1、回歸直線方程的三種推導方法巴州二中母潤萍回歸直線方程是新課改新增內容之一，在 必修數學3中對兩個具有線性相關關系的變量 利用回歸分析的方法進行了研究，書中直接給 出了回歸直線方程系數的公式，在選修 2-3中 給出了回歸直線方程的截距和斜率的最小二乘 法估計公式的另一種形式的推導方法，根據所 學知識，我總結了 3種推導回歸直線方程的方 法：設x與y是具有線性相關關系的兩個變量， 且相應于樣本的一組觀測值的n個點的坐標分別是： （知y2）,（x3, ya）,L ,（Xn, yj， 設所求的回歸方程為$i bx a，（i 1,2,3,L,n）.顯然，上面的各個偏差的符號 有正、有負，如果將他們相加會

2、相互抵消一部 分，因此他們的和不能代表n個點與回歸直線的 整體上的接近程度，因而采用n個偏差的平方和 Q來表示n個點與相應直線（回歸直線）在整體 上的接近程度，即求出當Q取最小值時的"的值，就求出了回歸方 程.F面給出回歸方程的推導方法一：一、 先證明兩個在變形中用到的公式公式（一）證明:2Xi2X22Xn(Xii 1X)n2Xii 1-2nx其中xx1x2LXn(Xii 1X)2 2(為 x)(X2x) L2nX(Xi X2 L Xn)-2nx(XnX)Xn )-22nx-2nx2 2(xiX2L2Xn )n2Xii 1-2nx(Xii 1X)22nx公式（二）證明:(M% X22

3、 LXi yii 1nXi yi(Xii 1Xnyn)(X1 X2 L(XiX)(yi 1y)x yii 1nx yx)(yiy)(X1x)(y1y)(X2x)(y2y) L(Xnx)(yn y)(Xy1X X2y y2X LXn)y (y1 y2 L門(X1X2 LXn)-Xn y yn x) nx yyn)x nxy(y1 y2 lyn)入nx yi 1nn2X yi 2nxy nxyXi yi nxyi 1i 1(Xi X)(y y) xy nxyi 1i 12na (y bx)n(Xi x)2 b推導：將Q的表達式的各項先展開，再(X x)(yiy)i 1n2(Xi X)i 1(yii

4、 19y)2L l配方合并、變形2 2 2 2Q(y1bx1 a)(y2bx?a)(y3bx3a) L(ynbXna)2n a (y bx)n(X x)2 b(Xi x)(yiy)i 1n(為 X)2i 1(Xii 12x)(yiy)(Xii 1X)2(yii 1y)2L l(y； y； Lyi) 2y1 (bx1a) 2y2(bx2 a)2L L 展;nnnyi 2b x yi 2a yii 1i 1nb2i 12Xin22ab Xi na L Li 1合并同類項2 nanyii 1,2nabnXii 1nnn.2 2b Xii 1nn22b Xi yiyii 1i 1以a b的次數為標準整

5、2 nan_ _ 2 22na(y bx) bXii 1n2bi 1Xinyi y2 L Li 1轉化為平均數-na(ybx)n(y bx)n2bi 1Xinn2 2i 2b1Xiyi i1yiLL配方法na(ybx)2 2 n一2 2一2 2 2ny 2nbxy nb x bxii 1nn22bi1Xiyi i1yiLL 展開方法在上式中，共有四項，后兩項與 a, b無關，為 常數；前兩項是兩個非負數的和，因此要使得 ° 取得最小值，當且僅當前兩項的值都為 0.所以II(xj-x)(yi-y)i = 1_ 一 一b = a =y - bxI“Y (xi - x)2;=1na(ybx

6、)n2 2 b (Xii 1nn N2 Nnx ) 2b ( Xi yi n xy) ( yi ny )L L理nX yi nxy 口L Ln 2 2Xi nxi 1na(ybx)nb2 (xi 1x)n_n_ 22b(Xix)(yiy)(yiy) L L 用公式(一)用公式()、(二)變形得(二)變形上述推導過程是圍繞著待定參數 ab進行的，只 含有X，y的部分是常數或系數，用到的方法有： 配方法，有兩次配方，分別是a的二次三項 式和b的二次三項式；Q =斗=Jys - bx；(y - bx)2 十 n(y - bx - a)2n 形時，用到公式(一)、(二)和整體思想； 用平方的非負性求最

7、小值. 實際計算時，通常是分步計算：先求出 xy,nnnn° 2 2 2再分別計算 / x)(yi y), i1(xi x) 或 i1xiyi nxy, i1x nx 的推導方法二:值，最后就可以計算出ab的值.nn_ 2 p= (xi-x)2-2bg(xi-x)(yi-y) + (yi-y)2»yO" =bXia2 = l-yi_bXi_“Uy i=1i=1nA di - x) (yi - y)丫 Ixj - x)2i=li=ii=(y-bx-a)2 + (Xi-x)2=yyi - bxi - (y - bx)2 + 2y； - bxi - (y - bx) *

8、 ；=i= nitni=l注意到=A ybxi - (y - bx)2 + 2yi - bxi - (y - bx)1-bxi - (y - bx)J * (y - bx) - a = (y - bx - a)i = 1在上式中，后面兩項和a,b無關，前兩項為非負 數，因此，要使 Q達到最小值，當且僅當前兩 文均為b 0，即)nY (xi - x) (y； - y) i = 1ny(xi-x)2若兩邊對b求導得2：=(yibxi-dxi=-2(yi bxt a)xi + (y2 bx2 a)x2 + ? + (yn bi總結：這種方法難想到為什么要這樣處理，并 且計算量很大。還有不足之處是它與必修三給 出的公式形式上還是有所區別，還要對形式進 行轉化。推導方法三：=-2(xiyi + X2Y2 + ? + xnyn) - b(xj2 + x22 + ? + xni = 1i=l/2氐=-2令將（ i）式帶入上式得2 anx)= 0nnQ = 2j(yi-yi)2 = 2(yi- bxi - a)2 )=1 1 = 1兩邊對;1求導得nyXjyi - nxy”nSXi2-nX總