多元函數概述一、多元函數的概念預備知識1.在上冊我們研究一元函數的微積分學時，其概念、理論和方法都是基于一維空間中（即數軸上）的點集、兩點間距離、區間和鄰域等概念，為了將一元函數的微積分學推廣到多元函數的情形，必須將上述概念加以推廣，以供我們研究多元函數時使用．一、多元函數的概念平面點集是指平面上滿足某個條件P的一切點構成的集合．在平面解析幾何中，平面上的點與有序二元實數組之間建立了一一對應，由此可借助于平面坐標來描述平面點集．例如，平面上以原點為中心，以1為半徑的圓的內部就是一個平面點集（見圖8-1），它可表示成1）平面點集和n維空間圖8-1一、多元函數的概念

E={(x,y)|x2+y2<1}．由平面解析幾何我們還知道，平面上任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離公式為在空間解析幾何中，我們同樣建立了空間中的點與有序三元實數組之間的一一對應關系，也可用空間坐標來描述空間點集．例如，空間中以原點為球心，2為半徑的球面上的點構成的點集，可表示為一、多元函數的概念M={(x,y,z)|x2+y2+z2=4}．由空間解析幾何知道，空間中任意兩點P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之間的距離公式為一、多元函數的概念上面我們把一維空間的點集和距離概念推廣到二維空間R2（平面點集）和三維空間R3（空間點集）.類似地，我們可以把這個概念推廣到n元有序數組(x1,x2,…,xn)所組成的集合Rn，稱為n維空間，n維空間中的點P與n元有序數組(x1,x2,…,xn)之間建立了一一對應關系，可用n元有序數組(x1,x2,…,xn)來表示n維空間中的點P，其中(x1,x2,…,xn)稱為點P的坐標．n維空間中任意兩點P1(x1,x2,…,xn),P2(y1,y2,…,yn)之間的距離為

（8-1）下面研究的有關內容均建立在二維空間R2的基礎上，其結論可推廣到Rn中去．一、多元函數的概念2）鄰域設P0(x0,y0)是平面上一點，δ>0，以P0為中心，δ為半徑的圓的內部點P(x,y)的全體構成的點集，叫作點P0的δ鄰域，記作U(P0,δ)，即在點P0的δ鄰域內，如果去掉中心點P0，則稱為點P0的δ去心鄰域，記作U(P0,δ)，即一、多元函數的概念3）內點、外點、邊界點（1）內點：設E是平面點集，P是平面上一點，如果存在P的某一鄰域，此鄰域內的點都屬于E，則稱點P為點集E的內點（見圖8-2）．圖8-2一、多元函數的概念（2）外點：設E是平面點集，P是平面上一點，如果存在P的某一鄰域，此鄰域內的點都不屬于E，則稱點P為點集E的外點（見圖8-3）．圖8-3一、多元函數的概念（3）邊界點：設E是平面點集，P是平面上一點，如果P的任一鄰域內既有屬于E的點，又有不屬于E的點，則稱點P為點集E的邊界點（見圖8-4）．E的邊界點的全體稱為E的邊界．

例如，單位圓內的點都是圓的內點，單位圓上的點都是圓的邊界點，單位圓外的點都是圓的外點，單位圓周為圓的邊界．圖8-4一、多元函數的概念思考邊界點可能屬于點集E，也可能不屬于點集E．一、多元函數的概念4）開集和連通集

如果集合E中的每個點都是內點，則稱E是開集．對于開集E，如果E中的任何兩點，都可以用E中的折線聯結起來，則稱E是連通集．一、多元函數的概念5）區域和閉區域

連通的開集E稱為區域或開區域．開區域E連同它的邊界一起稱為閉區域．在不混淆的情況下，開區域和閉區域統稱為區域．一、多元函數的概念6）有界區域和無界區域對于平面區域E，如果存在某一正數r，使得

其中O是坐標原點，則稱區域E為有界區域．否則，稱區域E為無界區域．例如，區域E={(x,y)|x2+y2<1}是有界區域；區域E={(x,y)|x2+y2≤1}是有界閉區域；區域E={(x,y)|x+y<1}是無界區域；區域E={(x,y)|x+y≤1}是無界閉區域．有界閉區域是我們今后學習中常用的．一、多元函數的概念

本章將以二元函數為主要對象，可將二元函數微積分學的結論推廣更多元的函數.一、多元函數的概念二元函數1.1）實例引入三角形的面積S和它的底邊長a，底邊上的高h之間有關系式

其中S，a，h是三個變量，當變量a，h在一定范圍(a>0,h>0)內取定一對數值(a0,h0)時，根據給定的關系S就有一個確定的值

與之對應．【例1】一、多元函數的概念設R是電阻R1，R2并聯后的總電阻，由電學知識可知，它們之間具有關系這里，當R1，R2在集合{(R1,R2)|R1>0,R2>0}內取定一對值(R1,R2)時，R的對應值就隨之確定．【例2】一、多元函數的概念設Z表示居民人均消費水平，Y表示國民收入總額，P表示總人口數，則有

，其中S1是消費率（國民收入總額中用于消費的部分所占的比例），S2是居民消費率（消費總額中用于居民消費的部分所占的比例）．顯然，對于每一個有序數組(Y,P)（Y>0,P>0并取整數），總有唯一確定的實數Z與之對應，使得以上關系式成立．此關系式反映了一個國家中居民人均消費水平依賴國民收入總額和總人口數．【例3】一、多元函數的概念

拋開上述三個例題的具體含義，僅從數量關系來看，它們具有共同的屬性，抽出這些共性，概括出二元函數的定義．一、多元函數的概念2）二元函數的定義定義1

設有三個獨立的變量x，y，z和非空點集

，如果當變量x,y在其給定的范圍D內，任取一對數值(x,y)時，變量z就按某一確定的對應法則f，總有確定的數值與它們對應，那么，變量z就稱為變量x,y的二元函數，記為z=f(x,y)．其中x,y稱為自變量，函數z也叫作因變量，自變量x,y的取值范圍D稱為函數的定義域．二元函數可記為z=z(x,y)或z=g(x,y)等．類似地，可以給出三元函數的定義一、多元函數的概念

n元函數的定義二元及其以上的函數統稱為多元函數．二元函數z=f(x,y)在點M(x0,y0)所取的函數值記為一、多元函數的概念設，求

解

【例4】一、多元函數的概念3）二元函數的定義域同一元函數一樣，函數的定義域和對應法則是二元函數的兩個要素．對于以解析式表示的二元函數，其定義域就是使該式子有意義的自變量的變化范圍．對于實際問題，在求定義域時，除使該式子有意義外，還要符合具體問題的實際意義．二元函數的定義域比較復雜，可以是全平面，可以是一條曲線，也可以是由曲線圍成的部分平面等．二元函數的定義域的求法同一元函數，可用不等式組或集合的形式表示．一、多元函數的概念

【例5】求下列函數的定義域D，并畫出其圖形．一、多元函數的概念

解（1）因為要使函數有意義，應有所以，函數的定義域D是以x=±2,y=±3為邊界的矩形閉區域（見圖8-5）．圖8-5一、多元函數的概念（2）因為要使函數

有意義，應有即1<x2+y2≤4．所以，函數的定義域D是以原點為圓心的環形區域，是有界區域（見圖8-6）．圖8-6一、多元函數的概念（3）要使函數有意義，則有即1<x+y≤2．所以，函數的定義域D是一個條形區域，是無界區域（見圖8-7）.圖8-7一、多元函數的概念4）二元函數的幾何意義已知一元函數（即二元方程）一般表示平面上一條曲線．對于二元函數（即三元方程），由空間解析幾何知識知道，它在空間直角坐標系中一般表示曲面．設P(x,y)是二元函數z=f(x,y)的定義域D內的任意一點，則相應的函數值是z=f(x,y)，于是，有序數組x,y,z確定了空間一點M(x,y,z)．當點P在D內變動時，對應的點M就在空間變動，一般地形成一個曲面．我們稱之為二元函數z=f(x,y)的圖形（見圖8-8）．定義域D就是曲面在xOy面上的投影區域．一、多元函數的概念圖8-8一、多元函數的概念例如，函數的圖形是球心在原點、半徑為a的上半球面（見圖8-9）．圖8-9二、二元函數的極限與一元函數情況類似，對于二元函數z=f(x,y)，我們需要考察當自變量x,y無限趨近于常數x0,y0時，即當點P(x,y)無限逼近于點P0(x0,y0)時，對應的函數值的變化趨勢，這就是二元函數的極限問題．顯然，當x,y趨向于x0,y0時，可以看成點P(x,y)趨向于點P0(x0,y0)，記為P→P0或(x,y)→(x0,y0)．若記ρ=|PP0|，即

，則可用ρ→0來表示P→P0或(x,y)→(x0,y0)．下面給出當ρ→0時，函數f(x,y)無限逼近于確定的常數A的極限定義．二、二元函數的極限定義2

設函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一鄰域內有定義（點P0可以除外），如果對于任意給定的正數ε，都存在正數δ，當0<ρ=|PP0|<δ時，恒有|f(P)－A|<ε，則稱常數A為函數z=f(x,y)當P(x,y)→P0(x0,y0)時的極限，記為二元函數的極限運算與一元函數類似，不再重述．下面舉例說明．二、二元函數的極限

證明：

證任給ε>0，由再由所以，當時，有于是，只要取【例6】二、二元函數的極限當時，就有恒成立，因此二、二元函數的極限求

解令u=x2+y2，因為當x→0,y→0時u→0，所以本例表明，二元函數的極限問題有時可以轉化為一元函數的極限問題來解．【例7】二、二元函數的極限求

解當x→0,y→0時，x2+y2為無窮小，而為有界變量，故

【例8】二、二元函數的極限求【例9】分析(x,y)→(0,0)時，分子、分母的極限均為0，可將分母有理化，消去零因子．二、二元函數的極限

解二、二元函數的極限考察函數當(x,y)→(0,0)時的極限是否存在．

解當點(x,y)沿x軸趨向于原點時，即當y=0而x→0時，有【例10】二、二元函數的極限而當點(x,y)沿y軸趨向于原點時，即當x=0而y→0時，有但是，當點(x,y)沿直線y=kx(k≠0)趨向于原點時，即當y=kx而x→0時，有隨著k取值的不同，的值也不同，故極限不存在.二、二元函數的極限考察函數當(x,y)→(0,0)時的極限是否存在？

解當點(x,y)沿x軸、y軸趨向于原點時，函數的極限都是0．設y=kx(k≠0)趨向于原點，此時【例11】二、二元函數的極限顯然這說明：點(x,y)沿任何直線趨向于原點時，函數的極限均為0.但是，我們仍不能斷定其極限是否存在．因為還不能表明點(x,y)沿任何方式趨向于原點時，函數的極限均為0．事實上，設當點(x,y)沿趨向于原點時，此時有二、二元函數的極限于是由此可見，極限不存在.二、二元函數的極限在一元函數y=f(x)的極限定義中，點x只是沿x軸從x0的左右兩側趨向于點x0，但是，在二元函數極限的定義中，若極限存在，要求點P(x,y)以任意方式、任意方向無限趨向于點P0(x0,y0)(可以沿任何直線，也可以沿任何曲線趨于點P0(x0,y0))時，函數都無限趨于同一常數A．如果點P(x,y)只取某些特殊方式（如沿一條定注意二、二元函數的極限直線或定曲線或無限多方式），但不是任意方式趨于點P0(x0,y0)時，即使函數無限趨于某一確定的常數A，我們也不能由此斷定函數的極限一定存在．但是，反過來，如果當點P(x,y)以不同的方式或不同方向趨于點P0(x0,y0)時，函數趨于不同的值，那么，就可以斷定此函數的極限一定不存在．注意三、二元函數的連續性二元函數連續的定義1.

有了二元函數極限的定義，類似于一元函數的連續性定義，我們就可以很容易地給出二元函數連續的定義．三、二元函數的連續性定義3

設函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一鄰域內有定義，如果當點P(x,y)趨向于點P0(x0,y0)時，函數z=f(x,y)的極限存在，且等于它在點P0(x0,y0)處的函數值，即則稱函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處連續，否則，稱函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處間斷，點P0(x0,y0)稱為該函數的間斷點．三、二元函數的連續性利用函數全增量的概念，連續定義可用另一種形式表述．函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內有定義，當自變量x,y分別由x0變到x0+Δx，y0變到y0+Δy時，函數z=f(x,y)有增量稱其為函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的全增量，記為Δz，即三、二元函數的連續性定義3中，點P(x,y)趨向于點P0(x0,y0)，可用Δx→0,Δy→0來描述，極限式相當于于是，連續的定義又可表述為如下.三、二元函數的連續性定義4

設函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一鄰域內有定義，如果當自變量x,y的增量Δx,Δy趨向于0時，對應的函數z=f(x,y)的全增量Δz也趨向于0，即則稱函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處連續．如果函數z=f(x,y)在區域D內各點都連續，則稱函數z=f(x,y)在區域D內連續．三、二元函數的連續性對于閉區域上的連續函數z=f(x,y)，則要求函數z=f(x,y)在區域D內和邊界上都連續．當點P0(x0,y0)是區域D的邊界點時，極限中的P→P0是指P在區域D內所取的路線趨近于點P0(x0,y0)，極限中滿足的點P均指區域D內的點．關于二元函數z=f(x,y)的間斷點，同一元函數類似，由函數的連續性定義知,函數沒有定義的點、極限不存在的點和極限值不等于函數值的點均為函數的間斷點．對于二元函數z=f(x,y)與一元函數不同的是：它不僅有間斷點，有時還會有間斷線．例如，函數三、二元函數的連續性

就有間斷線一元函數連續性的運算法則和結論都可以推廣到二元連續函數（證明從略）:（1）二元連續函數的和、差、積、商（分母不為零）仍是連續函數.