1、第五章第五章定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用習(xí)題課習(xí)題課問題問題1:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問題問題2:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程存在定理存在定理廣義積分廣義積分定積分定積分定積分定積分的性質(zhì)的性質(zhì)定積分的定積分的計(jì)算法計(jì)算法牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 一一.本章提要本章提要定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用1.利用牛利用牛-萊直接積分萊直接積分2.利用換元積分法積分利用換元積分法積分.注意注意:換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限;不換元不換元不換限不換限3.比較兩個(gè)定積分的大小比較兩個(gè)定積分的大小4.證明定積分恒等式證明定積分恒等式(可作為結(jié)論掌握可作為結(jié)論掌握,如

2、如被積函被積函數(shù)為奇偶數(shù)為奇偶時(shí)的積分等時(shí)的積分等.)5.變上限積分的導(dǎo)數(shù)變上限積分的導(dǎo)數(shù)二二.本章解題類型本章解題類型6.求平面幾何圖形的面積求平面幾何圖形的面積,求旋轉(zhuǎn)體的體積求旋轉(zhuǎn)體的體積7.兩類廣義積分求解題兩類廣義積分求解題 22211dxxx例例1.計(jì)算定積分計(jì)算定積分 解法一解法一令令x=secu,則則 dx=secu tanu du. 34 du4334 u 3421secsectansec uuuduu原式原式= 2121221)1(11uuduu12arccos2121 u 212121 udu解法三解法三1,1222 uxux則則令令(以下同學(xué)們自已完成以下同學(xué)們自已完成

3、).解法二解法二,1,12duudxux 則則令令x2u3 4 2原式原式=12 x2u21212 2121dxxx例例2.計(jì)算定積分計(jì)算定積分 解解 原式原式= 2021dxxx 202201221)1(211)1(21xxdxxd 0121dxxx202121021221)1(2121)1(21xx 2521512 注注:被積函數(shù)被積函數(shù)中含絕對(duì)值中含絕對(duì)值符號(hào)的定積符號(hào)的定積分方法分方法又因?yàn)橛忠驗(yàn)閒(x)在在1,2上連續(xù)上連續(xù),f(x)在在1,2上單增上單增.例例3.比較比較 與與 的大小的大小 21lnxdx 21)1(dxx解一解一令令f(x)=1+x-lnx,)(xf 當(dāng)當(dāng)1x0

4、.則則, 當(dāng)當(dāng)x1時(shí)時(shí),f(x)f(1)=2, 即即 1+xln x故故 21lnxdx 21)1(dxx解二解二 因?yàn)橐驗(yàn)?2ln2|2ln2|lnln21212121 xdxxxxdx252292)1()1(21221 xdxx故故 21lnxdx 21)1(dxxxxxxf111)( 因?yàn)橐驗(yàn)樽C證dttdxtxxtx21221,),0( 則則令令dxxxfdxxfxaa 20023)(21)(例例4. 證明證明x0at02adxxxfa 20)(21dtttftdxxfxaa2102302321)()(2 dtttfa 20)(21證證, )()( baabdttfdxxbaf例例5 證

5、明證明dxxbafdxxfbaba )()(, txba 令令ax bx ,at , bt ,)()( babadxxfdttf證畢證畢, tbax 則則dtdx 例例6. 求求.sinln2dttdxdxax 解解原式原式= xaccxdttdttx2ln2sinsin xacxxcdttdttx2ln2sinsin xxaacadttxx2sin xxxcxdttlnsinlnln2xx1)sin(ln2 aaaxxlnsin2 例例7. 平面圖形平面圖形d是由曲線是由曲線 及直線及直線y = e 所圍成所圍成 的的,求求:xey 解解(2) eydyxv12 (1)平面圖形平面圖形d的面

6、積的面積(2)平面圖形平面圖形d繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積.xey ey oyx(1)平面圖形平面圖形d的圖形如圖所示的圖形如圖所示 10)(dxeesx edyy12)(ln ytln 令令 102dtett 2 e 10| )(xeex eydya1ln另解另解(1)(1)平面圖形平面圖形1 例例8. 設(shè)非負(fù)函數(shù)設(shè)非負(fù)函數(shù)上滿足上滿足在在1,0)(xf)()(xfxfx 曲線曲線)(xfy 與直線與直線1x及坐標(biāo)軸所圍圖形及坐標(biāo)軸所圍圖形(1) 求函數(shù)求函數(shù); )(xf(2) a 為何值時(shí)為何值時(shí), 所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體軸一周所

7、得旋轉(zhuǎn)體解解: (1)時(shí)，當(dāng)0 x由方程得由方程得axxfxfx23)()(2 axxf23)( ,223xa 面積為面積為 2 ,體積最小體積最小 ? 即即xcxaxf 223)(故得故得又又 10d)(2xxf xxcxad23210 22ca ac 4xaxaxf)4(23)(2 (2) 旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體體積vxxfd)(1021610132aa,01513av令5a得又又v 5a,0155 a為唯一極小點(diǎn)為唯一極小點(diǎn),因此因此5a時(shí)時(shí) v 取最小值取最小值 .xoy1xoy121)( )( 2 )( 2 )( )(1.1112dcbadxx發(fā)發(fā)散散 ca訓(xùn)練題訓(xùn)練題cd5 5、下列積分中，使用變換正確的是、下列積分中，使用變換正確的是（） （a a）,sin103 xdx令令 txarctan ； （b b） 30321dxxx，令，令 txsin ； （c c） 21221)1ln(dxxxx，令，令 ux 21； （d d） 1121dxx，令，令31tx . . 2)()()( )()()(