1、l 集合集合 一一 、集合的概念、集合的概念 在數學中，我們把在數學中，我們把具有某種特定性質的事物所組成的具有某種特定性質的事物所組成的總體稱為一個集合總體稱為一個集合( (或簡稱集或簡稱集) )。 組成這個集合的每一個對象稱為該集合的組成這個集合的每一個對象稱為該集合的元素元素。 若若 a 是集合是集合a 的元素的元素, ,就說就說a 屬于屬于a, , 記作記作 ; ; aa 若若 a 不不是集合是集合a 的元素的元素, ,就說就說a 不不屬于屬于a, ,記作記作 ; ; aa 不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集，記作，記作 . . 一個集合，若其元素的個數是有限的，則稱

2、作一個集合，若其元素的個數是有限的，則稱作有限集有限集，否則就稱作否則就稱作無限集無限集。 習慣上，全體自然數的集合記作習慣上，全體自然數的集合記作 n，全整數的集合記作全整數的集合記作 z，全體有理數的集合記作全體有理數的集合記作 q，全體實數的集合記作全體實數的集合記作 r，全體復數的集合記作全體復數的集合記作 c . . 元素為數的集合稱為數集。元素為數的集合稱為數集。 如果集合如果集合a 的每一個元素都是集合的每一個元素都是集合b 的元素，則稱的元素，則稱a 是是b 的的子集子集，或者稱，或者稱a 包含于包含于b，或，或b 包含包含a，記作記作 或或 . .規定空集是任何集合的子集。規

3、定空集是任何集合的子集。 ba ab 如果集合如果集合a 與集合與集合b 互為子集，即互為子集，即 且且 ,就稱就稱a 與與b 相等相等，記作，記作 或或 . . ba ab ba ab 二、集合的運算二、集合的運算 集合有三種基本運算，即并、交、差。集合有三種基本運算，即并、交、差。設設 a、b 是兩個集合，則集合是兩個集合，則集合|baaaaba 或或|baaaaba 且且|baaaaba 但但分別稱為分別稱為 a、b 的并集、交集、差集。的并集、交集、差集。 有時我們把研究某一問題時所考慮的對象的全體叫有時我們把研究某一問題時所考慮的對象的全體叫作作全集全集，并用，并用 i 表示，并把差

4、集表示，并把差集 特別稱為特別稱為 a 的的余集余集或或補集補集，記作，記作 . .ai ca集合的并、交、余運算滿足如下運算律：集合的并、交、余運算滿足如下運算律：交換律交換律結合律結合律 分配律分配律 對偶律對偶律 ;,abbaabba , )()(cbacba , )()()(cabacba ; )()()(cabacba .)( ,)(ccccccbabababa ; )()(cbacba 以上這些運算律都容易根據集合相等的定義驗證。以上這些運算律都容易根據集合相等的定義驗證。 在兩個集合之間還可以定義在兩個集合之間還可以定義直積直積。設。設 a、b 是任意是任意兩個集合，則兩個集合，

5、則 a 與與 b 的直積，記作的直積，記作 ，定義為如，定義為如下的由有序對下的由有序對(a , b)組成的集合：組成的集合：. ba . ,| ),( bbaababa 三、區間和鄰域三、區間和鄰域 設設 a 和和 b 都是實數且都是實數且 a b，實數集，實數集 稱為稱為開區間開區間并記作并記作(a , b)，即，即|bxax . |),(bxaxba a 和和 b 稱為區間的端點，它們均不屬于稱為區間的端點，它們均不屬于(a , b) . . 類似地可定義以類似地可定義以 a 、b 為端點的閉區間、半開區間等。為端點的閉區間、半開區間等。它們的記號和定義如下所列：它們的記號和定義如下所列

6、： 閉區間閉區間, |,bxaxba 半開區間半開區間, |),bxaxba . |,(bxaxba 以上這些區間都稱為以上這些區間都稱為有限區間有限區間。 有限區間有限區間都可以用數軸上長度有限的線段來表示，都可以用數軸上長度有限的線段來表示，如圖如圖1(a)1(a)、(b)(b)分別表示閉區間分別表示閉區間a , b與開區間與開區間(a , b). . 此外還有此外還有無限區間無限區間, 引進記號引進記號 ( (讀作正無窮大讀作正無窮大) )及及 ( (讀作負無窮大讀作負無窮大) )后，則可用類似的記號表示無限區后，則可用類似的記號表示無限區間，例如間，例如 , |),( , |),bxxbaxxa . |),(rxx 前兩個無限區間在數軸上的表示如圖前兩個無限區間在數軸上的表示如圖1(c c)、(d d)所示。所示。 鄰域鄰域是一種常用的集合。是一種常用的集合。 設設 a、是實數且是實數且 ，則定義點，則定義點 a 的的鄰域，鄰域，記作記作 ，為下列集合：，為下列集合： 0 ),( au, ),( axxau或寫作或寫作, ),( axaxau 可見可見 就是開區間就是開區間 , , 點點 a 叫做鄰叫做鄰域的中心域的中心, ,叫做鄰域的半徑。叫做鄰域的半徑。 ),( au),( aa 如果把鄰域的中心去掉，所得到的集合稱為點如果把鄰域的中心去掉，所得