h，利用aas證得aobcda，從而得到ad、cd，就可得到點c的坐標；（2）分兩種情況當點p在oa上時，當點p在oa延長線上時，再利用三角形的面積公式即可（3）找點b關于x軸的對稱點e，連接ce與x軸交于點p，則pb+pc的值最小，求出ce的解析式，可得點p的坐標，再根據op=2t即可得出t的值【解答】證明：（1）過點c作cdx軸于d，adc=90° bad=b

31、ac +cad=oba +boaboa =bac=90°cad=oba boa =adc=90°，ab=caabocad(aas)oa=dc ob=ada(4，0)，b(0，3)oa=4，ob=3 dc=4 ad=3od=7 c（7，4） （2）op=2t當點p在oa上時，ap=4-2t當點p在oa延長線上時，ap=2t-4 （3）點b關于x軸的對稱點e坐標為（0，-3），連接ec交x軸于點p設be解析式為y=kx+b， ； 直線ce解析式為y=x-3當y=0時，x=3p（3，0） 2t=3 t=1.5【點評】本題考查了待定系數法求一次函數解析式、利用軸對稱的性質求最短路徑

32、，全等三角形的性質與判定，解答本題的關鍵是數形結合思想及待定系數法的應用，難度一般22如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，aob的頂點均在格點上，點a、b的坐標分別是a（3，2），b（1，3），aob關于y軸對稱的圖形為a1ob1（1）畫出a1ob1并寫出點b1的坐標為 ；（2）寫出a1ob1的面積為 ；（3）點p在x軸上，使papb的值最小，畫出p點（4）在（3）的條件下，求papb的的最小值【答案】（1）a1ob1見解析，（-1，3）；（2）3.5；（3）p點的位置見解析圖；（4）【分析】（1）根據網格結構找出點a、b關于y軸的對稱點a1、b1的位置，再與o順次連接即可，然后根據平面直角坐標系寫出點b1的坐標；（2）利用三角形所在的矩形的面積減去四周三個小直角三角形的面積列式計算即可得解；（3）