1、精品資料歡迎下載函數的單調性與最值一、學問梳理1. 增函數、減函數一般地，設函數 fx的定義域為i，區間 d. i，假如對于任意 x1， x2d ，且 x1<x2，就有： 1fx在區間 d 上是增函數 . fx1< fx2 ；2fx在區間 d 上是減函數 . fx1> fx2 2. 單調區間的定義如函數 y fx在區間 d 上是增函數或減函數， 就稱函數 y fx在這一區間上具有嚴格的單調性，區間 d 叫做 y fx的單調區間3. 函數的最值前提設函數 y fx的定義域為 i，假如存在實數 m 滿意對于任意 x i，都有條件fx m ；存在 x0 i，使得 fx0 m對于任意

2、 x i，都有 fx m；存在 x0 i，使得 fx0 m結論m 為最大值m 為最小值留意：1. 函數的單調區間是指函數在定義域內的某個區間上單調遞增或單調遞減單調區間只能用區間表示， 不能用集合或不等式表示；如有多個單調區間應分別寫，不能用并集符號 “ ”聯結，也不能用 “或”聯結2. 兩函數 fx ， g x在 xa， b上都是增 減函數，就 fx gx 也為增 減函數，但1fx ·gx，fx等的單調性與其正負有關，切不行盲目類比試一試 1以下函數中，在區間0， 上為增函數的是 a y ln x2b y x 1xc y1 2d y x 1x解析： 選 a選項 a 的函數 y ln

3、 x 2的增區間為 2， ，所以在 0 ， 上肯定是增函數2函數 fx x2 2xx 2,4 的單調增區間為； fxmax.解析：函數 fx的對稱軸 x1，單調增區間為 1,4 ， fxmax f 2 f4 8.答案： 1,48二、方法歸納1判定函數單調性的四種方法(1) 定義法：取值、作差、變形、定號、下結論；(2) 復合法：同增異減，即內外函數的單調性相同時，為增函數，不同時為減函數；(3) 圖像法：假如 f x是以圖像形式給出的，或者fx的圖像易作出，可由圖像的直觀性判定函數單調性(4) 導數法：利用導函數的正負判定函數單調性 2求函數最值的五個常用方法(1) 單調性法：先確定函數的單調

4、性，再由單調性求最值(2) 圖像法：先作出函數的圖像，再觀看其最高點、最低點，求出最值(3) 換元法：對比較復雜的函數可通過換元轉化為熟識的函數，再用相應的方法求最值 4基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等 ”的條件后用基本不等式求出最值5導數法：先求導，然后求出在給定區間上的極值，最終結合端點值，求出最值 提示：在求函數的值域或最值時，應先確定函數的定義域練一練 1. 以下函數中，既是偶函數又在區間0， 上單調遞減的是 xa y 1 xb. y ec. y x2 1d. y lg|x|答案： c12. 函數 fx 2在區間 2,3 上的最大值是，最小值是答案： 15x 11

5、10三、考點精練考點一求函數的單調區間1、函數 fxlog5 2x1 的單調增區間是解析：要使 ylog5 2x1 有意義，就 2x10 ，即 x1 ，而 y 2olg5 u 為 0,上的增函數，當 x11時， u 2x 1 也為 r 上的增函數，故原函數的單調增區間是2,.2答案：1 ,22. 函數 y x |1x|的單調增區間為1,解析： y x |1 x|2xx11,x1作出該函數的圖像如下列圖由圖像可知，該函數的單調增區間是 ， 1 答案： ， 13. 設 函 數y f x 在,內 有 定 義 對 于 給 定 的 正 數 k ， 定 義 函 數fkxfx ,fxk取函數 fx2 x ，

6、當 k1時，函數f kx 的單調遞增區間為k, fxk2a ， 0b 0， c ， 1d 1， 解析：選 c由 f x>1，得 1<x<1.2由 fx1，得2x 1 或 x1.x2, x1所以 f 1x21 , 122x, xx1 ，故1f 1x 的單調遞增區間為 ， 12解題通法 求函數單調區間的方法與判定函數單調性的方法相同即：1定義法； 2復合法； 3 圖像法； 4 導數法考點二函數單調性的判定k典例 試爭論函數fxxk x0 的單調性解法一： 由解析式可知， 函數的定義域是,00,在0， 內任取 x1 ，x2 ，令 x1x2 ，那么fxfxxkxkxxk11xxx1x

7、2k21212121由于 0x1x2x2 ，所以 x2x1x10 ， x1x20 .x2x1x1x2故當 x1, x2k ,時，fx1fx2，即函數在k ,上單調遞增當 x1, x20,k時，fx1fx2，即函數在0,k上單調遞減考慮到函數kfxxk x0 是奇函數，在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性，故在,k單調遞增，在k ,0上單調遞減綜上，函數 fx在,k和k ,上單調遞增，在k ,0和 0,k上單調遞減解題通法 1利用定義判定或證明函數的單調性時，作差后要留意差式的分解變形完全2利用導數法證明函數的單調性時，求導運算及導函數符號判定要精確 針對訓練 判定函數 gx 2xx 1在 1

8、 ， 上的單調性解：任取 x1， x2 1， ，且 x1<x2，就 g x1g x22x12x22 x1x2，x11x21x11x21由于 1<x1<x2 ，所以 x1 x2<0 ， x1 1 x2 1>0 ， 因此 gx1 gx2<0 ，即 gx1<gx2故 gx在1， 上是增函數考點三函數單調性的應用角度一求函數的值域或最值1. 已知函數 fx 對于任意 x，y r，總有 fxfy f x y，且當 x>0 時， fx<0，.f1 23(1) 求證： fx在 r 上是減函數；(2) 求 f x在 3,3上的最大值和最小值解： 1證明：函

9、數 fx對于任意 x， y r，總有 fx fy fxy，令 xy 0，得 f0 0.再令 y x，得 f x fx 在 r 上任取 x1>x2，就 x1 x2>0，fx1 fx2 fx1 f x2 f x1 x2又當 x>0 時， fx<0，而 x1 x2>0， f x1 x2<0 ，即 fx1< fx2 因此 fx在 r 上是減函數2 fx在 r 上是減函數， fx在 3,3 上也是減函數， fx在 3,3上的最大值和最小值分別為f 3與 f3 而 f3 3f 1 2， f3 f3 2. fx在 3,3上的最大值為 2，最小值為 2.角度二比較兩個

10、函數值或兩個自變量的大小12. 已知函數 fx log 2x1 x，如 x11,2 ， x2 2， ，就 a fx1<0 ， f x2<0b f x1<0 ， fx2>0cfx1>0 ， f x2<0d f x1>0 ， fx2>0解析：選 b函數 fx log2x 1在1， 上為增函數， 且 f2 0，當 x1 1,21 x時， fx1< f2 0，當 x2 2， 時， f x2>f2 0，即 fx1<0 ， fx2>0.角度三解函數不等式3. 已知函數 fx2x4 xx22 x3, x3, x0就不等式 f a02 4

11、> f3a的解集為 a 2,6b 1,4c1,4d 3,5解析： 選 b作出函數 fx的圖像， 如下列圖， 就函數 f x在 r 上是單調遞減的 由 fa24> f3a，可得 a2 4<3 a，整理得a2 3a 4<0 ，即a 1 a 4<0 ，解得 1<a<4，所以不等式的解集為 1,4角度四求參數的取值范疇或值a2x,x24已 知 函 數fxx121 ,x滿 足 對 任 意 的 實 數2x1x2 ， 都 有fx1 x1fx2 x20 成立，就實數 a 的取值范疇為 a ， 2b., 138c ，2d.13 , 28解析：選 b函數 fx是 r 上的

12、減函數，a20213于是有1，由此解得 a ，a22182即實數 a 的取值范疇是,13.8解題通法 1. 含“ f”不等式的解法第一依據函數的性質把不等式轉化為f gx> fhx 的形式，然后依據函數的單調性去掉“f ”，轉化為詳細的不等式 組，此時要留意 gx與 hx的取值應在外層函數的定義域內2. 比較函數值大小的思路比較函數值的大小時， 如自變量的值不在同一個單調區間內，要利用其函數性質， 轉化到同一個單調區間上進行比較，對于挑選題、填空題能數形結合的盡量用圖像法求解鞏固練習 一、挑選題1“ a 1”是“函數 fxx2 2ax 3 在區間 1 ， 上為增函數”的 a 充分不必要條

13、件b必要不充分條件c充要條件d. 既不充分也不必要條件答案： a解析： fx對稱軸 xa，當 a1時 fx在1， 上單調遞增 “a1”為fx在1 ， 上遞增的充分不必要條件2. 已知函數 fx2x4 x,x0，如 f2 a2> fa，就實數 a 的取值范疇是 4xx2,x0a ， 12 ， b 1,2c 2,1d ， 2 1， 答案： c解析：由題知f x在 r 上是增函數，由題得2 a2 >a，解得 2< a<1.3. 用 min a，b，c 表示 a，b，c 三個數中的最小值 設 f x min2 x，x 2,10 x x 0，就 fx 的最大值為a 4b 5c 6

14、d 7答案： c解析：由題意知函數fx是三個函數 y1 2x，y2 x 2，y3 10 x 中的較小者，作出三個函數在同一坐標系之下的圖象如圖中實線部分為 fx的圖象 可知 a4,6為函數 fx圖象的最高點4. 如 fx x22ax 與 gx a在區間 1,2 上都是減函數， 就 a 的取值范疇是 x 1a 1,0 0,1b 1,0 0,1c0,1d 0,1答案： d解析:fx在 a， 上是減函數，對于gx，只有當 a>0 時，它有兩個減區 間為 ， 1和 1， ，故只需區間 1,2 是 f x和 gx的減區間的子集即可，就a的取值范疇是 0<a1.5. 已知定義在r 上的增函數f

15、x，滿意 f x fx 0， x1， x2， x3 r ，且 x1 x2>0，x2 x3>0 ， x3 x1>0，就 fx1 fx2 f x3的值 a 肯定大于 0b肯定小于 0c等于 0d正負都有可能答案： a解析： f x fx0， f x f x又 x1 x2>0，x2 x3>0， x3 x1>0 ， x1> x2， x2>x3，x3> x1.又 fx1> f x2 f x2， fx2 >f x3 fx3， f x3>f x1 fx1， fx1 fx2 fx3> fx2 fx3 f x1 fx1 fx2 fx3

16、>0.二、填空題6. 函數 y x 3|x|的遞增區間是7. 設 fx是增函數，就以下結論肯定正確選項 填序號 y fx 2 是增函數； y 1f x是減函數； y fx是減函數； y |fx|是增函數答案： 0 ，32x3 xx03解析： yx3 xx0畫圖象如下列圖：可知遞增區間為0 ， 28設 0<x<1 ，就函數 y 1 1的最小值是答案： 4解析y1x111 x4，當 0<x<1 時， x1 x x1211y4. x三、解答題1xx 1 x2 4，|x|9. 已知函數 fx a 1 .(1) 求證：函數 y fx在0， 上是增函數；(2) 如 f x&l

17、t;2x 在1， 上恒成立，求實數a 的取值范疇11證明：當 x 0， 時， fx a x，設 0<x1<x2，就 x1x2>0，x2 x1>0.1111x1 x2fx1 fx2 a x1 a x2x2x1x1x2 <0. fx1<fx2，即 fx在 0， 上是增函數12解：由題意 a x<2 x 在1， 上恒成立，設 hx 2x1a<hx在 1， 上恒成立 x，就 hx 2 1 ， x 1， ， 2 1 >0，x2x2 hx在1， 上單調遞增故 ah1 ，即 a3. a 的取值范疇為 ，3 10. 已知 fx x2 ax 3 a，如 x

18、2,2 時， fx 0 恒成立，求 a 的取值范疇 解：設 f x的最小值為 ga，就只需 ga 0，.由題意知， fx的對稱軸為 a2a71當 2< 2，即 a>4 時， ga f 2 7 3a0，得 a3.又 a>4，故此時的 a 不存在aaa22當 2 2,2，即 4a4時， gaf 2 3a 4 0得 6a 2.又 4a4，故 4a2. a3當 2>2，即 a< 4 時， ga f2 7 a0得 a 7.又 a<4，故 7a<4.綜上得所求 a 的取值范疇是 7a2.11已知 fx是定義在 1,1 上的奇函數，且 f 1 1，如 a， b 1,1 ， ab0時，fafb有0 成立ab1判定 fx在 1,1 上的單調性，并證明它；112解不等式： fx2< fx 1；m3如 f x 2 2am 1 對全部的 a 1,1 恒成立，求實數 m 的取值范疇 解： 1任取 x1，x2 1,1 ，且 x1<x2，就 x2 1,1 ， fx為奇函數， fx1fx2fx1fx1fx2fx2fx1 x1fx2x2x1x2由已知得x1x20 ，x1x 2<0， fx