1、Numerical Heat Transfer計算傳熱學計算傳熱學機械與動力工程學院機械與動力工程學院主講：彭主講：彭 浩浩計算傳熱學計算傳熱學第二章 計算區域及控制方程的離散Numerical Heat Transfer第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.1 網格生成區域離散化2.2 建立離散方程的泰勒展開法及多項式擬合法2.3 建立離散方程的控制容積法及平衡法2.1.1 區域離散化的義務及方法分類區域離散化的義務及方法分類2.1.4 網格獨立解網格獨立解第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.1.2 網格系統表示方法網格系統表示方法2

2、.1.3 不同區域離散方法簡介不同區域離散方法簡介2.1.2 網格系統表示方法網格系統表示方法2.1.3 不同區域離散方法簡介不同區域離散方法簡介2.1.3 不同區域離散方法簡介不同區域離散方法簡介2.1.2 網格系統表示方法網格系統表示方法2.1.3 區域離散方法簡介區域離散方法簡介2.1.1 區域離散化的義務及方法分類區域離散化的義務及方法分類2.1.2 網格系統表示方法網格系統表示方法2.1.1 區域離散化的義務及方法分類區域離散化的義務及方法分類2.1.2 網格系統表示方法網格系統表示方法2.1.1 區域離散化的義務及方法分類區域離散化的義務及方法分類2.1.2 網格系統表示方法網格系

3、統表示方法2.1.1 區域離散化的義務及方法分類區域離散化的義務及方法分類2.1.2 網格系統表示方法網格系統表示方法2.1.1 區域離散化的義務及方法分類區域離散化的義務及方法分類2.1.2 網格系統表示方法網格系統表示方法2.1.1 區域離散化的義務及方法分類區域離散化的義務及方法分類2.1.2 網格系統表示方法網格系統表示方法2.1.1 區域離散化的義務及方法分類區域離散化的義務及方法分類2.1.2 網格系統表示方法網格系統表示方法1. 區域離散化的義務區域離散化的義務第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散 將所計算的區域分割成許多不重疊的子區域，確定每個子區域中

4、節點的位置以及所代表的控制容積。 離散結果得出五種幾何信息：(1) 節點節點node) :求解未知量的位置求解未知量的位置(2) 控制容積控制容積control volume):實施守恒定律的最小實施守恒定律的最小 幾何單位幾何單位(3) 界面界面interface) :控制容積的分界位置控制容積的分界位置2.1.1 區域離散化的義務及方法分類區域離散化的義務及方法分類第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散1. 區域離散化的義務區域離散化的義務(4) 網格線網格線grid lines) : 沿坐標方向相鄰節點銜接沿坐標方向相鄰節點銜接成的曲線簇。成的曲線簇。(5) 節點

5、間相互關系節點間相互關系: 記錄每個節點的左鄰右舍。記錄每個節點的左鄰右舍。2. 區域離散方法分類區域離散方法分類(1) 按照節點間的關系：構造化網格與非構造化網格。按照節點間的關系：構造化網格與非構造化網格。(2) 按照節點的位置：內節點法與外節點法。按照節點的位置：內節點法與外節點法。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.1.2 網格系統表示方法網格系統表示方法網格線節點間連線,用實線表示；界面為虛線；節點間間隔 x ；界面間間隔 x第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.1.3 區域離散方法簡介區域離散方法簡介(1).構造化網格(st

6、ructured grid)：節點位置陳列有序，鄰點間銜接關系的方式固定不變。(2).非構造化網格(unstructured grid)：節點位置陳列無序，鄰點間無固定的銜接關系方式。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散構造化與非構造化均有內接點與外節點兩種布置。2.1.3 區域離散方法簡介區域離散方法簡介3. 構造化網格的內節點與外節點法(a) 外節點法：節點位于子區域的角頂；控制容積外節點法：節點位于子區域的角頂；控制容積界面位于兩節點之間；生成過程：先節點后界面；界面位于兩節點之間；生成過程：先節點后界面；又稱又稱Practice A,又稱單元頂點法又稱單元頂點

7、法(cell-vertex。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散(b) 內節點法：節點位于子區域的中心；子區域即內節點法：節點位于子區域的中心；子區域即為控制容積；生成過程：先界面，后節點，又稱為控制容積；生成過程：先界面，后節點，又稱Practice B, 又稱單元中心法又稱單元中心法cell-centered。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.1.4 網格獨立性網格獨立性 實踐計算時，網格生成并非一蹴而就，要經過反實踐計算時，網格生成并非一蹴而就，要經過反復調試與比較；復調試與比較； 復雜區域的網格生成能夠占總計算時間的大部分復雜區

8、域的網格生成能夠占總計算時間的大部分,網格的質量對計算的精度有影響較大。網格生成技網格的質量對計算的精度有影響較大。網格生成技術已成為數值計算中相對獨立的部分，稱為網格生術已成為數值計算中相對獨立的部分，稱為網格生成技術成技術(grid generation technique)； 當網格足夠細密以致于再進一步加密網格已對數當網格足夠細密以致于再進一步加密網格已對數值計算結果根本上沒有影響時所得到的數值解稱為值計算結果根本上沒有影響時所得到的數值解稱為網格獨立解網格獨立解grid-independent solution)。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散第二章第

9、二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散根本概念根本概念“離散化離散化最早出如今最早出如今1955年年Wasow的一篇德語論文中的一篇德語論文中第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散“離散化離散化假定一個二維流場。其控制方程的解析解實際上可表假定一個二維流場。其控制方程的解析解實際上可表達為：達為：1( , )uf x y2( , )vfx y3( , )pfx y4( , )fx y可以在無窮可以在無窮多個多個x,y上得到流場上得到流場變量。變量。換成代數差分方程換成代數差分方程轉化為轉化為代數方程組代數方程組求解求解得到流場變量在離得到流場變量在離散網

10、格點上的值。散網格點上的值。這個過程就是這個過程就是離散化離散化“的的過程過程第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散離散網格點離散網格點x、 y 等距等距 均勻間距不是絕對的均勻間距不是絕對的 x、 y可以不等可以不等 相鄰兩點間距相鄰兩點間距x 、y也可以不也可以不等等第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散例如例如圖中圖中xy平面的一組離散網格點平面的一組離散網格點泰勒級數法泰勒級數法離散網格點離散網格點x、 y 等距等距網格點標志的方式網格點標志的方式本章討論：第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底此圖中，

11、假設用此圖中，假設用ui,j 表示表示速度的速度的x分量在分量在(i,j)的值，的值，那么那么(i+1,j)點的分量可以點的分量可以表示為：表示為：1,22,233,3()()()2()()6iji ji ji ji juuuxxuxxuxx 第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底2223()()( )2() (1)!nnffxf xxf xxxxfxxn 最初的估計最初的估計222()()( )2ffxf xxf xxxx 斜率的影響斜率的影響 曲率的影響曲率的影響參照右圖，可以闡明各方程各參照右圖，可以闡明各方程各項含義：項含義：舉例闡明舉例闡明第二章第

12、二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底思索函數思索函數( )sin2f xx在在x0.2處，處，f(x)0.9511。如圖中。如圖中1點。點。取取x0.02，f(x+x)=f(0.22)=0.9823如今思索用式如今思索用式 (1) 來估計來估計f(0.22)1、假設只需右邊第一項、假設只需右邊第一項(0.22)(0.2)0.9511ff圖中點圖中點32、假設有右邊兩項、假設有右邊兩項(0.22)(0.2)2 cos2 (0.2) 0.020.9899ff圖中點圖中點4，誤差，誤差0.7753、假設有右邊三項、假設有右邊三項22(0.22)(0.2)2cos2 (0

13、.2) 0.020.024sin2 (0.2)0.98242ff圖中點圖中點5，誤差，誤差0.01圖中點圖中點2第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底22331,23()()()()()(2)26iji ji ji ji juuxuxuuxxxx 上例回想泰勒級數相關內容，如今繼續回到前面差分表達式上例回想泰勒級數相關內容，如今繼續回到前面差分表達式變換得到：變換得到：2321,23()()()()26iji ji ji ji juuuuxuxxxxx偏導數差分表達式偏導數差分表達式截斷誤差截斷誤差 假設用上述差分表達式作為偏導數的近似，而且截斷誤假設用上述

14、差分表達式作為偏導數的近似，而且截斷誤差的最低階項是差的最低階項是x的一次方，可以把上式寫成：的一次方，可以把上式寫成：1,()() (3)iji ji juuuOxxx具有一階精度具有一階精度第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底 再來看右邊的圖，留意再來看右邊的圖，留意到到3式的有限差分只用式的有限差分只用到了到了i,j右邊的信息，這右邊的信息，這樣的差分叫樣的差分叫“向前差分。向前差分。那么我們寫出那么我們寫出ui-1,j在在ui,j處的展開式處的展開式 22331,23()()()()()()(4)26iji ji ji ji juuxuxuuxxx

15、x解得：解得： ,1,()() (5)i jiji juuuOxxx一階一階“向后差分向后差分第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底 對于對于CFD而言，一階精度是不夠的。為構造而言，一階精度是不夠的。為構造2階精度。直接用階精度。直接用2式減去式減去4式得到：式得到：1,1,2,()() (6)2ijiji juuuOxxx二階二階“中心差分中心差分總結：總結：1,1,1,1,2()()()()2iji ji jiji jijijuuOxxuuuOxxxuuOxx一階一階“向前差分向前差分一階一階“向后差分向后差分二階二階“中心差分中心差分總結：總結：同理

16、可同理可得得y方向方向差分格差分格式式第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底前面討論一階方式，下面思索二階偏導數的情況：前面討論一階方式，下面思索二階偏導數的情況：22331,23()()()()()(2)26iji ji ji ji juuxuxuuxxxx 22331,23()()()()()()(4)26iji ji ji ji juuxuxuuxxxx2加上加上4得得:24421,1,24()2()()()12ijiji ji ji juuxuuuxxx21,1,2222() (7)()iji jijuuuuOxxx二階精度二階精度“中心差分中心差分

17、第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底再思索二階混合導數的情況：再思索二階混合導數的情況：將將2式和式和4式分別對式分別對y求導數得：求導數得：232431,23()()()()()()()(9)26iji ji ji ji juuuuxuxxyyx yxyxy 232431,23()()()()()()()(8)26iji ji ji ji juuuuxuxxyyx yxyxy 8減去減去9得得:2421,1,3(/)(/)()()()(10)212ijiji ji juyuyuuxx yxxy 可構造二階中心差分替代：可構造二階中心差分替代：第二章第二章

18、 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底1,11,121,()()2ijijijuuuOyyy1,11,121,()()2ijijijuuuOyyy參照右圖：參照右圖：因此得到：因此得到：21,11,11,11,122,()() ,() (11)4ijijijiji juuuuuOxyx yx y 二階精度二階精度“中心差分中心差分第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底“有限差分模版：有限差分模版：1,()()iji ji juuuOxxx一階一階“向后差分向后差分,1,()()i jiji juuuOxxx一階一階“向前差分向前差分1

19、,1,2,()()2ijiji juuuOxxx二階二階“中心差分中心差分第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底“有限差分模版：有限差分模版：21,1,2222()()iji jijuuuuOxxx2,1,12222()()i ji ji juuuuOyyy第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底“有限差分模版：有限差分模版：2,1,11,11,11,122()() ,() 4i jijijijijux yuuuuOxyx y 第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底 前面得差分近似，最高為

20、二階精度。實踐上，可以導出更前面得差分近似，最高為二階精度。實踐上，可以導出更高精度的格式，但需求更多的網格信息。高精度的格式，但需求更多的網格信息。 一個具有四階精度的中心差分：一個具有四階精度的中心差分：22,1,1,2,4,22163016()()12()ijiji jijiji juuuuuuOxxx 越高精度在計算過程中是不是就越好呢？越高精度在計算過程中是不是就越好呢？缺陷：需求更多的網格信息，所以計算每一步時間步缺陷：需求更多的網格信息，所以計算每一步時間步 或者空間步需求更多時間。或者空間步需求更多時間。優點：網格數可以少一些，可給出質量更高的流場解。優點：網格數可以少一些，可

21、給出質量更高的流場解。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底 邊境上構造差分近似的方法！邊境上構造差分近似的方法！ 如右圖：點如右圖：點1在邊境上，點在邊境上，點2和點和點3在邊境上方，到邊境的間隔分別在邊境上方，到邊境的間隔分別是是y 、2y“向前差分：向前差分：211()()uuuOyyy容易得到，但只需一階精度：容易得到，但只需一階精度：如何得到二階精度？如何得到二階精度？第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底假定：在右圖邊境上，假定：在右圖邊境上，u可以表示為：可以表示為：2 (12)uabycy在網格點在網格點1

22、10,yua在網格點在網格點222,()yy uab ycy 在網格點在網格點3232,2(2)yy uab ycy 解得解得: 123342uuuby將式將式12對對y求導：求導： 2ubcyy在邊境在邊境y=0上：上：1()uby123134()(13)2uuuuyy最終得到：最終得到：第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底 留意到：留意到：13式是用多項式到導出的，而不是用泰勒式是用多項式到導出的，而不是用泰勒級數，這闡明了構造有限差分的另一種方法。現實上，上面級數，這闡明了構造有限差分的另一種方法。現實上，上面講到的公式也可用這種方法得到。講到的公式

23、也可用這種方法得到。 下面討論下面討論13式的精度：泰勒級數法式的精度：泰勒級數法2233111123( )()()()(14)26uuyuyu yuyyyy對比對比14和和12發現：發現：2123134()() (15)2uuuuOyyy二階精度二階精度13和和15叫做單側差分，實踐對于內部點也是通用的。叫做單側差分，實踐對于內部點也是通用的。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底 在粘性流動時常用單側差分。在粘性流動時常用單側差分。 由于壁面有流動，其切應力和熱流具有特殊重要性，切由于壁面有流動，其切應力和熱流具有特殊重要性，切應力和熱流表示為：應力和熱

24、流表示為：()wwuy()wwTqy 顯而易見：單側差分精度越高，二者計算的就越準確。顯而易見：單側差分精度越高，二者計算的就越準確。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底 例子：思索空氣流過平板流動，速度例子：思索空氣流過平板流動，速度u沿沿y方向變化率：方向變化率：/482.2(1)y Lue 這里這里L=1cm，=1.7894*10-5Pas 假定假定y方向離散網格點等距分布，間距方向離散網格點等距分布，間距1mm，給出一些網格，給出一些網格點的數值：如下表點的數值：如下表y/mu(m/s)000.00145.90.00287.420.003125.0

25、用單側差分求壁面處的切應力用單側差分求壁面處的切應力w 用一階單側差分用一階單側差分 用二階單側差分用二階單側差分 用三階單側差分習題用三階單側差分習題4-6中中第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底 一階單側差分一階單側差分21411()4.590 10jjjuuusyy21()0.8213N/mwjuy(b)二階單側差分二階單側差分12314134()24.809 10jjjjuuuuyys21()0.8605N/mwjuy(c)三階單側差分三階單側差分1123441()11189264.824 10jjjjjuyuuuuys21()0.8631N/mw

26、juy準確解準確解第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散有限差分根底/482.2y LueyL410()4.822 10yusy21()0.8628N/mwyuyw/(N/m2)誤差誤差一階精度一階精度0.82134.8二階精度二階精度0.86050.3三階精度三階精度0.8631-0.03精確解精確解0.86280精度越高，解越準確！精度越高，解越準確！第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散差分方程 對一個給定的偏微分方程，將一切的偏導數都用有限差分對一個給定的偏微分方程，將一切的偏導數都用有限差分替代，得到的方程就叫替代，得到的方程就叫“差分

27、方程。差分方程。調查：調查：22 (16)TTtx前面討論過，非定常的熱傳導方程是拋物線前面討論過，非定常的熱傳導方程是拋物線方程，可以用時間推進法求解：方程，可以用時間推進法求解：下面詳細討論下面詳細討論第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散差分方程思索右邊的網格：留意標號的運用思索右邊的網格：留意標號的運用122()()2nnnniiiiTTTTtttt242112242()()()()12nnnnniiiiiTTTTTxxxx“向前差分向前差分“中心差分中心差分將上兩式帶入方程將上兩式帶入方程16得得12112224224(2)=0=+()()()()+ 212n

28、nnnniiiiinniiTTTTTTTtxtxTtTxtx偏微分方程偏微分方程差分方程差分方程截斷誤差截斷誤差第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散差分方程忽略截斷誤差，差分方程寫成：忽略截斷誤差，差分方程寫成：1112(2)()nnnnniiiiiTTTTTtx此方程的截斷誤差表示成：此方程的截斷誤差表示成：2,() Otx本節的目的就是引入本節的目的就是引入“差分方程的概念。差分方程的概念。下節討論如何求解。下節討論如何求解。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散顯式方法和隱式方法依然回到一維熱傳導方程依然回到一維熱傳導方程22 TTtx得

29、到的差分方程：得到的差分方程：1112(2)()nnnnniiiiiTTTTTtx整理得到：整理得到：1112(2)()nnnnniiiiitTTTTTx如圖示：利用第如圖示：利用第n個時間層的知量，直接計算個時間層的知量，直接計算n+1層的未知量層的未知量最直觀的方式最直觀的方式第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散顯式方法和隱式方法例如在右圖中，在網格點例如在右圖中，在網格點3處處1334322(2)()nnnnntTTTTTx可以據此依次求解！可以據此依次求解！以上過程就是顯式的求解過程以上過程就是顯式的求解過程定義如下：定義如下：顯式方法中每一個差分方程只包含一

30、個未知數，從而這個顯式方法中每一個差分方程只包含一個未知數，從而這個未知數可以用直接計算的方式顯示求解未知數可以用直接計算的方式顯示求解第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散顯式方法和隱式方法 現實上，熱傳導方程不僅僅只能寫出一種差分格現實上，熱傳導方程不僅僅只能寫出一種差分格式，假設把剛剛右邊的空間差分寫出第式，假設把剛剛右邊的空間差分寫出第n個時間層的量個時間層的量和第和第n+1個時間層的量的平均值，即：個時間層的量的平均值，即：1112(2)()nnnnniiiiiTTTTTtx111111112()2222(17)()nnnnnniiiiiinniiTTTTTT

31、TTtx克蘭克尼科爾森公式廣泛用于求解拋物型方程問題克蘭克尼科爾森公式廣泛用于求解拋物型方程問題隱式方法隱式方法第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散顯式方法和隱式方法在右圖中，闡明隱式格式：在右圖中，闡明隱式格式：整理上式整理上式17，得：，得：1111122211212()()2()(2)(18)2()nnniiinnnniiiitttTTTxxxtTTTTx 為簡化，設：為簡化，設：22()tAx21()tBx 1112(2)2()nnnniiiitKTTTTx 于是，方程轉化為：于是，方程轉化為：11111(19)nnniiiiATBTATK第二章第二章 計算區

32、域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散顯式方法和隱式方法留意式留意式19Ki是由第是由第n個時間層上的量構成的，而這些量是個時間層上的量構成的，而這些量是知的，所以知的，所以Ki也是知的。也是知的。根據式根據式19，可構造網格點，可構造網格點26的式子的式子1232ATBTATK網格點網格點2232BTATK由于由于T1知知2321BTATKAT點點3點點4點點6點點52343ATBTATK3454ATBTATK4565ATBTATK5676ATBTATK56676ATBTKATK由于由于T7知知第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散顯式方法和隱式方法上面上面5個方

33、程，有個方程，有5個未知數，寫成矩陣方式：個未知數，寫成矩陣方式：2233445566000000000000TBAKTABAKTABAKTABAKTABT 這是一個三對角矩陣，可以追逐法求解。這是一個三對角矩陣，可以追逐法求解。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散顯式方法和隱式方法 根據上面的例子可以看出，隱式方法比顯示方法復根據上面的例子可以看出，隱式方法比顯示方法復雜的多。雜的多。如今思索非線性方程，比如：如今思索非線性方程，比如：22()TTTtx熱傳導系數是溫度的函數。熱傳導系數是溫度的函數。以上方程對顯式法幾乎沒有影響，此時的差分方程為：以上方程對顯式法幾

34、乎沒有影響，此時的差分方程為：1112()(2)()nnnnnniiiiiitTTTTTTx此時方程依然是線性的。由于只需一個未知數此時方程依然是線性的。由于只需一個未知數1niT第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散顯式方法和隱式方法但是，假設對上式采用克蘭克尼科爾森公式但是，假設對上式采用克蘭克尼科爾森公式11( ) ()()2nniiTTT相應的差分方程依然可以寫成式相應的差分方程依然可以寫成式18的方式，顯然，的方式，顯然，新得到的差分方程含有未知函數新得到的差分方程含有未知函數T的乘積。變成了非線的乘積。變成了非線性方程組的求解。這項任務極為困難！性方程組的求

35、解。這項任務極為困難！ 這是隱式法一個很大的缺陷。通常要采用這是隱式法一個很大的缺陷。通常要采用“線性化線性化處置。處置。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散顯式方法和隱式方法顯式方法和隱式方法區別：顯式方法和隱式方法區別：顯式方法：顯式方法：取定取定x， 那那t就不是獨立的，不能恣意取值，它遭到就不是獨立的，不能恣意取值，它遭到穩定性條件的限制穩定性條件的限制而隱式方法：而隱式方法：比顯式方法大的多的比顯式方法大的多的t依然能堅持穩定性，甚至有些隱依然能堅持穩定性，甚至有些隱式方法是無條件穩定的式方法是無條件穩定的第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制

36、方程的離散顯式方法和隱式方法CFD領域，時間推進的方法普通用于下面兩類計算：領域，時間推進的方法普通用于下面兩類計算：1、由給定的初始條件得到流場的定常解、由給定的初始條件得到流場的定常解時間推進并不要求是時間準確的，只需得到正常的流時間推進并不要求是時間準確的，只需得到正常的流場。場。2、對真正的非定常流，求其時間準確解、對真正的非定常流，求其時間準確解時間推進法的時間精度是絕對必要的。時間推進法的時間精度是絕對必要的。 也就是說：在某些情況下，顯式方法是最合理的，也就是說：在某些情況下，顯式方法是最合理的，而在某些情況下，隱式方法才是正確的選那么。而在某些情況下，隱式方法才是正確的選那么。

37、第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.2.1 一維模型方程一維模型方程2.2.2 由由Taylor 展開法導出導數的差分表示式展開法導出導數的差分表示式2.2.3一維模型方程的有限差分別散表示式一維模型方程的有限差分別散表示式2.2.4 由多項式擬合法導出導數的差分表示式由多項式擬合法導出導數的差分表示式第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.2.1 一維模型方程一維模型方程(1-Dmodel equation 一維模型方程是一維非穩態有源項的對流一維模型方程是一維非穩態有源項的

38、對流-分分散方程，具有四個特征項，便于離散方法的研討。散方程，具有四個特征項，便于離散方法的研討。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.2.2 由由Taylor 展開法導出導數的差分表示式展開法導出導數的差分表示式1. 一階導數的差分表達式一階導數的差分表達式將函數將函數在在的值的值對對i,n)點做點做Taylor展開：展開：( , )x t (1, )in 222,2(1, )( , )2!i ni nxini nxxxx 2,2(1, )( , )()2i ni nini nxxxx 第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散,(1, )(

39、, )()i nini nOxxx()Ox稱為截斷誤差，稱為截斷誤差，truncation error，表示：，表示：隨x 的趨于零，用 替代 的誤差 Kx ， K 與x 無關。(1, )( , )ini nx,)i nx x 的方次稱為截差的階數order of TE)用數值計算的近似解 替代準確解ni( , )i n得向前差分：1,),()nniii nOxxx第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散向后差分：1,),()nniii nOxxx中心差分：11,2),()2nniii nOxxx2. 一、二階導數的各種差分表達式。一、二階導數的各種差分表達式。表達差分構

40、造的格式圖案stencil) 構筑差分表達式的位置； 構筑差分表達式所用到的節點。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散定性判別導數的差分表達式正確與否的方法：(1) 量綱能否正確與導數本身一致；(2) 均勻場的各階導數應為零。第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.2.3 一維模型方程的有限差分別散表示式1. 非穩態問題空間導數差分的計算時層第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2. 一維模型方程的顯式格式準確方式2( ,1)( , )(1, )(1, )2

41、(1, )2 ( , )(1, )( , )i ni nininutxini ninS i nHOTx差分表達式11111222(2,)nnnniiiinnnniiiiuSxxtxOt 差分方程截斷誤差更高階導數項之和第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.2.4 由多項式擬合法導出導數的差分表示式對函數的部分變化型線作出假設，導出差分表達式1. 設部分型線為線性函數可導出一階截差表達式設部分型線為線性函數可導出一階截差表達式0(, )xx tabx原點設在 處，那么0 x1, nniiaab x 11nnniiiabxxx第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區

42、域及控制方程的離散2. 設部分型線為二次函數可導出二階截差表達式設部分型線為二次函數可導出二階截差表達式20(, )xx tabxcx原點設在 處，那么0 x2211, , nnniiiaab xc xab xc x 11112 2,22nnnnniiiiibcxx112nniibxx2112222nnniiicxx第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散3.多項式擬合方法多用于邊境條件處置多項式擬合方法多用于邊境條件處置23( , ),()T x yabycyOy知溫度知溫度:Ti,1 Ti,2 Ti,3,1,2,3342iiiTTTby導出y向具有二階截差的邊境熱流表

43、達式。設y0處溫度呈二次曲線22,1,2,3, , 24iiiTaTab yc yTab yc y 由此得：解出：2,1,2,30(34),()2biiiyTqbTTTOyyy 第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.1 控制容積積分法簡介控制容積積分法簡介2.3.2 控制容器積分法步驟控制容器積分法步驟2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散一維模型方程的控制容積積分法離散2.3.4 控制容積積分法與有限差分法區別控制容積積分法與有限差分法區別2.3.5 控制容積積分法與有限差分法進一步闡明控制容積積分法與有限差分法進一步闡明2.3.6 變物性問題變物性問題

44、-控制容積法控制容積法2.3.7 控制離散化方程控制離散化方程4個根本原那么個根本原那么第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散p 外節點法或節點外節點法或節點-控制容積法控制容積法p 網格線的交點作為節點網格線的交點作為節點p 節點所代表的求解區域控制容積節點所代表的求解區域控制容積p 由兩節點間中心位置的對稱界面圍成的區域。由兩節點間中心位置的對稱界面圍成的區域。p 例子：二維矩形區域例子：二維矩形區域2.3.1 控制容積積分法簡介第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.1 控

45、制容積積分法簡介第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.1 控制容積積分法簡介第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.1 控制容積積分法簡介第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.1 控制容積積分法簡介第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.1 控制容積積分法簡介p當網格劃分足夠細時，兩者沒有本質區別p內節點法：p邊境節點處置較簡單p邊境相鄰節點：要特別

46、留意處置方法，與其它內部節點有所不同p歷史及習慣的緣由：內節點運用較廣泛p內節點法在邊境相鄰節點處一直是非均勻網格p能夠會產生較大的誤差第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.1 控制容積積分法簡介l一維為例x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE圖圖 1 一維問題空間區域的離散化一維問題空間區域的離散化第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.1 控制容積積分法簡介l(x)w(x)+w(x)-w 節點WP之間的間隔l(x)e(x)+e(x)-e 節點PE之間的間隔l(x)+w 控制界面w節點P之間的間隔l(

47、x)-e 節點P控制界面e之間的間隔lx (x)+w (x)-e 控制容積lw ， e 左、右控制面第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.1 控制容積積分法簡介第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.2 控制容積積分法步驟l控制容積上均勻分布為一常數l控制容積代表點節點處的值為分布值： , Pwxxx第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.2 控制容積積分法步驟第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散 xx2.3.2 控制容積積分法步驟第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域

48、及控制方程的離散2.3.2 控制容積積分法步驟l節點間線性分布() ,() () ,()PWWWWPwEPPPPEexxxxxxxxxxxxx(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE圖圖 1 一維問題空間區域的離散化一維問題空間區域的離散化第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.2 控制容積積分法步驟 x xx第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.2 控制容積積分法步驟第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.2 控制容積積分法步驟第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及

49、控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散(20) 022Sdxdx(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE圖圖 1 一維問題空間區域的離散化一維問題空間區域的離散化第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE(26) 022dxSdxdxdewew(27) 22weewdxddxddxdxdxSxxSdxSdxSPwePewPew)()()( )(2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散x(x)+e(

50、x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE圖圖 1 1 一維問題空間區域的離散化一維問題空間區域的離散化(28) 0)(xSdxddxdPwe2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散(29) )( )(ePEewWPwxdxdxdxd分段線性2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散(30) 0)()(-)(xSxxPwWPePEwexxxL)()(31) 0)()()1 (xxSLLe

51、PWxPxE2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散(20) 022Sdxdx(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE圖圖 1 1 一維問題空間區域的離散化一維問題空間區域的離散化第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE圖圖 1 1 一維問題空間區域的離散化一維問題空間區域的離散化(21) 0)(2222PPPSdxdSdxd2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散第

52、二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散)O( ,xxxWPPn向前差分：)O( ,xxxPEPx(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE圖圖 1 1 一維問題空間區域的離散化一維問題空間區域的離散化第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE圖圖 1 1 一維問題空間區域的離散化一維問題空間區域的離散化)O( ,22xxxWEP)O( ,22222xxxWPEP第二章第二章

53、計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE圖圖 1 1 一維問題空間區域的離散化一維問題空間區域的離散化PE (1)ePxx)(222)(21ePxx333)(! 31ePxx.)(! 61)(! 51)(! 41666555444ePePePxxxxxx第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE圖圖 1 1 一維問題空間區域的離散化一維問題空間區

54、域的離散化PW (2)wPxx)(222)(21wPxx333)(! 31wPxx.)(! 61)(! 51)(! 41666555444wPwPwPxxxxxx第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散ewPwPPEewxxxxxxx)()(21)()()()( (3)22.)()(! 61)()(! 51 )()(! 41)()(! 31566455344233ewPewPewPewPxxxxxxxxxxxx第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散ewPePPW

55、wexxxxxxx)()(21)()()()( (4)22.)()(! 61)()(! 51 )()(! 41)()(! 31566455344233wePwePwePwePxxxxxxxxxxxx第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散.)()()()(! 41 )()(31)()( )()()()()()(4433weewPewPPewPWwePEewxxxxxxxxxxxxxxxPE (1)ePxx)(222)(21ePxx333)(! 31ePxx.)(! 61)(! 51)(! 41666555444ePePePxxx

56、xxxewPwPPEewxxxxxxx)()(21)()()()( (3)22.)()(! 61)()(! 51 )()(! 41)()(! 31566455344233ewPewPewPewPxxxxxxxxxxxxPW (2)wPxx)(222)(21wPxx333)(! 31wPxx.)(! 61)(! 51)(! 41666555444wPwPwPxxxxxxewPePPWwexxxxxxx)()(21)()()()( (4)22.)()(! 61)()(! 51 )()(! 41)()(! 31566455344233wePwePwePwePxxxxxxxxxxxxewPwPPEew

57、xxxxxxx)()(21)()()()( (3)22.)()(! 61)()(! 51 )()(! 41)()(! 31566455344233ewPewPewPewPxxxxxxxxxxxxewPePPWwexxxxxxx)()(21)()()()( (4)22.)()(! 61)()(! 51 )()(! 41)()(! 31566455344233wePwePwePwePxxxxxxxxxxxx第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散.)()()()(! 41)()(31- )()()()()()()()(1 )5(44

58、33weewPewPPWwePEewewPxxxxxxxxxxxxxxx第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散)()()()()()()()(1 )6(PWwePEewewPxxxxxxx.)()()()(! 41 )()(31-)()(O 4433wewePewPewxxxxxxxxxx第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散 ) 1()1 ()(1 )8(22PxWxExePLLLxx節點間距比 )()( )7(wexxxL第二章第二章 計算區域及控制方程的

59、離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散l根本思緒、方法同前l為方便推導，在5中令，)()()()()()()()(1)( )9(PWwePEewewPxxxxxx.)()()()(! 41)()(31- )()()()()()()()(1 )5(4433weewPewPPWwePEewewPxxxxxxxxxxxxxxx第二章第二章 計算區域及控制方程的離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散.)()()()(! 41- )()(31-)( )10(4433weewPewPPPxxxxxxxxx第二章第二章 計算區域及控制方程的

60、離散計算區域及控制方程的離散2.3.3 一維模型方程的控制容積積分法離散222)(21)()( (11)ePePPExxx.)()()()()(!41 )()()(! 3122244233weweePweePxxxxxxxxxxPE (1)ePxx)(222)(21ePxx333)(! 31ePxx.)(!61)(!51)(!41666555444ePePePxxxxxxPE (1)ePxx)(222)(21ePxx333)(! 31ePxx.)(!61)(!51)(!41666555444ePePePxxxxxx222)(21)()( (11)ePePPExxx.)()()()()(!41