1、1例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn2例例2 2.)(333的的極極限限存存在在式式重重根根證證明明數數列列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調遞增的是單調遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2

2、131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx32.4.2 兩個重要極限兩個重要極限1、1sinlim0 xxxDCBAx1o1sincosxxx圓扇形AOB的面積證證: 當即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積xxxcos1sin1故有4注注此結論可推廣此結論可推廣0)(,)( xfax時時條件是條件是1sinlim0 xxx1)()(sinlim0)( xfxfxf1sinlim0 xxx1)(sin)(lim0)( xfxfxfxxxsinli

3、m10求求例例解解xxxsinlim0 xxxsin1lim0 xxxsinlim10 1 0 注意：注意：xxxsinlim 5例例2 求求xxx3sinlim0解解xxx3sinlim0 xxx33sinlim303 3 1)()(sinlim0)( xfxfxfxxxtanlim. 30求求例例解解xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 1 例例4 4.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 6解解 當當 n時時 , 因此因此例例6 6nnn sin

4、lim , 有有0n nnn sinlim nnn sinlim 1 nnn sinlim0 例例5 5 求求 30sintanlimxxxx 解解xxxxxcos)cos1(sinlim30 原原式式 xxxxxxcos1cos1sinlim20211211 7例例7 7 求求xxx 2coslim2 解解xt 2 令令02tx時時則當則當 于是于是xxx 2coslim2 ttt)2cos(lim0 1sinlim0 ttt練習練習1)1sin(lim21 xxx1)1sin(lim21 xxx1)1sin()1(lim221 xxxx解解2 8注注此結論可推廣此結論可推廣0)(,)( x

5、fax時時條件是條件是exxx 11limexfxfxf )()()(11lim exxx 101lim exfxfxf )(10)()(1lim exxx 101lim2、exxx 11lim9例例1 1.)11(limxxx 求求解解1)11(lim xxx原式原式xxx )11(1lim.1e 一般地一般地kxxexk 1lim例例2 2 求求xxxx 11lim解一解一)121()121(lim221 xxxx原原式式2e 解二解二xxxxx)11()11(lim 原式原式21eee 10例例3 求求3411lim xxxxxx411lim 311lim xx411lim xxx311

6、lim xx3411lim xxx解解4 e34)11()11(limxxxx 例4.)23(lim2xxxx 求求解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 11;)tan1(lim. 1cot50 xxx 求求解解xxxcot50)tan1(lim 5tan10tan)tan1(limxxx 5e 1 練習練習3.2222221nnn)(limnnn)221 (lim221 ee2222221221)()(limnnnn2.nnn211limnnn11limnnn11lim12小結小結1.兩個準則兩個準則夾逼準則夾逼準則; 單調有界準則單調有界準則 .2.兩個重要極限兩個重要極限,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設設 ; 1sinlim10 某某過過程程.)1(l