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文檔簡介
1、精品資料歡迎下載函數的性質的運用1. 如函數 yf x xr 是奇函數,就以下坐標表示的點肯定在函數yf x 圖象上的是()a. a,f a b. a,f a c. a,f a d. a, f a 2. 已知函數f xa 2 xa22 x1xr 是奇函數,就 a 的值為()a 1b 2c 1d 23. 已知 f (x)是偶函數, g(x)是奇函數,如f xg x1,就 f ( x)x1的解析式為4. 已知函數 f (x)為偶函數,且其圖象與x 軸有四個交點,就方程f (x) 0 的全部實根之和為5. 定義在 r上的單調函數 f x 滿意 f 3= log 2 3 且對任意 x, yr都有 f
2、x+y= f x+ f y 1 求證 f x 為奇函數;2 如 f k· 3 x + f 3 x -9 x -2 0 對任意 xr恒成立, 求實數 k 的取值范疇6. 已知定義在區間(0,+)上的函數 fx滿意 f( 1)求 f1( 2)判定 fx( 3)如 f3=-1,解不等式 f|x| -2.x1 =fx 1-fx2 ,且當 x 1 時, fx 0.x27. 函數 fx對任意的 a、b r, 都有 fa+b=fa+fb-1,并且當 x 0 時, fx 1.( 1)求證: fx是 r2( 2)如 f4=5,解不等式 f3m -m-2 3.8. 設 f( x)的定義域為( 0,+),
3、且在( 0, +)是遞增的,f x yf xf y( 1)求證: f( 1) =0 ,f(xy ) =f ( x)+f (y);( 2)設 f( 2)=1 ,解不等式f xf 12 ;x39. 設函數f x 對 xr 都滿意f 3xf 3x , 且方程f x0 恰有 6 個不同的實數根,就這6 個實根的和為()12120b 9c 12d 1810. 關于 x 的方程 x22m就實數 m的取值范疇8xm2160 的兩個實根x 、 x滿意x3x ,211. 已知函數yf x xr 滿意f x3f x1 ,且 x 1,1 時,f x| x | ,就 yf x 與 ylog 5 x 的圖象交點的個數是
4、 a 3b 4c 5d 612. 已知函數f x滿意: x4 ,就f x 12x ;當 x4 時 fx f x1) ,就f 2log 2 3 a1b1c1d324128813. 已知函數 fx在1, 1上有定義, f1 = 1,當且僅當 0<x<1 時 f x<0,且對任意 x、2xy 1,1都有 fx+f y=f 1(1) fx 為奇函數;y,試證明:xy2 fx 在 1, 1上單調遞減 .14. 函數 fx=1x21x2x1 的圖象 x1a. 關于 x 軸對稱b.關于 y 軸對稱c.關于原點對稱d.關于直線 x=1 對稱15. 函數 fx在 r 上為增函數,就 y=f|x
5、+1|的一個單調遞減區間是 .16.如函數 fx=ax3 +bx2 +cx+d 滿意 f0= fx1=f x2=0 0< x1<x2,x2,+ 上單調遞增, 就 b 的取值范疇是.xx17. 已知函數 fx=a +x2a>1.1(1) 證明:函數 fx在1, + 上為增函數 .(2) 用反證法證明方程fx=0 沒有負數根 .18. 求證函數 fx=x3 x 212在區間 1, + 上是減函數 .19 設函數 fx的定義域關于原點對稱且滿意:(i) fx1 x2=f x1 ff x2 x2 1 ;f x1 (ii) 存在正常數 a 使 fa=1.求證:(1) fx是奇函數 .(
6、2) fx是周期函數,且有一個周期是4a.20. 已知函數 f x的定義域為 r,且對 m、n r ,恒有 fm+n= fm+f n 1,且f1 =0, 當 x> 1 時, fx>0.22(1) 求證: fx是單調遞增函數;(2) 試舉出具有這種性質的一個函數,并加以驗證.21. 已知奇函數 f x是定義在 3, 3上的減函數,且滿意不等式fx 3+ fx2 3<0,設不等式解集為 a, b=a x|1 x 5 ,求函數 gx= 3x2+3x 4x b的最大值 .22.設 f x是 ,+ 上的奇函數, fx+2= fx,當 0 x 1 時, f x=x,就 f7.5等于 a.
7、0.5b. 0.5c.1.5d. 1.523. 已知定義域為 1, 1的奇函數 y=fx又是減函數,且fa 3+ f9 a2<0,a 的取值范疇是 a.22 , 3b.3 ,10 c.22 , 4d. 2, 324. 如 f x為奇函數,且在 0, + 內是增函數,又 f 3=0, 就 xfx<0 的解集為.25. 假如函數 fx在 r 上為奇函數,在 1, 0上是增函數,且 fx+2= fx,試比較 f1,f32,f 1的大小關系.36. ( 1)f1 = f1/1 = f1 - f1 = 0;參考答案( 2)當 0 < x < y時, y/x > 1 ,所以
8、fy - fx = fy/x < 0;故 f 單調減;( 3)f3 = -1 , f3 = f9/3 = f9 - f3, f9 = -2而 f( x -2 = f9 ,且 f 單調減,所以 | x | > 9x 9 或 x -97. ( 1)設 x1,x2 r,且 x1x2,就 x2-x1 0, fx2-x1 1. fx2-fx1=fx2-x1+x1-fx1=fx2-x1+fx1-1-fx1=fx2-x1-1 0. f ( x2) fx1.fx是 r上的增函數 .( 2) f (4) =f ( 2+2) =f ( 2) +f (2) -1=5 , f ( 2)=3,原不等式可化為
9、f3m2-m-2 f2, fx是 r 上的增函數, 3m2-m-2 2,41, 4解得-1 m ,故解集為 3.3xyxx13.證明: 1由 fx+fy=f1xy , 令 x=y=0,得 f0=0, 令 y=x,得 f x+f x=f 1x 2= f0=0 fx= fx. fx為奇函數 .2 先證 fx在 0, 1上單調遞減 .令 0< x1<x2<1,就 fx2 fx1= fx2 f x1=f x21x1 x1 x2 0<x1<x2<1, x2 x1>0,1 x1x2>0,x2x11x2 x1>0,又x2 x1 1 x2x1= x21 x
10、1+1<0 x2 x1<1 x2x1, 0< x21x1 x2 x1x2<1,由題意知 f1x1 x1 x2<0即 f x2<fx1. fx在0, 1上為減函數,又 fx為奇函數且 f0=0. fx在 1, 1上為減函數 .14.解析: f x= fx, fx是奇函數,圖象關于原點對稱.答案: c15.解析:令 t=|x+1|,就 t 在 , 1 上遞減,又 y=fx在 r 上單調遞增, y=f|x+1|在 , 1 上遞減 .答案: ,1 16.解析: f0= f x1=f x2=0, f0= d=0. fx=ax xx 1x x2=ax3 ax1 +x2x
11、2+ax1x2x, b= ax1+x2,又 fx在 x2 ,+ 單調遞增,故 a>0.又知 0 x1 x,得 x1+x2 >0, b= ax1+x20.答案: ,0)17.證明: 1)設 1 x1x2 + ,就 x2 x1>0,a x 2 x1 >1 且 a x1>0, a x2a x1a x1 a x 2 x11 >0,又 x1+1>0, x2+1>0 x22x12 x22 x11 x12 x213 x2x1 >0,x21x11 x11 x21 x11 x21于是 fx2) fx1) = a x2a x1 + x22x21x12>0
12、x11 fx在 1, +)上為遞增函數 .2 )證法一:設存在x00x0 1滿意 f x0=0, 就 a x0x02 且由 0 ax 0 1 得 0 x0x01x02 1,即11 x0 22與 x0 0 沖突,故 fx=0 沒有負數根 .證法二:設存在x0 0x0 1使 fx0=0,如 1x0 0,就 x0x02 2, a x011, f x0 1 與 fx0=0 沖突,如x0 1,就 x0x02>0,1a x0 >0 , fx0>0 與 fx0=0 沖突,故方程f x=0 沒有負數根 .18.證明: x 0, fx=1 x21 21x x 21 21,2x112x設 1 x
13、1 x2 + ,就1x32211,1x 4x221110 .x2x12x1x 11 2x 11 20.11xx221221x2 11 22x2x1 11 22x1 fx1>fx2,fx在 1, +)上是減函數 .19. 證明: 1)不妨令 x=x x,就 f x=fx x =f x2 f x1 1f x1 f x2 11221f x1 f x2 f x2 f x1 = fx1x2= fx. fx是奇函數 .2 )要證 fx+4a=fx,可先運算 fx+a,fx+2a. fx+a=f x a =f a) f x1f a f x1f x1 fa1 .f af xf af xf x1f x2a
14、f xaaf xa) 1f x11f x11f xa1f x11f x1f x. fx+4a=f x+2 a+2 a=1f x2a=fx,故 f x是以 4a 為周期的周期函數.20. 證明:設 x1x2,就 x2 x111>,由題意 fx2 x1 1 >0,222 fx2 fx1=f x2 x1+x1 f x1=fx2 x1+f x1 1 fx1 =fx2 x1 1=fx2 x1+f fx是單調遞增函數 .2解: fx=2x+1.驗證過程略 .1 1=f x2 x121 >0,23x330x621. 解:由2得且 x 0,故 0<x<6 ,3x336x6又 f
15、x是奇函數, fx 3< fx2 3= f3 x2,又 fx在 3, 3上是減函數, x 3>3 x2,即 x2+x 6>0, 解得 x>2 或 x<3,綜上得 2< x<6 ,即 a= x|2<x<6 , b=a x|1 x 5 = x|1 x<6 , 又 gx= 3x2+3x 4= 3x gxmax=g1= 4.1 2213 知: gx 在 b 上為減函數,422.解析: f7.5= f5.5+2= f5.5= f3.5+2= f3.5= f1.5+2= f1.5= f 0.5+2= f 0.5= f0.5= 0.5.答案: b23.解析: fx是定義在 1, 1)上的奇函數又是減函數,且fa 3+f9 a2 0. fa 3 fa2 9.1a311a 291a 22
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