1、高等數學基礎高等數學基礎70%期末考試成績期末考試成績30%平時成績平時成績50%形成性考核側作業形成性考核側作業30%期中測驗期中測驗20%課堂學習表現課堂學習表現預預 備備 知知 識識第一節第一節 代代 數數1、實數的絕對值、實數的絕對值 數數 x 的的絕對值絕對值,0,0 xxxxx 例如例如190 2.56 19,0,2.562、幾個平方公式、幾個平方公式2)(ba2)(ba)(baba222baba222baba22ba 例例2)3(x2xx69162x)4(x)4(x3、二次三項式的（十字相乘法）分解、二次三項式的（十字相乘法）分解)()(2bxaxabxbaxbxaxab)(ba

2、例例232xx21xx23)1(x)2(x例例232xx21xx23)1(x)2(x例例322xx31xx32)1(x)3(x4、指數運算、指數運算aaaann 個個例例32222810a注意：注意：nnaa111 aa例例x11x21x2xnmnmaa21aa 例例422559不存在不存在32832836445、對數、對數01loga1logaa,log xa0 x重點：重點：xxelogln稱為自然對數稱為自然對數01ln 1lne6、一元二次方程、一元二次方程02cbxax一元二次方程一元二次方程 的根（解）的根（解）22124422bbacbbacxxaa ， 例：求方程例：求方程 的

3、解。的解。23210 xx解：解：21( 2)( 2)4 3 ( 1)2 3x 2162416622421663x axb 移項得移項得0;baxa 若若，則則 0(0)axba一元一次不等式一元一次不等式 的解法：的解法：0baxa 若若，則則 7、不等式求解、不等式求解例：求解不等式例：求解不等式360 x 360 x 解：解：36x 2x 例：解不等式組例：解不等式組7351122xxxx 解：解：7531xx 24x 2x 12x 不等式組的解為：不等式組的解為：課堂練習課堂練習：解不等式組解不等式組2464321xxxx 122xx122x1x 第二節第二節 幾幾 何何一、平面直角坐

4、標系一、平面直角坐標系二、直線二、直線（1）、傾斜角與斜率）、傾斜角與斜率直線與直線與x軸正方向的夾角軸正方向的夾角稱為直線的傾斜角。稱為直線的傾斜角。tank稱稱 為直線的斜率。為直線的斜率。（2）、直線方程）、直線方程 直線上任意一點的坐標（直線上任意一點的坐標（x，y）所滿足的的等式，稱為其方程。所滿足的的等式，稱為其方程。已知直線過點（已知直線過點（a，b）,斜率為斜率為k，則其方程為：，則其方程為：)(axkby例：已知直線過點（例：已知直線過點（2，-3），斜率為），斜率為5，求該直線方程，求該直線方程y1053xy0135 xy)(axkby)3(5)2(x 設圓的半徑為設圓的半

5、徑為 r ，其其面積為面積為 s s ；當；當 r 變化變化時，其面積也隨之變化。時，其面積也隨之變化。2sr 它們相互之間的關系是：它們相互之間的關系是：滿足一定條件的變量之間的關系就稱為函數關系滿足一定條件的變量之間的關系就稱為函數關系1 函數的定義函數的定義定義：定義：設設 和和 是變量，是變量，d d是一個給定的非空數集，是一個給定的非空數集，若對于每一個若對于每一個 ，按照某一確定的對應法則，按照某一確定的對應法則，得到得到 y y 唯一的數值，則稱唯一的數值，則稱 y 是是 x 的函數，記為：的函數，記為：xyxd ( )yf x 其中其中 稱為自變量，稱為自變量， 稱為因變量，稱

6、為因變量， 稱為函數的定稱為函數的定義域。義域。xyd0 x 若若 時，時， 的數值稱為函數值，記作的數值稱為函數值，記作 0 xd y0()f x0 xxy 或或00()xxyf x 即即2、函數的兩要素：、函數的兩要素：定義域定義域和和對應法則對應法則（1）函數定義域的確定（重點）函數定義域的確定（重點）注意以下幾點：注意以下幾點： 用解析式用解析式 表示的函數，能使解析表示的函數，能使解析式有意義的一切實數組成的集合就是：定義域。式有意義的一切實數組成的集合就是：定義域。( )yf x )()(xgxh（1 1）分式）分式 ，則，則 ； 0)(xg（2 2）根式）根式 ，則，則 ； )(

7、xh0)(xh（3 3）對數式）對數式 ，則，則 。 )(lnxu0)(xu例例1 1：求下列函數的定義域求下列函數的定義域 21(1)34yxx 1(2)11yxx 1040 xx 14xx 21(1)34yxx 解：解：所以定義域為：所以定義域為： 所有實數所有實數4,1 xx1 (1)(4)xx10 x 11xx 1(2)11yxx 解：解：10 x 所以定義域為：所以定義域為：11且xx 例例2 2：求下列函數的定義域求下列函數的定義域 ln(1)(2)4xyx 9(3)ln(2)xyx (1)ln(1)yx解：解：(1)10 x 1x定義域為定義域為1x ln(1)(2)4xyx 1

8、0 x 14xx 14x 解：解：40 x14x 定義域為：定義域為：9(3)ln(2)xyx 90 x 9x 921xxx 291xx 解：解：20 x ln(2)0 x 2x (2)1x 定義域為定義域為: :29 ,1且xx 課堂練習：課堂練習：求下列函數定義域求下列函數定義域22(1).32xyxx 1(2).3yx ln(22)(3).5xyx 39(4).ln(1)xyx （2）由對應規則求函數值和函數式）由對應規則求函數值和函數式例例3： 設函數設函數 ，求求 2( )231yf xxx(1),( 1),( ),()fff afx 解：解：(1)f 2( 1)2 ( 1)3 (

9、1)1f 2( )2 ( )3 ( )1f aaa 2()2 ()3 ()1fxxx 22 (1)3 (1)1 0 6 2231aa 2231xx例例4 4：設函數設函數221( )011xxf xxxx 求求( 3),( 1),(1).fff解：解：2( 3)( 3)9f 31,x 1 ,x ( 1)0f 11,x (1)2f 2( )f xx ( )0f x( )2f xx （1）函數的奇偶性）函數的奇偶性:偶函數偶函數,dxd 設設函函數數的的定定義義域域 關關于于原原點點對對稱稱對對于于有有)()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數為偶函數稱稱xf3

10、3、函數的基本性質、函數的基本性質24,yxyx如如為為偶偶函函數數也也為為偶偶函函數數；222( )()()f xxfxxx 時時，( )f x 常見的偶函數有常見的偶函數有68| ,xxxxycos xycos 余弦函數余弦函數 ，也是偶函數，也是偶函數 ,dxd 設設函函數數的的定定義義域域關關于于原原點點對對稱稱對對于于有有)()(xfxf ;)(為奇函數為奇函數稱稱xf奇函數奇函數)( xf yx)(xfox-x)(xfy 3,yxyx如如為為奇奇函函數數也也為為奇奇函函數數；( )()( )f xxfxxf x 時時，333( )()()f xxfxxx 時時，( )f x 常見的

11、奇函數有常見的奇函數有357,xxxxxysin 正弦函數正弦函數 ，也是奇函數，也是奇函數 例例1：判斷下列函數的奇偶性判斷下列函數的奇偶性2(1)( )cos3f xxx 3(2)( )sin1f xxx 2(3)( )cosf xxx 2(4)( )sinf xxx (5)( )2xxeef x 解：解：2(1)( )cos3f xxx偶函數偶函數3(2)( )sin1f xxx非奇非偶非奇非偶2(3)( )cosf xxx 偶函數偶函數2(4)( )sinf xxx 奇函數奇函數(5)( )2xxeef x ()()()2xxeefx 2xxee 2xxee 奇函數奇函數( )f x

12、（2 2）函數的單調性）函數的單調性: :1()fxxyo()yfx 2()fxi( ),f xii設設函函數數在在區區間間 上上有有定定義義 如如果果對對于于區區間間上上任任意意;i單單調調在在間間 上上是是增增加加區區的的121212,()(),( )xxxxf xf xf x兩兩點點及及當當時時 恒恒有有則則稱稱函函數數 單調增加的函數，其圖形是一條沿著單調增加的函數，其圖形是一條沿著 軸正向逐軸正向逐漸上升的曲線漸上升的曲線x1x2x1()f x2()f xxyo( )yf x i( ),f xii設設函函數數在在區區間間 上上有有定定義義 如如果果對對于于區區間間上上任任意意;i單單

13、調調在在間間 上上是是減減少少區區的的121212,()(),( )xxxxf xf xf x 兩兩點點及及當當時時 恒恒有有則則稱稱函函數數 單調減少的函數，其圖形是一條沿著單調減少的函數，其圖形是一條沿著 軸正向逐軸正向逐漸下降的曲線漸下降的曲線x1x2x第二節第二節 初等函數初等函數一、六類基本初等函數一、六類基本初等函數oxyyc 1.常量函數常量函數 ，其中，其中 c 為常數為常數cy c2.冪函數冪函數()yx 是是常常數數113332,yxxyxxyx 23,yx yxyx是冪函數是冪函數是冪函數是冪函數113311,yxyxxx 都是冪函數都是冪函數3.指數函數指數函數) 1,

14、 0( aaayxxey 本課程中常用的指數函數本課程中常用的指數函數2.71828e 是指數函數是指數函數xxxyyy)21(,53，是指數函數是指數函數xxxy)31(3134. 對數函數對數函數xyalog 定義域為定義域為(0,) 本課程中常用的對數本課程中常用的對數 自然對數自然對數lnlogeyxxxyxxyxy31105log,lglog,log 是對數函數是對數函數5. 三角函數三角函數正弦函數正弦函數xysin xysin 定義域為定義域為(,) 1sin1x xycos xycos 余弦函數余弦函數定義域為定義域為(,) 1cos1x 特殊角的值：特殊角的值：02sin01

15、0cos101xxx 二、復合函數二、復合函數定義定義:設函數設函數 ，稱，稱 為兩個函數的為兩個函數的復合函數復合函數，并稱，并稱 為中間變量。為中間變量。( ) ,( )yf uux ( )yfx u2,1,yu ux如如21xy 則則 是復合函數是復合函數復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成.例例如如,uy ,cotvu 2xv ，cot2xy 則則復復合合為為例：例：下列函數是有哪些函數復合而成的？下列函數是有哪些函數復合而成的？(1)sin2yx 2(2)xye (3)sinxye (4)lntan(21)yx解：解： 由最外層開始，一層一

16、層向內進行分解，使得每由最外層開始，一層一層向內進行分解，使得每一層均為基本初等函數或其四則運算式的復合。一層均為基本初等函數或其四則運算式的復合。(1)sin2yx sinyu 2ux 2(2)xye uye2ux (3)sinxye sinyuxue vuevx sinyuvx vue (4)lntan(21)yxlnyutan(21)uxtanuvlnyutan21uvvx例：例：下列函數是有哪些函數復合而成的？下列函數是有哪些函數復合而成的？(3)sinxye (4)lntan(21)yx,21vx三三 常用函數舉例常用函數舉例1 1、 關于幾何圖形的面積、周長等關于幾何圖形的面積、周

17、長等2(1).4axlx正正方方形形面面積積 ，周周長長 (2).2()axylxy長長方方形形面面積積 ，周周長長 2(3).2arlr圓圓面面積積 ，周周長長 xxxyr2 2、 關于幾何圖形的體積、表面積等關于幾何圖形的體積、表面積等(1).2()vxyhsxyyhxh長長方方體體體體積積 ，表表面面積積 22(2).22vr hsrrh圓圓柱柱體體體體積積 ，表表面面積積 xyhrh例例1：一長方形，邊長為一長方形，邊長為x和和y，試在其面積，試在其面積a為定值為定值的條件下建立長方形周長的條件下建立長方形周長l與其一邊長與其一邊長x之間的關系之間的關系式。又試在其周長式。又試在其周長l為定值時，建立其面積為定值時，建立其面積a與一邊與一邊長長x的關系式。的關系式。解：解：,2()axylxyaayx 當當 為為定定值值時時，2()alxx2llyx當當 為為定定值值時時，()2laxxxy22lxx0 x20lx 例例2 2：如圖，直徑為如圖，直徑為d 的一圓內接長方形，建立長方的一圓內接長方形，建立長方形面積形面