1、第二章第二章 場論場論第二章第二章 場論場論1 場場3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度2 數量場的方向導數和梯度數量場的方向導數和梯度4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度5 幾種重要的矢量場幾種重要的矢量場第二章第二章 場論場論1 場場一、概念一、概念如果在某一空間區域內的每一點，都對應著某個物理量的一個如果在某一空間區域內的每一點，都對應著某個物理量的一個確定的值，則稱在此區域內確定了該物理量的一個確定的值，則稱在此區域內確定了該物理量的一個場場。如在教。如在教室中溫度的分布確定了一個溫度場，在空間電位的分布確定了室中溫度的分布確定了一個溫度場，在空間電位的分布確定了一個電位場。如

2、果這物理量是數量一個電位場。如果這物理量是數量, ,就稱這個場為就稱這個場為數量場數量場; ;如果如果是矢量是矢量, ,就稱這個場為就稱這個場為矢量場矢量場。若該物理量與時間無關，則該場。若該物理量與時間無關，則該場稱為稱為穩定場穩定場( (靜態場靜態場) )； 若該物理量與時間若該物理量與時間有關，則該場稱為有關，則該場稱為不不穩定場穩定場( (時變場時變場) )。 第二章第二章 場論場論1 場場二、數量場的等值面二、數量場的等值面如果數量場確定了如果數量場確定了, ,則場中各點處的場點值則場中各點處的場點值 就確定了就確定了, ,對于靜對于靜態場態場, ,它是只是空間坐標的函數它是只是空間

3、坐標的函數. . u),(zyxuu )2() 1(5),(222zyxxyzzyxu例如例如, ,在直角坐標系下在直角坐標系下, ,如溫度場如溫度場, ,電位場電位場, ,高度場等高度場等. .第二章第二章 場論場論1 場場等值面等值面 數量場中量值相等的點構成的面數量場中量值相等的點構成的面. . 為常數）cczyxu(),(等值面研究的意義等值面研究的意義: :數量場中所發生的物理過程在不同的等值面數量場中所發生的物理過程在不同的等值面上是不同的上是不同的. .1cu 2cu 3cu 第二章第二章 場論場論1 場場例例1 1 求數量場求數量場 通過點通過點 的等值面方程。的等值面方程。z

4、yx2)() 1 , 0 , 1 (m解解: : 點點m m的坐標是的坐標是 , ,則該點的數量場值為則該點的數量場值為 1, 0, 1000zyx0)(0200zyx. .其等值面方程為其等值面方程為: : 0)(2zyx或或 2)(yxz第二章第二章 場論場論1 場場三、矢量場的矢量線三、矢量場的矢量線如果矢量場確定了如果矢量場確定了, ,則場中各點處的矢量則場中各點處的矢量 就確定了就確定了, ,對于靜態對于靜態場場, ,它是只是空間坐標的函數它是只是空間坐標的函數. . a),(zyxaa或或kzyxajzyxaizyxaazyx),(),(),(kzyj yxixyzyxa222),

5、(例如例如, ,在直角坐標系下在直角坐標系下, ,如力場如力場, ,速度場等速度場等. .第二章第二章 場論場論1 場場矢量線矢量線 在曲線上每一點處在曲線上每一點處, ,曲線都和對應該點的矢量曲線都和對應該點的矢量 相切相切. . 矢量線研究的意義矢量線研究的意義: : 能夠了解矢量場中各點矢量方向以及整個能夠了解矢量場中各點矢量方向以及整個矢量場的分布矢量場的分布. .a如如: :靜電場中的電力線、磁場中的磁力線等等。靜電場中的電力線、磁場中的磁力線等等。+ibx x第二章第二章 場論場論1 場場討論討論（在（在m m處與矢量線相切的矢量）處與矢量線相切的矢量）矢量線的方程矢量線的方程),

6、(zyxm設設 為矢量線上任意一點，其矢徑為為矢量線上任意一點，其矢徑為),(zyxmkzj yi xr則微分則微分kdzjdyidxrd與在與在m m處的場矢量處的場矢量 共線。共線。 kajaiaazyx因此有：因此有： zyxadzadyadx矢量線的微分方程矢量線的微分方程0r第二章第二章 場論場論1 場場例例2 2 求矢量場求矢量場 的矢量線方程。的矢量線方程。解解: : 矢量場滿足的微分方程為矢量場滿足的微分方程為kzyj yxixya222zyxadzadyadxzydzyxdyxydx222zydzxydxyxdyxydx22222221cyxxcz從而有從而有 解之即得矢量方

7、程解之即得矢量方程 c c1 1和和c c2 2是積分常數。是積分常數。 第二章第二章 場論場論1 場場例例3 3 求矢量場求矢量場解解: : 矢量場滿足的微分方程為矢量場滿足的微分方程為kyxjyzixza)(22通過點通過點 的矢量線方程。的矢量線方程。 ) 1 , 1, 2( m)(22yxdzyzdyxzdx由由yzdyxzdxxcy1由由)(22yxdzyzdy2222czyx第二章第二章 場論場論1 場場) 1 , 1, 2( mxcy12222czyx211c62c所以過點所以過點 的矢量線方程為的矢量線方程為: :) 1 , 1, 2( mxy216222zyx第二章第二章 場

8、論場論2 數量場的方向導數和梯度數量場的方向導數和梯度uuu,一、方向導數一、方向導數 考慮標量場中兩個等值面考慮標量場中兩個等值面 定義數量函數定義數量函數 沿給定方向沿給定方向 的變化率的變化率),(zyxuluuum0ml000000)()(limlimmmmmmlummmumummuuu為數量場函數為數量場函數 在點在點 處沿處沿 方向的方向的方方向導數向導數.其大小與方向其大小與方向 有關有關)(mu0mll20度度10度度第二章第二章 場論場論2 數量場的方向導數和梯度數量場的方向導數和梯度cos,cos,cos在直角坐標系中在直角坐標系中,方向導數有如下計算公式方向導數有如下計算

9、公式:如果函數如果函數 在點在點 處可微處可微; 為為 方向的方向余弦方向的方向余弦,則函數則函數 在點在點 處沿處沿 方向的方向導數為方向的方向導數為: ),(zyxu),(0000zyxmlu0mlcoscoscoszuyuxulu其中其中 是是在點在點 處的處的偏導數偏導數. zuyuxu,0mxlzlylxyzlolllllllzyxcos,cos,cos第二章第二章 場論場論例例4 4 求函數求函數 在點在點 處沿處沿 方向的方向導數方向的方向導數. .解解: :222zyxu 的方向余弦為的方向余弦為: :) 1 , 0 , 1 (mkjil22 222222222,zyxzzuz

10、yxyyuzyxxxul32cos,32cos,31cos則則323231222222222zyxzzyxyzyxxlucoscoscoszuyuxulu21mlu2 數量場的方向導數和梯度數量場的方向導數和梯度第二章第二章 場論場論2 數量場的方向導數和梯度數量場的方向導數和梯度l二、梯度二、梯度coscoscoszuyuxulukjilcoscoscos0kzujyuixug),cos(00lgglglu當當 ,即即 方向與方向與 方向一致方向一致.1),cos(0lggglumax結論結論: 矢量矢量 的方向就是數量函數的方向就是數量函數 變化率最大的方向變化率最大的方向.g)(mu 矢

11、量矢量 的模正好是這個最大變化率的數值的模正好是這個最大變化率的數值.g1lu2lu3lu第二章第二章 場論場論2 數量場的方向導數和梯度數量場的方向導數和梯度定義梯度定義梯度g數量場數量場 在在m點的梯度是一個點的梯度是一個矢量矢量)(mu大小大小:最大方向導數最大方向導數方向方向:最大方向導數所在最大方向導數所在的方向的方向(即即 的方向的方向)gggradu在直角坐標系里有在直角坐標系里有:kzujyuixuggradu引進哈密頓引進哈密頓矢量矢量微分微分算子算子:kzjyixkzujyuixuugradu第二章第二章 場論場論2 數量場的方向導數和梯度數量場的方向導數和梯度梯度的性質梯

12、度的性質(1) 方向導數等于梯度在該方向上的投影方向導數等于梯度在該方向上的投影.nungradu0),cos(00lgglglu(2) 梯度的方向是沿等值面法線的方向梯度的方向是沿等值面法線的方向,且指向函數且指向函數 增大的增大的 一方一方.)(mu20度度10度度第二章第二章 場論場論2 數量場的方向導數和梯度數量場的方向導數和梯度梯度運算的基本公式梯度運算的基本公式為常數）ccgradc(00) 1為常數）cuccucgraducugrad()()2vuvugradvgraduvugrad)()() 3uvvuuvvgraduugradvuvgrad)()()4)(1)()(1)()5

13、22vuuvvvuugradvvgraduvvugraduufufgraduufugradf)()()()()6vvfuufvufgradvvfgraduufvugradf),(),()7第二章第二章 場論場論例例5 5 求數量場求數量場 在點在點 處的梯度及在矢量處的梯度及在矢量 方向的方向導數方向的方向導數. .解解: :32yzxyu) 1 , 1, 2( mkjil222 數量場的方向導數和梯度數量場的方向導數和梯度kyzjzxyiykzujyuixuu2323)2(kjium33 kjilll313232031)31() 3(32) 3(3210lulum第二章第二章 場論場論例例6

14、 6 設有位于坐標原點的點電荷設有位于坐標原點的點電荷 , ,由電學知道由電學知道, ,在其周圍空在其周圍空間的任一點間的任一點 處所產生的電位為處所產生的電位為: :q),(zyxm2 數量場的方向導數和梯度數量場的方向導數和梯度rq4其中其中 試求電位試求電位 的梯度的梯度. .,rrk zj yi xr)()()(4)(414421222212222122221222kzzyxjyzyxixzyxqzyxqrqrq)()()(4232222322223222kzyxzjzyxyizyxxq第二章第二章 場論場論2 數量場的方向導數和梯度數量場的方向導數和梯度)(43222zyxk zj

15、yi xq34rrq由于電場強度由于電場強度34 rrqe所以所以e結論結論: :電場中的電場強度等于電位的負梯度電場中的電場強度等于電位的負梯度. .第二章第二章 場論場論3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度在描繪矢量場的特性時在描繪矢量場的特性時, , 矢量場穿過一個曲面的矢量場穿過一個曲面的通量通量是一個很是一個很有用的概念。有用的概念。 在矢量分析中在矢量分析中, , 將曲面的一個面元用矢量將曲面的一個面元用矢量 來來表示表示, , 其方向取為面元的法線方向其方向取為面元的法線方向, , 其大小為其大小為 , , 即即 dsnsd0 是面元的法線方向單位矢量。是面元的法線方向單位矢

16、量。 (1)(1)開曲面上的面元開曲面上的面元: :右手螺旋法則。右手螺旋法則。(2)(2)封封閉曲面上的面元閉曲面上的面元: : 封閉面的外法線方向。封閉面的外法線方向。 0nnsddssdasn第二章第二章 場論場論3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度ssdsnasda0如果如果 是一個封閉面是一個封閉面, , 則則 ssda一、一、通量通量 可以根據凈通量的大小判斷閉合面中源的性質可以根據凈通量的大小判斷閉合面中源的性質: :定義矢量定義矢量 沿有向曲面沿有向曲面 的面積分的面積分as為矢量為矢量 穿過有向曲面穿過有向曲面 的的通量通量。assdasns = = 0 0 ( (無源無

17、源) ) 0 0 0 ( (有正源有正源) )第二章第二章 場論場論3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度例例7 7 在點電荷在點電荷 所產生的電場中所產生的電場中, ,任何一點任何一點 處的電位移矢處的電位移矢量為量為qm024rrqd其中其中 是點電荷是點電荷 到點到點 的距離的距離, , 是從點電荷是從點電荷 指向點指向點 的單位矢量的單位矢量. .設設 為以點電荷為中心為以點電荷為中心, , 為半徑的球面為半徑的球面, ,求從內求從內穿出穿出 的電通量的電通量 . .rqm0rqmsrse解解qrrqdsrqdsnrrqsddssse2220024444s0rqmn第二章第二章 場論

18、場論3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度二、二、散度散度vsdaadivsv0lim如果包圍點如果包圍點p p的閉合面的閉合面 所圍區域所圍區域 以任意方式縮小為點以任意方式縮小為點p p時，時，通量與體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場通量與體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場 在在p p點的點的散散度度。即。即矢量矢量 的散度是的散度是標量標量, , 它是它是 通過某點處單位體積的通量通過某點處單位體積的通量( (即即通通量體密度量體密度) )。它反映。它反映 在該點的通量源強度。在該點的通量源強度。azayaxaadivzyx直角坐標系直角坐標系總總 結結svaaspaaav第二

19、章第二章 場論場論3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度zayaxaakajaizkyjxiazyxzyx)(zayaxaavsdaadivzyxsv0lim則：則： 矢量的散度是一個標量矢量的散度是一個標量, ,是空間坐標點的函數是空間坐標點的函數. .散度的物理意義散度的物理意義: : 散度代表矢量場的通量源的分布特性散度代表矢量場的通量源的分布特性. .第二章第二章 場論場論3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度（無源）0 a（正源）0a（負源）0a在矢量場中在矢量場中, ,若若 , ,稱之為稱之為有源場有源場, , 稱為稱為( (通量通量) )源密度源密度; ;若矢量場中處處若矢量

20、場中處處 , ,稱之為稱之為無源場無源場. .0a0 a第二章第二章 場論場論3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度例例8 8 點電荷點電荷 在離其在離其 處產生的電通量密度為處產生的電通量密度為 求任意點處電通量密度的散度求任意點處電通量密度的散度 。解解kzyxqzjzyxqyizyxqxkdjdidzyxkzj yi xqdzyx2/32222/32222/32222/3222)(4)(4)(4)(4qr212223)(,4zyxrrkzj yi xrrrqdd第二章第二章 場論場論3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度5222/522222/32222/322234)(3)(14)

21、(4rxrqzyxxzyxqzyxxxqxdx5225223434rzrqzdryrqydzy第二章第二章 場論場論3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度0)(33452222rzyxrqzdydxddzyx可見，除點電荷所在源點（可見，除點電荷所在源點（r=0r=0）外，空間各點的電通量密度散）外，空間各點的電通量密度散度均為零。度均為零。第二章第二章 場論場論3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度散度運算的基本公式散度運算的基本公式: :acaccacdivacdiv)()(為常數）bababdivadivbadiv)()(auauauagraduaudivaudiv)()(第二章第二

22、章 場論場論3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度例例9 9 已知已知 求求,kzj yi xrexyz解解 因為因為)( rrrr)(3zzyyxxr)(kxyjxziyzekzejyeixexyzxyzxyzxyz由于由于則則)1 (333)(xyzexyzeerxyzxyzxyz第二章第二章 場論場論3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度三、散度定理三、散度定理 既然矢量的散度代表的是其通量的體密度既然矢量的散度代表的是其通量的體密度, , 因此直觀地可因此直觀地可知知, , 矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉面矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉面的總通量

23、的總通量, , 即即 vssdadva高斯定理高斯定理 該公式表明了區域該公式表明了區域 中場中場 與邊界與邊界 上的場上的場 之間的關系。之間的關系。 矢量函數的面積分與體積分的互換。矢量函數的面積分與體積分的互換?？偪?結結vsvaas第二章第二章 場論場論3 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度例例1010 球面球面s s上任意點的位置矢量為上任意點的位置矢量為 kzj yi xr試利用散度定理計算試利用散度定理計算 ssdr解解 由散度定理得由散度定理得3zzyyxxrvsvrrdvdvrsdr3343433svdvrsdr由于由于所以所以第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢

24、量場的環量及旋度一、一、環量環量 矢量矢量 沿某封閉有向曲線沿某封閉有向曲線 的線積分的線積分, , 定義為定義為 沿該曲線的沿該曲線的環量環量( (或旋渦量或旋渦量), ), 記為記為 ll da 環量的計算環量的計算環量表示繞線旋轉趨勢的大小。環量表示繞線旋轉趨勢的大小。laala第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度水流沿平行于水管軸線方向流動水流沿平行于水管軸線方向流動 =0=0，無渦旋運動，無渦旋運動流體做渦旋運動流體做渦旋運動0 0，有產生渦旋的源，有產生渦旋的源例：例：流速場流速場流速場流速場第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度二

25、、二、環量面密度環量面密度 若若 沿著自身縮向沿著自身縮向 點時點時, ,若若ssl damslmsnlimlimsmnsml極限存在極限存在, ,則稱矢量場則稱矢量場 在點在點 處沿方向處沿方向 的的環量面密度環量面密度. .amn這個極限的意義就是環量的面密度這個極限的意義就是環量的面密度, , 或稱環量強度。或稱環量強度。 由于面元由于面元是有方向的是有方向的, , 它與封閉曲線它與封閉曲線 的繞行方向成右手螺旋關系的繞行方向成右手螺旋關系, , 因因此在給定點處此在給定點處, , 上述極限值對于不同的面元是不同的。上述極限值對于不同的面元是不同的。 為此為此, , 引入如下定義引入如下

26、定義, , 稱為稱為旋度旋度( (curlcurl或或rotationrotation):): l1s2s3s第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度三、三、旋度旋度 nsmlmax0max0limsl danarotls可見可見, , 矢量矢量a a的旋度是一個矢量的旋度是一個矢量, , 其大小是矢量其大小是矢量 在給定點處的在給定點處的最大環量面密度最大環量面密度, , 其方向就是當其方向就是當面元的取向使環量面密度最大面元的取向使環量面密度最大時時, , 該面元矢量的方向該面元矢量的方向 。 它描述它描述 在該點處的旋渦源強度。在該點處的旋渦源強度。nyaxakxa

27、zajzayaiarotxyzxyz直角坐標系直角坐標系aa第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度矢量矢量 的旋度可表示為哈密頓算子與的旋度可表示為哈密頓算子與 的矢量積的矢量積, , 即即 aarot 計算計算 時時, , 先按矢量積規則展開先按矢量積規則展開, , 然后再作微分運算然后再作微分運算, ,得得 yaxakxazajzayaiakajaizkyjxiaxyzxyzzyx)(aaa第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度zyxaaazyxkjia即即 第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度yaxakxazajz

28、ayaiaaazyxkjiasl danarotxyzxyzzyxlsmax0max0lim旋度旋度第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度旋度的物理意義旋度的物理意義 矢量的旋度仍為矢量的旋度仍為矢量矢量，是空間坐標點的函數。，是空間坐標點的函數。 某點的某點的旋度旋度的的大小大小是該點是該點環量面密度的最大值環量面密度的最大值。 在矢量場中，若在矢量場中，若 , ,稱之為稱之為旋度場旋度場( (或渦旋場或渦旋場) )， 稱為稱為旋度源旋度源( (或渦旋源或渦旋源) )； 某點的某點的旋度旋度的的方向方向是該點是該點最大環量面密度面元的方向最大環量面密度面元的方向。 若

29、矢量場處處若矢量場處處 ，稱之為，稱之為無無旋場旋場。0a0a第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度 例例 11 11 求矢量場求矢量場 的旋度的旋度. .kexj yzizxyay2222sin解解: :kxyzjezyxiyzexkzxyyyzxjexxzxyzizzexyexyzzxyzyxkjiaaazyxkjiayyyyyyzyx2222222222222222)(2)sin2()()sin()()()sin()(sin第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度例例1212 自由空間中的點電荷自由空間中的點電荷 所產生的電場強度為所產生的電

30、場強度為 2/3222030)(44zyxzky jxiqrrqe求任意點處求任意點處( )( )電場強度的旋度電場強度的旋度 。 q0re第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度3333330333044rxyryxkrzxrxzjryzrzyiqrzryrxzyxkjiqe解解: :第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度可見可見, , 向分量為零向分量為零; ; 同樣同樣, , 向和向和 向分量也都為零。向分量也都為零。 故故 ijk0e這說明點電荷產生的電場是這說明點電荷產生的電場是無旋場無旋場。 因因535333ryzryzryzrzy第二

31、章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度 例例 13 13 設矢量場設矢量場 , ,證明證明kyxjxzizya222222所以所以: :0aakyxzjxzyizyxkzyyxzxjyxxzyzixzzyxyyxxzzyzyxkjia)(2)(2)(2)()()()()()(2222222222222222222220)(2)(2)(2)(2222222222222yxxzzyzyxyxzyxxzzyxzyzyxaa0aa第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度 旋度運算的基本公式旋度運算的基本公式: : acaccacrotacrot)()(為常數）bababrotarotbarot)()(auauauuagraduaurotaurot)()(為數性函數）baabbabrotaarotbbadiv)()(0)(0)(ugradurot0)(0)(aarotdiv 梯度的旋度恒等于零梯度的旋度恒等于零 旋度的散度恒等于零旋度的散度恒等于零第二章第二章 場論場論4 矢量場的環量及旋度矢量場的環量及旋度 例例 14 14 證明矢量場證明矢量場 是無旋場是無旋場. . 證證: :u