1、第四章向量組的線性相關性§4.1向量組及其線性組合教學目的：使學生掌握向量的定義和線性組合、線性表示.教學重點 ： 線性組合、線性表示 .教學難點 ： 如何判斷一個向量可以由一組向量線性表示.教學方法 ： 講授法 .教學過程：一、 n 維行向量1、向量： n 個數 a1 , a2 , an 構成的有序數組 , 記作(a1 , a2 , ,a n ) , 稱為 n維行向量 .a i 稱為向量的第 i 個分量aiR 稱為實向量 （下面主要討論實向量）aiC 稱為復向量零向量：( 0,0, 0 )負向量： () (a1 ,a2 ,an )2、線性運算：(a1 , a 2 , an ) ,(

2、b1 ,b2 , ,bn )相等：若 aibi ( i1,2, n) ,稱加法：(a1b1 ,a2b2 , anbn )數乘： k( ka1 , ka 2 , kan )減法：() ( a1b1 ,a2b2 , anbn )3、算律：(a1 ,a 2 , an ) ,(b1 ,b2 , bn ) ,( c1 ,c2 , , cn )(1)(5)1(2) ()()(6)k(l)(k l )(3)(7)k()kk(4)()(8)(kl )kl50a14、列向量： n 個數 a1 ,a 2 , an 構成的有序數組 , 記作a 2 ,an二、線性組合以及線性表示：對n 維向量 及 1 ,m , 若有

3、數組 k1 , km 使得k1 1km m , 稱 為 1 , ,m 的線 性組 合 , 或 可由1 , , m 線性表示 .1135例 110 ,21 ,31 , 431111判斷4 可否由1 ,2 ,3 線性表示 ?解設 4k11k 22k3 3 ，比較兩端的對應分量可得113k15k10011k 23,求得一組解為k22111k 31k31于是有4012213 , 即4 可由1 ,2 ,3 線性表示 .k12注取另一組解 k 23時,有 42 13 203 .k 30小結： 1、 n 維行向量；2、線性組合以及線性表示.作業：習題四3 ，4.51§4.2向量組的線性相關性教學目

4、的 ：使學生掌握向量組的線性相關性.教學重點 ：如何證明一組向量線性相關或無關.教學難點 ：證明一組向量線性無關.教學方法 ：講授法和學生自己練習相結合.教學過程：一、線性相關與線性無關線性相關：對 n 維向量組1 ,m ,若有數組 k1 , k m 不全為 0,使得k11kmm稱向量組1 ,m 線性相關 , 否則稱為線性無關線性無關：對 n 維向量組1 ,m ,僅當數組 k1 , k m 全為 0 時, 才有k11kmm稱向量組1 ,m 線性無關 , 否則稱為線性相關注對于單個向量：若,則線性相關；若,則線性無關例 1判斷例 1 中向量組1 ,2 ,3 ,4 的線性相關性 .解設 k1 1k

5、22k33k4 4, 比較兩端的對應分量可得1135k10k 201130k 311110k 4即 Ax0 因為未知量的個數是4, 而 rankA4 , 所以 Ax0有非零解 , 由定義知1 ,2 ,3 ,4 線性相關 .例 2已知向量組1 ,2 , 3 線性無關 , 證明向量組112,223,33152線性無關證 設 k1 1k22k3 3, 則有(k1k3 ) 1( k1k 2 ) 2(k2k 3 ) 3因為 1,2 ,3 線性無關 ,所以k1k 3010 1k10k1k 20, 即 110k20k2k 30011k30101系數行列式 1102 0 , 該齊次方程組只有零解011故 1,

6、 2, 3線性無關例 3 判斷向量組e1(1,0, 0,0) ,e2(0,1, 0,0) , ,en(0, 0, 0,1) 的線性相關性.解設 k1 e1k2e2knen, 則有( k1 ,k 2 , , k n )只有 k10,k 20, , kn0故 e1 ,e2 , , en 線性無關二、判定定理定理 1向量組1 ,2 ,m (m2) 線性相關其中至少有一個向量可由其余 m1 個向量線性表示 .證 必要性已知1 ,2 ,m 線性相關 ,則存在 k1 , k 2 , km 不全為零 ,使得k1 1k22k mm不妨設 k10, 則有1(k2 )2(km )m .k1k1充分性不妨設1k22

7、k mm ,則有53(1)1k22kmm因為 ( 1) , k2 , , km 不全為零 , 所以 1 ,2 ,m 線性相關 .定理 2若向量組 1, 2,m 線性無關 ,1 ,2 , m ,線性相關，則可由1 , 2 , , m 線性表示 , 且表示式唯一 .證 因為1 , m , 線性相關 , 所以存在數組 k1 , k m , k 不全為零 ,使得k1 1km mk若 k0, 則有 k1 1kmmk10 , , km0矛盾!故 k0, 從而有(k1 )1(km )m kk下面證明表示式唯一：若k1 1km m ,l1 1l m m則有(k1 l1 ) 1( kml m ) m因為1 ,2

8、 ,m 線性無關 ,所以k1l10, kml m0k1l 1 , kml m 即的表示式唯一.定理 31 ,r 線性相關1 , r ,r1 , m (mr ) 線性相關 .證 因為1 ,r 線性相關 , 所以存在數組k1 , k r 不全為零 , 使得k1 1kr rk1 1k rr0 r 10 m數組 k1 , , kr ,0,0 不全為零 , 故 1, r ,r 1 , m 線性相關推論 1含零向量的向量組線性相關 .推論 2向量組線性無關任意的部分組線性無關 .定理 4設 i(a i1 ,ai 2 , ain ) , i1,2, m54A1a11a12a1 n2a21a 22a2 nma

9、m 1am 2amn(1)1 ,2 ,m 線性相關rank Am ；(2)1 ,2 ,m 線性無關rank Am 證 設k1 1k2 2k m m比較等式兩端向量的對應分量可得a11a21am1k10a12a22a m2k20a1 na2 namnkm0即AT x0由定理 3.5 可得：1 ,2 ,m 線性相關AT x0 有非零解rank ATmrank Am推論 1在定理 4 中, 當 mn 時, 有(1)1 ,2 ,n 線性相關detA0 ；(2)1 ,2 ,n 線性無關detA0 推論 2在定理 4 中, 當 mn 時, 有(1)1 ,2 ,m 線性相關A 中所有的 m 階子式 D m0

10、 ；(2)1 ,2 ,m 線性無關A 中至少有一個 m 階子式 D m0 推論 3在定理 4 中, 當 mn 時, 必有1 ,2 ,m 線性相關因為 rank Anm , 由定理 4(1)即得推論 4向量組 T1 ：i( ai 1 , ai 2 ,air ) , i1,2, m向量組 T2 ：i(ai 1 , ai 2 , a ir , ai ,r 1 , ain ) , i1,2,m55若T1 線性無關 , 則T2 線性無關1a11a12a1 r證2a21a22a2 rAm rmam1am2amr1a11a1 ra1,r1a1n2a21a2 ra2 ,r 1a 2nBm nmam1amram

11、 ,r1amnT1 線性無關rank AmA 是 B 的子矩陣rank Brank Amrank BmT2 線性無關1定理 5 劃分 Am n2n , 則有12m(1)A 中某個 Dr0A 中“ D r 所在的” r 個行向量線性無關；A 中“ Dr 所在的” r 個列向量線性無關 .(2)A 中所有 Dr0A 中任意的 r 個行向量線性相關；A 中任意的 r 個列向量線性相關 .證 只證“行的情形”：i1(1)設 Dr 位于 A 的 i1 , i r 行,作矩陣 Br n, 則有irrank Bri1 , i r線性無關i1(2)任取 A 中 r 個行 , 設為 i1 , i r 行,作矩陣

12、 Br n,i r56則有 rank B ri 1 , , i r 線性相關注 稱1 , 2 , , m 為 A 的行向量組 , 1 , 2 , n 為 A 的列向量組 .小結： 1、向量組的 線性相關與線性無關；2、線性相關的判定；3、線性相關的性質 .作業：習題四 5， 6.57§4.3向量組的秩教學目的 ：使學生掌握最大無關組和向量組的秩.教學重點 ：會求向量組的秩和最大無關組.教學難點 ：會求最大無關組并把不是最大無關組的向量用最大無關組線性表示.教學方法 ：講授法 .教學過程：一、定義向量組的秩：設向量組為T , 若(1) 在 T 中有 r 個向量1 , 2 ,r 線性無關

13、；(2) 在 T 中有 r 1 個向量線性相關（如果有 r 1 個向量的話）稱 1 , 2 , , r 為向量組為 T 的一個最大線性無關組 ,稱 r 為向量組 T 的秩 , 記作：秩 (T )r 注 (1) 向量組中的向量都是零向量時, 其秩為 0(2) 秩 (T )r 時 , T 中任意 r 個線性無關的向量都是T 的一個最大無關組例如, 11012, 2,3, 4的秩為 201121 ,2 線性無關1 ,2是一個最大無關組1 ,3 線性無關1 ,3是一個最大無關組二、定理定理設 rank Am nr1 , 則(1) A 的行向量組 （列向量組） 的秩為 r ；(2)A 中某個 Dr0A

14、中 Dr 所在的 r 個行向量 （列向量） 是A 的行向量組 （列向量組） 的最大無關組58證 只證“行的情形”：r a nAkrA 中某個 Dr0 , 而 A 中所有 D r 1 0定理 5A 中 Dr 所在的 r個行向量線性無關A 中任意的 r 1個行向量線性相關由定義： A 的行向量組的秩為 r , 且 A 中 Dr 所在的 r 個行向量是A 的向量組的最大無關組 .1322例1向量組T： 10, 22, 31, 432015求 T 的一個最大無關組1322解構造矩陣A123402132015求得 rank A 2秩(T) 213矩陣 A 中位于 1,2 行 1,2 列的二階子式2 00

15、2故 1 , 2 是 T 的一個最大無關組注 T為行向量組時 , 可以按行構造矩陣 A 定理Am n , Bm n行(1)若 AB ,則“ A 的 c1 , ck 列”線性相關 （線性無關）“ B 的 c1 , ck 列”線性相關 （線性無關） ；列(2)若 AB ,則“ A 的 r1 , rk 行”線性相關 （線性無關）“ B 的 r1 ,rk 行”線性相關 （線性無關） .證 (1)劃分 Am n12n , Bm n12n行行由 AB 可得c1ckc1ck59故方程組與方程組同解于是有x10c1ckxk0x10c1ckx k0c1 ,ck線性相關存在 x1 , xk 不全為 0,使得 x1

16、c1x kck0存在 x1 , xk 不全為 0,使得 x1c1xkck0c1 ,ck線性相關同理可證 (2).注 通常習慣于用初等行變換將矩陣A 化為階梯形矩陣 B ,當階梯形矩陣 B 的秩為 r 時,B 的非零行中第一個非零元素所在的r 個列向量是線性無關的 .例如：求例 1 中向量組 T 的一個最大無關組構造矩陣1322A123402132015列13221322列02130213B06390000r a nAk r a nBk2秩(T)2B 的 1,2 列線性無關A 的 1,2 列線性無關1 , 2 是 T 的一個最大無關組1132例 2向量組T： 11,32,612,34511031

17、c2c60求向量組 T 的一個最大無關組解對矩陣 A1234進行初等行變換可得113211321326列0214A151100641231 c 2 c04 c 7 c 611321132列0214列02140070007B000 c 9 c 2000 c 2(1) c 2 ： rankArank B4B 的 1,2,3,4 列線性無關A 的 1,2,3,4 列線性無關故 1, 2 , 3, 4 是T 的一個最大無關組；(2) c2 ： rankArank B3B 的 1,2,3 列線性無關A 的 1,2,3 列線性無關故 1, 2, 3 是T 的一個最大無關組 .注 當1 , 2 ,m 為行向

18、量組時 ,1T , 2T ,mT 為列向量組若矩陣 ATTT12m的列向量組的一個最大無關組T T為 c1 , , cr , 則 c1 , , cr 是 1 , 2 , , m 的一個最大無關組 .2、等價向量組：設向量組 T1:1 ,2 , , r , T2 : 1 , 2 , , s若 i (i 1,2, , r ) 可由 1 , 2 ,s 線性表示 , 稱 T1 可由 T2 線性表示；若T1與 T2 可以互相線性表示 , 稱 T1 與 T2 等價(1) 自反性： T1與 T1 等價(2)對稱性： T1與 T2等價T2 與T1等價(3)傳遞性： T1與 T2等價, T2與 T3等價T1 與

19、T3 等價61定理 8向量組與它的最大無關組等價 .證 設向量組 T 的秩為 r , T 的一個最大無關組為 T1 :1 ,2 , r (1)T1 中的向量都是 T 中的向量T1 可由 T 線性表示；(2)任意T ,當T1 時,可由 T1 線性表示；當T1 時,1 ,2 , , r ,線性相關 , 而 1,2 ,r 線性無關由定理 2 知,可由 T1 線性表示故 T 可由 T1 線性表示因此, T 與 T1等價.推論 向量組的任意兩個最大無關組等價.定理 9 向量組 T1 :1 , 2 ,r , 向量組 T2 :1 ,2 ,s 若 T1 線性無關 , 且 T1 可由 T2 線性表示 , 則 r

20、s證 不妨設i 與j 都是列向量 , 考慮向量組T :1 , 2 ,r ,1 ,2 ,s易見 , 秩 (T )秩 (T1 )r 構造矩陣A1r1s因為 T1 可由 T2 線性表示 , 所以列A 00 1srank As于是可得r秩 (T )rank As推論 1若T1可由 T2線性表示 , 則 秩(T1)秩 (T2)證 設 秩 (T1 )r , 且 T1 的最大無關組為1 ,r ；秩 (T2 )s , 且 T2 的最大無關組為1 ,s , 則有T1 可由 T2 線性表示1 ,r 可由 T2 線性表示621 ,r 可由1 ,s 線性表示r s （定理 9）推論 2 設向量組 T1 與T2等價,

21、則 秩(T1)秩 (T2) 注由“ 秩 (T1 )秩 (T2 ) ”不能推出“ T1 與T2 等價” ！正確的結論是：T1 可由 T2線性表示T1 與T2 等價秩(T1)秩(T2 )T2可由 T1線 性 表 示T1 與T2 等價秩(T1)秩(T2 )例 8設 Am l , Bl n ,則 rank( AB )rank A ,rank( AB ) rank B b1c1證 設 A a ijm l ,B,AB C, 則blcmciai 1b1ail bl ( i1,2, m)即 c1 , cm 可由 b1 , , bl 線性表示 , 故 rankC rank B 根據上述結果可得r a nCkr

22、a n kC(T )r a n kB(T AT )r a n kA(T )r a n Ak小結： 1、最大無關組和向量組的秩；2、等價向量組 .作業：習題四13，14（理解、記憶定理） .63§4.4線性方程組解的結構教學目的 ：使學生掌握利用向量的有關知識討論方程組的解.教學重點 ：會求齊次方程組的基礎解系.教學難點 ：將向量的知識和矩陣、方程組聯系.教學方法 ：講授法 .教學過程：一、復習：a11a12a1nx1Aa21a22a2n, xx2 , bam1am 2amnxn齊次方程組Ax0非齊次方程組Axb( b0 )結論： (1)行,A bCdAxb 與 Cx(2)Ax0 有非

23、零解rank A n (3)Axb 有解rank Arank A (4) 設 rank Ar ,則rank Ar n 時, Ax b 有唯一解；rn 時,Axb 有無窮多解b1b2bmd 同解二、討論齊次方程組Ax0 的基礎解系不妨設 Ax0 的一般解為64x1b1 ,r 1 k1b1 ,r 2 k2b1n kn rx2b2, r1 k1b2,r2 k2b2 nkn rxrbr ,r 1k1br ,r 2 k2brn kn rxr1k1xr2k 2xnkn r( k1 , k2 , , kn rR )k1100依次令k20,1,0,kn r001b1 ,r1b1, r2b1nbr ,r1br

24、,r 2brn可求得11,20, , n r0010001因為 (1)1 ,2 ,nr 線性無關(2)xS ,xk1 1k2 2kn r n r稱為 Ax0 的基礎解系1220例1 設A1342, 求 Ax 0 的一個基礎解系11021024x12 x34 x4行, 同解方程組為解 A01222 x32 x40000x26524x31022依次取, 可求得基礎解系1, 2x4011001三、非齊次方程組Axb 解的結構(1) A(2) A11b ,A2bA(b ,A0A(12 )012S1)b1是 Axb 的解設 Ax0 的一個基礎解系為 1 , 2 , nrAxb 的特解為, 一般解為,則有

25、Sk1 1k2 2kn r n rk1 1k2 2kn r n r ( ki R )12205例 2設 A 1342, b6, 求 Axb的通解110241220510243行解 A b13426012211102400000x132x34x4同解方程組為12x 32x4x 2243Ax0 基礎解系： 1221,2； Axb特解：100010Axb 通解：k11k22(k1 , k2R )例 3 設 rank A3 32 , Axb (b0) 的 3 個解1 , 2 , 3 滿足6623120,131,求 Axb的通解21解 r a nAk2Ax0 的基礎解系中含有 3 21個解向量因為 A(

26、 12 )( 13 )01所以( 12 )( 13 )1是 Ax0 的基礎解系1111又 A2 )0 是 Axb 的特解( 12 ) b( 1221故 Axb 的通解為 xk ( kR ) 例 4 設 rank An nr (rn) ,0 ,1 , ,nr 是 Ax b( b0) 的解 , 證明：10 ,n r0 是 Ax0 的基礎解系0 ,1 ,n r 線性無關證 必要性設數組 k0 , k1 , knr 使得 k0 0k1 1kn rn r0左乘 A,利用 A ib 可得 (k0k1kn r )b 0因為 b0 , 所以 k0k1kn r0k0(k1kn r )由此可得k1 (10 )k

27、nr ( n r0 ) 0因為 10 ,n r0 是 Ax0 的基礎解系 ,所以線性無關 ,從而有k10, , kn r0k00故0,1,nr 線性無關充分性 A(i0 )0i0 是 Ax0 的解向量設數組 k1 , knr 使得 k1 ( 10 )kn r (n r0 )067則(k1kn r ) 0 k1 1kn r n r 0因為 0,1 , ,n r 線性無關 , 所以只有(k1kn r ) 0 , k10, , kn r 0故向量組10 , n r0 線性無關因此 10 ,n r0 是 Ax0 的基礎解系作業：習題四22， 24.68§4.5向量空間教學目的 ：使學生掌握向

28、量空間的定義以及基、維數、坐標教學重點 ：判斷是否為向量空間和求向量的坐標教學難點 ：求過渡矩陣以及同一個向量在不同基下的坐標教學方法 ：講授法教學過程：一、定義是具有某些共同性質的n 維向量的集合若向量空間：設V,1對任意的,V ,有V ；（加法封閉）對任意的V ,kR ,有 kV （數乘封閉）稱集合 V 為向量空間例如： R n xx(1 ,2 , n ), iR是向量空間V 0 xx( 0,2 , n ),iR 是向量空間V1 xx(1,2 ,n ),iR不是向量空間0 (1,2 ,n )( 0,0,0) V1 , 即數乘運算不封閉例 1 給定 n 維向量組1 ,m (m1) ,驗證V