1、 基本概念：基本概念：模，幅角，主值，共軛復數模，幅角，主值，共軛復數復數的幾何表示復數的幾何表示1. 點點的表示、的表示、 2. 向量表示法、向量表示法、3. 三角表示法、三角表示法、 4. 指數表示法指數表示法例：例：oxy(z)ouv(w)422 yx2zw 4u 復數的運算復數的運算 加、減、乘、除、乘冪、方根加、減、乘、除、乘冪、方根復變函數的幾何意義復變函數的幾何意義 基本概念：基本概念： 可導，解析，奇點可導，解析，奇點解析函數的充要條件解析函數的充要條件2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例例 判定下列函數在何處可導，在何處解析，并在可判定下列

2、函數在何處可導，在何處解析，并在可 導點處求出導數：導點處求出導數：初等函數初等函數 1. 指數函數指數函數、 2. 三角函數和雙曲函數三角函數和雙曲函數 3. 對數函數、對數函數、 4. 乘冪與冪函數乘冪與冪函數.1322的的值值和和、求求iii例例 計算積分：計算積分：3:(01)4CxtzdzOAtyt例：計算利用曲線方程的表達式利用曲線方程的表達式1t0ti4t 3z:C 解解 利用利用Cauchy-Goursat基本定理基本定理例例 1.d321 zzz計算積分計算積分利用原函數利用原函數213,Re0,3 ,3;CdzzCzzii求其中 為半圓周：起點為終點為利用復合閉路定理利用復

3、合閉路定理.1:12 2任任意意正正向向簡簡單單閉閉曲曲線線在在內內的的包包含含圓圓周周計計算算 zdzzzz例例(Cauchy 積分公式積分公式) 利用利用CauchyCauchy積分公式和高階導數公式積分公式和高階導數公式5:1cos(1)CCzrzdzz求下列積分值例例41sin2zzdziz例求：調和函數、共軛調和函數調和函數、共軛調和函數例例 已知一調和函數已知一調和函數22,u x yxyxy求一解析函數求一解析函數 00.f zuivf使掌握判別級數是否收斂的常用方法 132nni例：判別的斂散性。1313 (1),lim322nnnjnnjisisi解又1( 1)()2nnni

4、n例：111( 1)1( 1)().22nnnnnnninn解：收斂，收斂，收斂 會求會求收斂半徑例例 求冪級數的收斂半徑求冪級數的收斂半徑:1(0);npnzpn解解 1limnnnccpnnn)1(lim 1() .lnnnzin例：2221limlim ln()2nnnnnncn解： 會會將函數展開成泰勒級數.Talor0ze)z(fz展展開開式式的的在在求求 例例 ( )0023()1(0,1,2,)1.2!3!znzzznzeenzzzezn 解：.Talor0zzcos, zsin)z(f展展開開式式的的在在求求 例例 001()()sin22!zizinnnneeziziziin

5、n解：會將函數展開成羅朗級數級級數數。內內展展開開成成（在在以以下下圓圓環環域域將將Laurentz2)iii(;2z1)ii(; 1z0) i)2z)(1z(1)z(f 例例1( )(1)(2)011 021f zzzzzLaurent將在圓環域、內展開成級數。例例 基本概念：基本概念： 孤立奇點，可去奇點，極點，本性奇點，孤立奇點，可去奇點，極點，本性奇點， 零點，留數零點，留數 孤立奇點性質：孤立奇點性質：0zz0nn0nc)z(flim)zz(c)z(f0 q若若z0為為f (z)的可去奇點的可去奇點q若若z0為為f (z)的的m (m 1) 級極級極點點)1, 0()()(0 mcz

6、zczfmmnnn)z(g)zz(1)z(f)z(flimm0zz0 )()z(flim)z(f0zz 不不負負冪冪次次項項的的洛洛朗朗級級數數有有無無窮窮多多項項q若若z0為為f (z)的本性奇點的本性奇點 零點與極點的關系零點與極點的關系級級極極點點的的是是若若mzfz)(0定理定理.)(10級零點級零點的的是是mzfz32)1z)(1z(2z)z( f 證明：證明：z=1為f (z)的三級極點， z=i為f (z)的一級極點，其中留數的計算規則留數的計算規則0),(Re0)(010 zzfsczzi為為可可去去奇奇點點若若 0nn0n)zz(c)z( f1000),(Re)()()( c

7、zzfszzczfzziinn展開展開為本性奇點為本性奇點若若00()Re ( ),iiizzs f z z若為極點時，求有以下兩種方法)6()( )(),(Re,)(0)( ,0)(,0)(,)(),()()()(00000000zQzpzzfszfzzQzQzpzzQzPzQzPzf 且且的的一一級級極極點點是是處處解解析析在在設設規則規則III規則規則I)4()()(lim),(Re,)(0000zfzzzzfszfzzz 的的一一級級極極點點是是若若級極點級極點的的是是若若mzfz)(0規則規則II)5()()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz 1

8、應用應用Laurent展式求展式求 留數定理留數定理2:14 zcdzzzc正正向向計計算算例例42 Re ( ), 1 Re ( ),111111Re ( ), Re ( ),2 04444czdzis f zs f zzs f z is f zii 解：1 ,)1z(z2z5 sRe,0 ,)1z(z2z5 sRe22 求求例例 基本概念：基本概念： 轉動角，伸縮率，圓的對稱點轉動角，伸縮率，圓的對稱點( )1wf zzzi 試求映射在處的轉動角和伸縮率？例例 分式線性映射：分式線性映射：zwiiiaazwiibzwi1)()0()()( 稱為：稱為：平移整線性反演平移整線性反演(ii)上

9、半平面到單位圓上半平面到單位圓)0)(Im(, zzewi , 10)Im( wz映映射射成成單單位位圓圓求求將將上上半半平平面面 .0)2(arg , 0)2( 性映射性映射的分式線的分式線且滿足條件且滿足條件 iwiw例例（i）上半平面到上半平面）上半平面到上半平面, , ,0,Im( )0Im( )0a b c dadbcazbwzwczd當均為實數時 且線性分式映射將(iii)單位圓到單位圓單位圓到單位圓zaazewi 1 ( )為實數例例.021, 021的分式線性映射的分式線性映射圓且滿足條件圓且滿足條件求將單位圓映射為單位求將單位圓映射為單位 ww(iv)角形域映射成角形域 帶形域映射成角形域.ar