1、12 一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：1. 復(fù)積分的基本定理；復(fù)積分的基本定理；2. 柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式 復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算3 二、內(nèi)容提要二、內(nèi)容提要有向曲線有向曲線復(fù)積分復(fù)積分積分存在的積分存在的條件及計(jì)算條件及計(jì)算積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)柯西積分定理柯西積分定理原函數(shù)原函數(shù)的定義的定義復(fù)合閉路復(fù)合閉路 定定 理理柯西積分柯西積分公公 式式高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式調(diào)和函數(shù)和調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)4 設(shè)設(shè)C為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲線曲線, ,

2、如果選定如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向?yàn)檎较? (或正向或正向), ), 那末我們就把那末我們就把C理解為帶理解為帶有方向的曲線有方向的曲線, , 稱為稱為有向曲線有向曲線. .xyoAB如果如果A到到B作為曲線作為曲線C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線就是曲線C的負(fù)向的負(fù)向, . C記記為為1.1.有向曲線有向曲線52.2.積分的定義積分的定義, , , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 設(shè)設(shè)分分點(diǎn)點(diǎn)為為個(gè)個(gè)弧弧段段任任意意分分成成把把曲曲線線的的一一條條光光滑滑的的有有向向曲曲線線終終點(diǎn)點(diǎn)為為內(nèi)內(nèi)起起點(diǎn)點(diǎn)為為為為區(qū)區(qū)域域內(nèi)

3、內(nèi)定定義義在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一點(diǎn)上任意取一點(diǎn)在每個(gè)弧段在每個(gè)弧段 6,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作作和和式式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 記記 , , 11的的長長度度這這里里kkkkkkzzszzz ( , 0 時(shí)時(shí)無無限限增增加加且且當(dāng)當(dāng) n , )( , , 記為記為的積分的積分沿曲線沿曲線函數(shù)函數(shù)那么稱這極限值為那么稱這極限值為一極限一極限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不論對如果不論對Czf

4、SCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 73.3.積分存在的條件及計(jì)算積分存在的條件及計(jì)算（1 1）化成線積分）化成線積分且且存在存在則積分則積分連續(xù)連續(xù)沿逐段光滑的曲線沿逐段光滑的曲線設(shè)設(shè),d)(,),(),()( CzzfCyxivyxuzf CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（2 2）用參數(shù)方程將積分化成定積分）用參數(shù)方程將積分化成定積分的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是設(shè)簡單光滑曲線設(shè)簡單光滑曲線 C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 則則84. 積分的性質(zhì)積分的性質(zhì);d)(d)()

5、1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為為常常數(shù)數(shù)kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf.)(),(連續(xù)連續(xù)沿曲線沿曲線設(shè)設(shè)Czgzf CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21則則連結(jié)而成連結(jié)而成由由設(shè)設(shè) CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(那那末末上上滿滿足足在在函函數(shù)數(shù)的的長長度度為為設(shè)設(shè)曲曲線線95. 柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理(柯西積分定理柯西積分定理) . d)( , )( 無關(guān)無關(guān)線線與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路與連結(jié)起點(diǎn)及終點(diǎn)的路那末積分那末積分析析內(nèi)處處解內(nèi)處

6、處解在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)定理1定理1CzzfBzfC . 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的的積積分分為為零零內(nèi)內(nèi)的的任任何何一一條條封封閉閉曲曲線線沿沿那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)10).()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且解析函數(shù)解析函數(shù)內(nèi)的一個(gè)內(nèi)的一個(gè)必為必為那末函數(shù)那末函數(shù)析析內(nèi)處處解內(nèi)處處解在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù) 定理2定理2由定理得由定理得 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzfBB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C116.6.原函數(shù)

7、的定義原函數(shù)的定義. )( )( , )()( , )( )( 的的原原函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)域域?yàn)闉槟悄悄┠┓Q稱即即內(nèi)內(nèi)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為在在區(qū)區(qū)域域如如果果函函數(shù)數(shù)BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是因此因此zffzFzz . )(一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差的任何兩個(gè)原函數(shù)相差zf. , )()(d)( , )( )( , )( 100110內(nèi)內(nèi)的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)為為域域這這里里那那末末的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)為為內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數(shù)數(shù)定定理理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (牛頓牛頓- -萊布尼茲公式萊布

8、尼茲公式) )127. 7. 閉路變形原理閉路變形原理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為邊界的區(qū)域全含于為邊界的區(qū)域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它們它們內(nèi)部的簡單閉曲線內(nèi)部的簡單閉曲線是在是在內(nèi)的一條簡單閉曲線內(nèi)的一條簡單閉曲線多連通域多連通域?yàn)闉樵O(shè)設(shè) , )( 內(nèi)內(nèi)解解析析在在如如果果DzfDC1C2C3C 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理 一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.那末那末13). , , , , :( , , ,

9、 , 2121順順時(shí)時(shí)針針進(jìn)進(jìn)行行按按按按逆逆時(shí)時(shí)針針進(jìn)進(jìn)行行其其方方向向是是組組成成的的復(fù)復(fù)合合閉閉路路為為由由這這里里nnCCCCCCCC . 0d)()2( zzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf148.柯西積分公式柯西積分公式 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)為為于于它的內(nèi)部完全含它的內(nèi)部完全含閉曲線閉曲線內(nèi)的任何一條正向簡單內(nèi)的任何一條正向簡單為為內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的

10、值等于它在圓周上的平均值平均值.則則有有是是圓圓周周如如果果,0 ieRzzC .d)(21)(2000 ieRzfzf15 9. 高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的內(nèi)部全含于而且它的內(nèi)部全含于線線任何一條正向簡單閉曲任何一條正向簡單閉曲的的內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞的解析區(qū)域的解析區(qū)域?yàn)樵诤瘮?shù)為在函數(shù)其中其中導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為階階它的它的的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)解析函數(shù)解析函數(shù) 16. ),( 0, , ),( 2222內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域那末稱那末稱并且滿足拉普拉

11、斯方程并且滿足拉普拉斯方程有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具內(nèi)具在區(qū)域在區(qū)域如果二元實(shí)變函數(shù)如果二元實(shí)變函數(shù)DyxyxDyx 10.調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù) 任何在任何在 D 內(nèi)解析的函數(shù)內(nèi)解析的函數(shù), ,它的實(shí)部和虛部它的實(shí)部和虛部都是都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù).17. . , , 的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)稱為稱為和函數(shù)中和函數(shù)中的兩個(gè)調(diào)的兩個(gè)調(diào)內(nèi)滿足方程內(nèi)滿足方程在在即即uvxvyuyvxuD ,. ),( ),( , ),( 的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)稱為稱為函數(shù)函數(shù)內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和在在們把使們把使我我內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)內(nèi)給定的調(diào)

12、和函數(shù)為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域設(shè)設(shè)yxuyxvDivuDyxu 定理定理 區(qū)域區(qū)域D D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)軛調(diào)和函數(shù). . 共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)18 三、典型例題三、典型例題例例1 1 計(jì)算計(jì)算 的值，其中的值，其中C為為1）沿從）沿從 到到 的線段：的線段：2）沿從）沿從 到到 的線段：的線段： 與從與從 到到 的線段的線段 所接成的折線所接成的折線. czzd)0 , 0()1 ,1(; 10 , ttytx)0 , 0()0 , 1(, 10 , 0,:1 tytxC)0 , 1()1 , 1(10 , 1:2 ttyxC解解 10)(d)(dit

13、tittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1 , 1()0 , 1(C1C2COxy; 1 19zzzzzzcccddd)221 1010d)1 (dtiittt i2121.1i 說明說明 同一函數(shù)沿不同路徑所得積分值不同同一函數(shù)沿不同路徑所得積分值不同.20，因?yàn)橐驗(yàn)?1 z22111 zzz所所以以221 z, 2 因此因此zzzzzzccd11d11 證證.8222 例例2 2 設(shè)設(shè)C為圓周為圓周 證明下列不等式證明下列不等式.21 z.8d11 czzz21解解222442zzzz , 1124 .d42)1cos(21001zzzzzz 例例3 3 計(jì)算計(jì)算1 z當(dāng)當(dāng)

14、 時(shí)時(shí),故由柯西積分定理得故由柯西積分定理得. 0d42)1cos(21001 zzzzzz22計(jì)算以下積分計(jì)算以下積分沿指定路徑沿指定路徑23: izC例4例4 CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解解由由復(fù)復(fù)合合閉閉路路定定理理有有則則及及為為半半徑徑作作圓圓以以為為圓圓心心及及以以分分別別及及內(nèi)內(nèi)有有兩兩個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)在在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzz CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(122223 解法一解法一 利用柯西利用柯西-古薩基本定理及重要公式古薩基本定理及重要公式izizzzz 1211211)1(12由柯西由

15、柯西- -古薩基本定理有古薩基本定理有, 0d1211 zizC, 0d1211 zizC, 0d12 zzC, 0d1212 zizCyxOi i C2C1C24 21d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii 2212. i 25 解法二解法二 利用柯西積分公式利用柯西積分公式,11)(121內(nèi)解析內(nèi)解析在在Czzf ,)(1)(22內(nèi)內(nèi)解解析析在在Cizzzf CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 21d)(1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi 2122ii. i 26由由復(fù)復(fù)合合閉閉路路定定理理有有則則及及為為半半徑徑作

16、作圓圓以以為為圓圓心心及及以以分分別別及及內(nèi)內(nèi)有有兩兩個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)在在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121內(nèi)內(nèi)解解析析在在Czezfz ,)()(22內(nèi)解析內(nèi)解析在在Cizzezfz 因此由柯西積分公式得因此由柯西積分公式得27 CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222 21d)(d)1(2CzCzzizizzezzze)(2)0(221iiffi 222ieii).1cos2(1sin i)2(iei 28.10,d)1(3光光滑滑曲曲線線的的閉閉與與是是不

17、不經(jīng)經(jīng)過過其其中中計(jì)計(jì)算算CzzzeCz 例例5 5解解分以下四種情況討論：分以下四種情況討論：則則也也不不包包含含既既不不包包含含若若封封閉閉曲曲線線, 10)1C,)1()(3內(nèi)內(nèi)解解析析在在Czzezfz . 0d)1(3 Czzzze古薩基本定理得古薩基本定理得由柯西由柯西29則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 10)2C由柯西積分公式得由柯西積分公式得內(nèi)解析內(nèi)解析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 03)1(2 zzzei.2 i 30則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 01)3C,)(內(nèi)解析內(nèi)解析

18、在在Czezfz 由高階導(dǎo)數(shù)公式得由高階導(dǎo)數(shù)公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 zzzeCzd)1(3 )1(! 22fi 132)22( zzzezzi. ie 31, 01)4又又包包含含既既包包含含若若封封閉閉曲曲線線C,0,1 , 0212121互不包含互不包含互不相交互不相交與與且且內(nèi)內(nèi)也在也在和和使使為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心則分別以則分別以CCCCCCC 據(jù)復(fù)合閉路定理有據(jù)復(fù)合閉路定理有 Czzzzed)1(3 21d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C32 Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzz

19、eCz 的結(jié)果的結(jié)果即為即為而積分而積分,2)2d)1(13izzzeCz 的的結(jié)結(jié)果果即即為為而而積積分分33解解0)1(1)1()!1(2d)1( znznnizz; 0 0)1(1)()!1(2d)2( znzznzenizze0)!1(2 zzeni.)!1(2 ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn 為大于為大于1的自然數(shù)的自然數(shù).n 例例6 6 計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分所以所以的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)和和是是因?yàn)橐驗(yàn)?10nznzezz 34).,(),()(),(.),(22yxivyxuzfyxvxyyxyxu 及及解解析析函函數(shù)數(shù)軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)求求其其共共已已知知調(diào)調(diào)和和

20、函函數(shù)數(shù)例例7 7解法一解法一 不定積分法不定積分法. 利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程, ,2)2(xyxyyuxv ),(22d)2(2ygxxyxxyv 得得).(2ygxyv .2yxxuyv 又又35,2)(2:yxygx 比較兩式可得比較兩式可得.)(yyg 故故 .2d)(2Cyyyyg即即)(22222為為任任意意常常數(shù)數(shù)因因此此CCyxxyv 因而得到解析函數(shù)因而得到解析函數(shù)),(),()(yxiyxuzf iCyxxyixyyx 222)(2222iCyixyxiyixyx )2(2)2(2222.)2(22iCiz 36 解法二解法二 線積分法線積分法. ),()0 , 0(),(d),(yxCyxvyxv因因?yàn)闉?),()0 , 0(ddyxCyyvxxv,dd),()0,0( yxCyxuxyu ),()0 , 0(d)2(d)2(),(yxCyyxxxyyxv所所以以 )0,()0,0()0,()0,0(d)2(d)2(xxyyxxxy ),()0,(),()0