1、電子光學n1.緒論n2. 第一章 幾何光學基礎 n3.第二章 電子在均勻場中的運動n4. 第三章 電子光學系統中的場 n5.第四章 電子軌跡方程n6.第五章第五章 場和電子軌跡的求解場和電子軌跡的求解n7.第六章 強流電子光學教師：劉迎輝電子科技大學物電學院第五章 場和電子軌跡求解方法本章組織n5.1 有限差分法求解軸對稱電場n5.2 有限元法求解軸對稱電場n5.3 電荷密度法求解軸對稱電場n5.4 電子軌跡的數值求解方法n5.5 有限差分法求解軸對稱磁場n5.6 測量磁場的實驗方法。電子光學系統將一個給定的場（包括電場、磁場）看做一個。：根據電子在場中的運動，確定電子光學系統的光學性質和光學

2、參量。（常用的物理方法：引力場、太陽系、黑洞）確定電場和磁場的具體分布成為研究、確定電場和磁場的具體分布成為研究、了解和設計電子光學系統必不可少的重了解和設計電子光學系統必不可少的重要步驟。要步驟。 靜電場和恒定電場的邊值問題（物理），可歸結靜電場和恒定電場的邊值問題（物理），可歸結為在給定邊界條件下求解拉普拉斯方程或泊松方程為在給定邊界條件下求解拉普拉斯方程或泊松方程（數學）（數學） 。 常用的方法常用的方法直接法直接法間接法間接法解析法解析法數值法數值法有限差分法有限差分法（FDM）有限元方法有限元方法（FEM）有限積分法有限積分法（FIM） 實驗法實驗法場的求解方法邊界積分法邊界積分法（

3、BIM）場的求解方法u1、實驗法求解精度低，如電解槽法、電阻網法電解槽法利用導電介質中的電流線模擬真空中的電力線達到求解場分布u2、解析法求解精度最高，適用簡單、規則邊界結構 利用邊界條件直接求解偏微分方程u3、數值法求解精度較高，計算量大，適用范圍廣 如有限差分法，將偏微分方程利用差分近似，通過數值計算方法求得一系列關于場的離散值。n電真空器件的研制涉及到電子光學、磁學、陰極電子學、微波電子學、電磁場理論、材料學、機械與熱分析諸多學科，工藝過程十分復雜。計算機技術的發展與應用，極大的促進了微波管技術的進步。它對提高微波管的設計能力，縮短開發周期，減少整管硬件實驗，改善微波管性能，固化已有經驗

4、上發揮著越來越重要的作用，計算機輔助設計CAD技術已經成為微波管設計的重要手段國際部分常用大型電磁分析軟件nCAD技術已經成為研制新型微波管不可或缺的手段，其總體目標總體目標是：通過模擬，一次裝管成功。n微波電子學數值模擬的實質是實質是在給定邊界條件和初始條件下，對對Maxwell方程組方程組和Lorentz方程方程進行求解。求解求解Maxwell方程組方程組的關鍵問題是在含有任意實際結構形狀、任意媒質分布的二維和三維空間內尋找方程的數值計算方法。該算法適用于各種電磁現象，解決這些問題的方法是直接求解電磁場或電磁通量密度，或直接引入矢量位、標量位等中間函數，通過有限差分法（FDM）、有限元法（

5、FEM）、有限積分法（FIM）、邊界積分法（BIM）或其他數值計算方法得到各類電磁問題的數值近似解。n對于帶電粒子在電磁場中的運動，采用粒子模擬法（PIC）能獲得精確的結果。由于粒子模擬技術不再采用近似等效方法，而是根據微波器件的邊界條件邊界條件和初始條初始條件件直接求解有源Maxwell方程組和Lorentz運動方程，因此可以獲得精確的計算結果。n目前粒子模擬技術用于注波互作用計算多出現在大型通用電磁分析軟件中，如MAGIC,MAFIA，ARGUS等。如前表所示，目前國際上已有多個大型電磁分析軟件。除表中列出的大型電磁分析軟件外，具有權威性的大信號模擬程序還有美國的MAGY模擬軟件和針對回旋

6、速調管計算的專業軟件MAGYKL，但目前這兩款程序都對我國禁運禁運。國際部分常用大型電磁分析軟件數值法的比較n1）、有限差分法從電磁場方程的微分方程出發，在整個邊界包含的面積（二維）或體積（三維）區域里劃分網格，用差分方程代替微分方程，形成一個線性方程組。n2）、有限元法從電磁場的變分原理出發，在整個區域內剖分 ，形成一個線性方程組。n3）、邊界元法從庫侖定律出發，只對邊界進行離散，最適于求解開放性邊界問題，而且可以降低方程維數，使問題簡單化。5.1 有限差分法求解軸對稱電場n真空中，不考慮空間電荷，給定封閉邊界上電位值，在封閉邊界包圍的區域內，電位分布滿足：222210rrrz（5-1）邊值

7、問題邊值問題v存在邊界面的電磁場問題（物理）。存在邊界面的電磁場問題（物理）。v根據給定邊界條件對邊值問題分類：根據給定邊界條件對邊值問題分類： 第一類邊值問題狄里赫利(Dirichlet)問題：已知電位函數整個邊界面上的已知電位函數整個邊界面上的 分布值分布值。 第二類邊值問題紐曼（ Neumann ）問題：已知函數在整個邊界面上的已知函數在整個邊界面上的法向導數法向導數 。SfSfn22Sfn第三類邊值問題（混合邊值問題）：已知已知一部分一部分邊界面上的邊界面上的函數值函數值，和，和另一部分另一部分邊界面邊界面上函數的上函數的法向導數法向導數。11Sf12SSS邊值問題邊值問題5.1 有限

8、差分法求解軸對稱電場n 采用一定的網格分割方式離散化場域場域。n 進行差分離散化處理偏微分方程偏微分方程。用離散的、只含有限個未知數的差分方程組，來近似代替場域內具有連續變量的偏微分方程以及邊界上的邊界條件（也包括場域內不同媒質分界面上的銜接條件）。n 結合選定的代數方程組的數值算法數值算法，編制計算機程序，求解由上面所得對應于待求邊值問題的差分方程組，所得解答即為該邊值問題的數值解。主要求解步驟主要求解步驟:有限差分法求解場n一、邊界內部處理五點差分n二、軸上電位處理n三、邊界處理 0yx02413DLhh注意（關鍵點）：注意（關鍵點）：離散方法：數值計算中主要的離散方法是泰勒級數法，即用差

9、分來代替微商，忽略高次項，把微分方程離散成差分方程。一般采用正方形或矩形網格，網格形狀規則簡單，宜于求解邊界比較規則的電磁場問題。 5.1.1 軸對稱電場n一、邊界內部不等距五點差分：U1U0U2U3U4Z0R0h1h2h3h4邊界內五點差分法nU0為待求電位，設其余的電位為已知值。將U1、 U2、U3、U4，各點按泰勒級數展開并精確到二階偏微分。 22111002222220022233300222444002()()2()()22()()32()()42oooohUUUUhzzhUUUUhzzhUUUUhrrhUUUUhrr 1 五點差分法n解得：201202112212122034023

10、344343433440340003340434034222()()()222()()()1()()()UUUUh hhh hhh hzUUUUh hhh hhh hrhhhhUUUUrrr h hhr h hhr h h五點差分法n將以上方程組代入柱坐標系下的拉普拉斯方程得五點差分方程 0011223344C UCUC UC UC U)(22111hhhC)(22122hhhC)(24330403hhhrhrC03404342()rhCr h hh430434321022hhrhhhhhhC對稱軸上n軸上電位處r=02201limrUrrUr得對稱軸上的拉普拉斯方程為：022222zUrU且

11、，U3=U4，h3=h4，得對稱軸上的拉普拉斯差分方程的系數為：11121()Ch hh22121()Ch hh40C 3232Ch0212312Ch hhh2h3h4U1U0U2U3U4Z0R0h10011223344C UCUC UC UC Uz等距五點差分n采用等間距的五點差分法，其差分方程的系數為： 121CC0035 . 0rhrC0045 . 0rhrC40C在軸上的差分系數：121CC03C44C60C012464UUUU012344304()()2hUUUUUUUr得內部和軸上差分拉普拉斯方程：邊界處理n邊界封閉問題：拉普拉斯方程和泊松方程必須在封閉邊界內求解，否則可能得到不穩

12、定的解，而在實際電子光學系統中，有些邊界是敞開的，這些開放式邊界處的函數值是不知道。因此必須人為封閉這些邊界。)()()(aoaaoazzzzUUUU常用的方法有：線性插值和對數插值)/ln()/ln()(caccacrrrrUUUU線性插值對數插值差分方程求解n如圖電極系統，求網格m*(n-1)個節點的電位電極系統電極系統04)(2)(03404321UUUrhUUUU0640421UUUU,1,11,1,111(1)(1)422i ji ji jijijUUUUUii461, 11,1,jijijijiUUUU差分方程求解n迭代法：n通過上述的處理，對于計算區域內的每一個網格點，都可以建立

13、一個差分方程。如果計算區域內有N個網格點，就形成了N個線性方程構成的大型方程組。解這樣的方程組采用直接法求解是比較困難的，又由于線性方程組的系數構成一個大型的稀疏陣，因而可以采用迭代法進行電位求解。n目前，解偏微分方程的迭代法常用如下的四種方法：n一：同步迭代法；n二：逐次超松弛迭代法（SOR）；n三：Chebyshev加速超松弛迭代法（SCA）；n四：交替方向隱式迭代法（ADI）; 其中，第一種方法需要先求出所有網格點上的k次近似值，代入差分方程再求出所有網格點上的第k+1次近似值，因而計算所需的計算機的內存量大，同時收斂速度慢。對于最后一種迭代法而言，它比超松弛迭代法收斂快，也更有效，但是

14、其程序編制較為困難且有時不收斂，因而，在編制程序時可以采用了Chebyshev加速超松弛迭代法。同步迭代法n首先任意給定節點（i，j）上電位的第0次數值作為解的零次近似，然后依次將近似值帶入方程右端，獲得點（i，j）上第一次近似解，重復這樣的過程，當計算次數趨向于無窮的時候，就可以無限靠近所考察的微分方程的真實解。( ),1,11,(1)( )( )( )1,111(1)(1)422ki ji ji jijkkkkijUUUUUii , 1,11,(1)( )( )( )146i ji ji jijkkkkUUUU )1()(maxknknUU2000個節點，誤差為1*e-5，迭代次數2000

15、3000次異步迭代法n也稱為賽德爾迭代法，是在計算第k+1次近似值時，位于此點左方和下方的點一般已經計算出了第k+1次值，則將此近似值代入到方程式右端，這種計算方式可以比同步迭代法節省一半的迭代次數。(1),1,11,(1)(1)( )( )1,111(1)(1)422ki ji ji jijkkkkijUUUUUii ,1,11,(1)(1)( )( )146i ji ji jijkkkkUUUU超松弛迭代法n其中，w是一個介于1和2之間的常數，稱為超松弛因子，當w取1的時候就是異步迭代方式，但是要注意到w的選取也是非常重要的工作，一般會有各種近似公式或者經驗公式選取w,(1)( )(1)(

16、 )()i ji ji ji jkkkkUUUU4)/*Jacobi(111)(k2k2)Zmax/cos()axR/mcos(Jacobi可以將迭代次數20003000次減小到100次左右(1),1,11,(1)(1)( )( )1,111(1)(1)422ki ji ji jijkkkkijUUUUUii ,1,11,(1)(1)( )( )146i ji ji jijkkkkUUUU誤差分析n差分法的誤差主要有兩種：n（1）截斷誤差，由差分方程代替微分方程所引起，兩者的解之間的差別稱為截斷誤差。截斷誤差來源于采用五點差分方程代替微分方程時舍去的h的三次方以上的項。顯然，截斷誤差和網格間距

17、大小以及電極結構本身有關。n （2）迭代誤差，決定于迭代計算中誤差控制值，必須選擇適當的節點及合適的迭代誤差控制值，以保證工程精度的要求。 計算框圖啟動 給定邊值填寫場域內 的初始值疊代次數計數n:=0n:=n+1按超松弛迭代法進行一次迭代，求) 1(),(nji所有內點相鄰二次迭代值的相對誤差是否小于W？ 打印迭代次數n，待求數值解)j , i (停機是否5.1.2 平面對稱電場n平面對稱系統：如靜電偏轉板，不考慮邊緣場效應，將y方向看做無限長。選擇xoz面為對稱面，則場滿足微分方程：02222zUxUn及相應的邊界條件。5.1.2 平面對稱電場0011223344C UCUC UC UC

18、U)(12111hhhC)(12122hhhC)(14333hhhC)(14344hhhC4321011hhhhCn通過劃分網格，利用泰勒級數，在區域內任選一個節點O和它相鄰的四個節點，截去高于三階的項，獲得五點差分格式：5.1.3 尖端發射場n導體尖端的電荷特別密集，尖端附近的電場特別強，就會發生尖端放電尖端放電5.1.3 尖端發射場n場致發射陰極，在研究這種陰極區的電場分布時，一般將鎢尖看成是球狀或者球錐狀，采用球坐標。222222222221110tansinUUUUUrrrrrrn由于系統軸對稱，在方向角方向的場是均勻的，故而：01tan12222222UrUrrUrrU尖端場區網格劃

19、分n利用泰勒級數將相鄰四個節點的電位在O點展開，去掉高次項，得到方程的五點差分格式：00044332211UCUCUCUCUC)()1 (221212hhhrhCo)()1 (221121hhhrhCo)(tan243343hhhrhCoo4334432112210tan2)(22hhrhhhhhhrhhhhCooo)(tan243434hhhrhCoo13orh24orh尖端場區軸上n當中心節點在z軸上時：220tan1limUUrn并且，該球對稱場相對于z軸而言，也可以看成軸對稱場，利用近軸場區特點亦可得出上式。n則z軸上方程：02222222UrrUrrU軸上差分格式000332211U

20、CUCUCUC122122(1)()ohrCh hh211122(1)()ohrCh hh3324Ch3210212122()24ohhCh hr h hhorhhh43221orhh121簡化：均為函數注意n一般電子光學系統里，會有電子注通過，特別是在強流電子光學系統里，必須考慮電子注的影響，此時必須求解泊松方程。5.2 有限元法基本思想： 在有限元方法中，場域被分割成許多很小的子區域，通常稱為“單元”或“有限元”。對所有子區域進行獨立的處理和運算，便于對一個整體問題進行局部化處理。通過選取恰當的嘗試函數，使每個單元的計算都變得非常簡單，經過對每個單元重復而簡單的計算，再將其結果總和起來，便

21、可以得到用整體矩陣表達的整個區域的解。這一整體矩陣又常常是稀疏矩陣，可以更進一步簡化和加快求解過程。由于計算機非常適合于重復性的計算和處理過程，所以整體矩陣的形成過程很容易使用計算機來實現。5.2.1 變分原理n軸對稱靜電場的能量積分：vdVEJ221vrdrdzzUrUJ)()(2122積分取極值的條件是變分為積分取極值的條件是變分為00J拉氏方程n經過變換：()()vUUJrrUdrdzrrzz在鄰域內電位變分取任何值的情況下，使得能量變分在鄰域內電位變分取任何值的情況下，使得能量變分為為0的條件是：的條件是：()()0UUrrrrzz5.2.1 變分原理5.2.2 有限元剖分n應用變分原

22、理，構造函數U（r，z）以使得能量積分取極值。n但是在整個域內構造電位函數太過困難，因而采用剖分方法。n步驟：n區域劃分n構造函數n單元分析（能量積分）一個靜電場例子，講二維有限元：一個靜電場例子，講二維有限元：n二維有限元法同軸傳輸線，兩個同芯長方形導體之間充滿線性介質，兩導體間加有直流電壓10v，導體間貯有電荷，傳輸線的長度遠遠大于其截面，可認為電場在傳輸線各個截面上的分布都相同，只需求解電場在某個截面的分布。場域剖分場域剖分n二維有限元法原則上講，二維有限元可以取為各種多邊形，如三角形、四邊形等等。與其它多邊形相比，三角形具有以下兩個優點： (1)描述二維三角形的多項式有3項，該數目與三

23、角形的頂點數以及節點上未知量的個數恰好相同，因而使得多項式形函數的利用率最高 。 (2)三角形形狀簡單，能十分便利地表示復雜的幾何結構。把兩個要求解的量聯系起來，有限元中令待定系數就是節點電位，當然嘗試函數要重新確定 bfK 任意單元內節點嘗試函數的選取：任意單元內節點嘗試函數的選取：二維有限元法任意三角形單元由節點i，j，k構成，每個節點的嘗試函數（三角形平面）選擇的規律一樣.注意：注意：不能將一個三角形的頂點取為另一個相鄰三角形邊的內點每個單元和節點都要按逆時針編號。節點嘗試函數的表達式：節點嘗試函數的表達式：n3. 二維有限元法代入平面方程確定平面參數：（用矩陣形式作規范化求解）rz平面

24、方程(線性插值)：( ,)( ,)( ,)iijjkki r zj r zk r z平面過三個點：；iiijjjkkkrzirzjrzk111iiijjjkkkrzrzrz 應用克萊姆法則求節點嘗試函數（平面方程）表達式：應用克萊姆法則求節點嘗試函數（平面方程）表達式：n二維有限元法S為三角形單元面積，為使其為正，i j k要逆時針編號。平面方程系數有嚴格的規律，且只與節點坐標有關二元有限元n令：1()jkkjar zr z)(2kiikzrzra)(3ijjizrzra1jkbzzikzzb2jizzb3jkrrc1ijrrc3kirrc2123()2ijkmaaaS123()2ijkmbb

25、bS123()2ijkmcccSn得12312312331()()()( , )21()2ijijijkkkmpppppmaaabbbrccczr zSab rc zSn我們構造了電位函數，它由節點參數（坐標，電位值）來描述，這個步驟稱為構造函數n二維有限元法在小單元內進行能量積分：221()() )2mvJrdrdzrz2212312321()() 2 4mmijkijksrbbbcccdrdzS32,11()2 4mmpqpqpqp qsrb bc cdrdzS n令mmsmrdrdzS241則：)(2131,qpqpqpqpmmccbbJ單元數共有單元數共有N個，則總的能量積分：個，則總

26、的能量積分：31,11()2Nmpqpqpqmp qJb bc c n單元分析時，我們僅用了m單元的節點i，j，k，但是m單元是和四周有聯系的，每個單元和相鄰單元有兩個節點共有，而且單元節點編號是按順序排列。n對于每個節點，他們的b，c系數不同，但是電位積是相同的，因此當某節點與其它幾個單元相聯系，則有幾組系數相加作為它的系數。n故：jinjijiJ1,21注意n此時，我們將能量積分用多元函數來描述，能量積分取極值的問題轉化成多元函數取極值的問題。n多元函數取極值即是對多元函數微分等于0：0iJ01,Njijji同軸矩形電場分布同軸矩形電場分布 在大力推廣在大力推廣CAD技術的今天，從自行車到

27、航天飛機，技術的今天，從自行車到航天飛機，所有的設計制造都離不開有限元分析計算，所有的設計制造都離不開有限元分析計算，FEM在工在工程設計和分析中將得到越來越廣泛的重視。程設計和分析中將得到越來越廣泛的重視。國際上早在國際上早在20世紀世紀50年代末、年代末、60年代初就投入大量年代初就投入大量的人力和物力開發具有強大功能的有限元分析程序。的人力和物力開發具有強大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國國家宇航局（其中最為著名的是由美國國家宇航局（NASA）在）在1965年委托美國計算科學公司和貝爾航空系統公司年委托美國計算科學公司和貝爾航空系統公司開發的開發的NASTRAN有限元分析系統

28、。該系統發展至今有限元分析系統。該系統發展至今已有幾十個版本，是目前世界上規模最大、功能最強已有幾十個版本，是目前世界上規模最大、功能最強的有限元分析系統。的有限元分析系統。v目前，世界各地的研究機構和大學發展了一批規模目前，世界各地的研究機構和大學發展了一批規模較小但使用靈活、價格較低的專用或通用有限元分析較小但使用靈活、價格較低的專用或通用有限元分析軟件軟件:v主要有德國的主要有德國的ASKA、英國的、英國的PAFEC、法國的、法國的SYSTUS、美國的、美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和和STARDYNE等公司的產品。

29、等公司的產品。 隨著數值分析方法的逐步完善，尤其是計算機運隨著數值分析方法的逐步完善，尤其是計算機運算速度的飛速發展，整個計算系統用于求解運算的時算速度的飛速發展，整個計算系統用于求解運算的時間越來越少，而數據準備和運算結果的表現問題卻日間越來越少，而數據準備和運算結果的表現問題卻日益突出。益突出。 在現在的工程工作站上，求解一個包含在現在的工程工作站上，求解一個包含10萬個方萬個方程的有限元模型只需要用幾十分鐘。工程師在分析計程的有限元模型只需要用幾十分鐘。工程師在分析計算一個工程問題時有算一個工程問題時有80%以上的精力都花在數據準備以上的精力都花在數據準備和結果分析上。和結果分析上。增強

30、可視化的前置建模和后置數據處理功能增強可視化的前置建模和后置數據處理功能v增強可視化的前置建模和后置數據處理功能增強可視化的前置建模和后置數據處理功能目前幾乎所有的商業化有限元程序系統都有功目前幾乎所有的商業化有限元程序系統都有功能很強的前置建模和后置數據處理模塊。使用能很強的前置建模和后置數據處理模塊。使用戶能以可視圖形方式直觀快速地進行網格自動戶能以可視圖形方式直觀快速地進行網格自動劃分，生成有限元分析所需數據，并按要求將劃分，生成有限元分析所需數據，并按要求將大量的計算結果整理成變形圖、等值分布云圖，大量的計算結果整理成變形圖、等值分布云圖，便于極值搜索和所需數據的列表輸出。便于極值搜索

31、和所需數據的列表輸出。 v與與CAD軟件的無縫集成軟件的無縫集成當今有限元分析系統的另一個特點是與通用當今有限元分析系統的另一個特點是與通用CAD軟件的集軟件的集成使用，即：在用成使用，即：在用CAD軟件完成部件和零件的造型設計后，軟件完成部件和零件的造型設計后，自動生成有限元網格并進行計算，如果分析的結果不符合自動生成有限元網格并進行計算，如果分析的結果不符合設計要求則重新進行造型和計算，直到滿意為止，從而極設計要求則重新進行造型和計算，直到滿意為止，從而極大地提高了設計水平和效率。大地提高了設計水平和效率。當今所有的商業化有限元系統商都開發了和著名的當今所有的商業化有限元系統商都開發了和著

32、名的CAD軟軟件（例如件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和和AutoCAD等）的接口。等）的接口。 v復合材料加工傳熱媒質問題復合材料加工傳熱媒質問題v不同加熱燈絲位置情況下陰極的溫度分布云圖不同加熱燈絲位置情況下陰極的溫度分布云圖微觀尺度材料設計微觀尺度材料設計 有限元方法v半導體芯片溫度場的數值仿真半導體芯片溫度場的數值仿真宏觀尺度材料設計宏觀尺度材料設計 有限元方法v水輪機葉輪的受力分析模擬水輪機葉輪的受力分析模擬5.3 電荷密度法求解軸對稱電場n許多物理問題可通過不同的途徑歸結為不同的數學模型許

33、多物理問題可通過不同的途徑歸結為不同的數學模型（大多數沒有解析解）：（大多數沒有解析解）：n a 偏微分方程的邊值問題有限差分法偏微分方程的邊值問題有限差分法n b 區域上的變分問題有限元法區域上的變分問題有限元法n C 邊界上的積分問題邊界元法邊界上的積分問題邊界元法方法對比n有限差分與有限元法異同點：n原理上： 有限差分法從電磁場的微分方程出發，在整個區域里劃分網格，用差分方程代替微分方程，形成線性方程組 有限元法從電磁場的變分原理出發，在整個區域里剖分，形成線性方程組n共同的弱點：1。都需要一個較為規則的封閉邊界。2。不論感興趣的區域大小，都必須在整個區域內求解電場分布。n邊界元法從庫侖

34、定律出發，只對邊界進行離散，最適于求解開放性邊界問題，而且可以降低方程維數，使問題簡單化。邊界元法nboundary element method又稱邊界積分方程-邊界元法。n邊界元法是一種繼有限元法之后發展起來的新型數值方法,與有限元法在連續體域內劃分單元的基本思想不同,邊界元法僅在定義域的邊界上劃分單元,用滿足控制函數去逼近邊界條件.n它以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程，通過對邊界分元插值離散，化為代數方程組求解。n它與基于偏微分方程的區域解法相比，由于降低了問題的維數，而顯著降低了自由度數，邊界的離散也比區域的離散方便得多，可用較簡單的單元準確地模擬邊界形狀，最終得到階數較低的線性

35、代數方程組。邊界元法n又由于它利用微分算子的解析的基本解作為邊界積分方程的核函數 ，而具有解析與數值相結合的特點，通常具有較高的精度。n特別是對于邊界變量變化梯度較大的問題 ，如應力集中問題 ，或邊界變量出現奇異性的裂紋問題，邊界元法被公認為比有限元法更加精確高效。n由于邊界元法所利用的微分算子基本解能自動滿足無限遠處的條件，因而邊界元法特別便于處理無限域以及半無限域問題。邊界元法n邊界元法的基礎：邊界元法是基于控制微分方程的基本解來建立相應的邊界積分方程，再結合邊界的剖分而得到的離散算式。nJaswon和Symm于1963年用間接邊界元法求解了位勢問題；Rizzo于1967年用直接邊界元法求

36、解了二維線彈性問題；Cruse于1969年將此法推廣到三維彈性力學問題。1978年，Brebbia用加權余量法推導出了邊界積分方程，他指出加權余量法是最普遍的數值方法，如果以Kelvin解作為加權函數，從加權余量法中導出的將是邊界積分方程邊界元法，從而初步形成了邊界元法的理論體系，標志著邊界元法進入系統性研究時期。邊界元法的發展n經過近40年的研究和發展，邊界元法已經成為一種精確高效的工程數值分析方法。在數學方面，不僅在一定程度上克服了由于積分奇異性造成的困難，同時又對收斂性、誤差分析以及各種不同的邊界元法形式進行了統一的數學分析，為邊界元法的可行性和可靠性提供了理論基礎。n在方法與應用方面，

37、現在，邊界元法已應用到工程和科學的很多領域，對線性問題，邊界元法的應用已經規范化；對非線性問題，其方法亦趨于成熟。n在軟件應用方面，邊界元法應用軟件已由原來的解決單一問題的計算程序向具有前后處理功能、可以解決多種問題的邊界元法程序包發展。n我國約在1978年開始進行邊界元法的研究，目前，我國的學者在求解各種問題的邊界元法的研究方面做了很多的工作，并且發展了相應的計算軟件，有些已經應用于工程實際問題，并收到了良好的效果。 n邊界元法是將邊界元法是將區域內微分方程區域內微分方程n通過積分定理變為通過積分定理變為邊界上的積分方程邊界上的積分方程n再將積分方程在邊界上離散為再將積分方程在邊界上離散為代

38、數方程代數方程。電荷密度法n從庫侖定律出發，最適于求解開發性邊界問題n對邊界進行離散化處理n電荷密度法也是一種邊界元法點電荷點電荷可以簡化為點電荷的條件可以簡化為點電荷的條件:Q1rddr觀察點P庫侖定律庫侖定律庫侖定律：庫侖定律：在真空中，兩個靜止點電荷之間相互在真空中，兩個靜止點電荷之間相互作用力與這兩個點電荷的電荷量作用力與這兩個點電荷的電荷量q1和和q2的乘積成的乘積成正比，而與這兩個點電荷之間的距離正比，而與這兩個點電荷之間的距離r12（或（或r21）的平方成反比，作用力的方向沿著這兩個點電荷的平方成反比，作用力的方向沿著這兩個點電荷的連線，同電相斥，異電相吸。的連線，同電相斥，異電

39、相吸。iiiirrqqkF0300 1785年，法國庫侖（年，法國庫侖（C.A.Coulomb) 適用于點電荷適用于點電荷疊加性疊加性q0q1q2r02F2r01F1F庫侖庫侖121212321rrqqkFn將無窮遠處看作電位零點，則點電荷在空間中任意一點產生的電位為：41)(rrqr庫侖定律不僅對點電荷適用，對線電荷，面電荷和體電荷同樣適用。llrrdlr41)(41)(slrrdsr41)(rrdrln在空間中，同時存在N個充滿電荷的源，則他們在空中任意一點P產生的電位滿足電位疊加定理：Niirr1)()(在有限的區域內，忽略自由電荷，則區域內的電場是由加以一定電壓的電極形成的。整個區域的

40、電位分布由電極表面電荷產生如何求電極上的表面電荷分布？充分利用電極電位已知的條件，將場點設在電極面上，則每個電極的電位都滿足：41)(slrrdsr41)(slrrdsr本式表明本式表明:電極表面的電荷分布確定了各個電極的電位，還確定了區域內的電位分布；同時也表示為了使電極表面有這樣的電荷分布，必須使各個電極的電位為給定值。電荷密度法步驟：電荷密度法步驟：利用上式左端電位已知，采用數值法求解方程，求出電極表面電荷密度分布;然后將電荷密度代入上式，求解空間任意一點的電位，則給定區域內的電位分布就唯一確定了5.3.2積分方程離散化n上式的關鍵就是確定空間電荷分布，解析法難以完成任務，而采用數值法，

41、就必須進行離散化處理。n將電荷存在的區域分成小區域，當區域足夠小的時候，電荷密度分布可以解析解，如最簡單的認為：電荷分布是均勻的。1441)(sNiislrrdsrrdsrNiipipCr1,)(Ci,p與小區域形狀有關，與P點到小區域距離有關，但與小區域的電位和電荷無關簡寫為：全部電荷在P點產生的電位：n將電極表面分成許多小區域，如N塊，就可以寫成N個線性方程：NiijijCr1,)(1,2,3,.,jN5.3.3 用電荷密度法求軸對稱電場n真空中2個加上電壓的半徑不等，長短不一，忽略厚度的圓筒電極組成的軸對稱電極系統，求其內的電場分布。2,022214(coscos)(sinsin)()i

42、iiiizDsiiii jzDiijjiijjijR ddzRRRRzz 第i個環帶在P點產生的電位為：上式中Di是第i個環帶的半寬度。令2i222)()(4jijijizzRRRRkn故：202222,)2(sin1 ()()(4jDzDzjijiiisjikdzzRRdzRiiiiiisjiC,其中，Cij表示第i個環上所有的面電荷在第j個環上P點處產生電位的系數。2022)2(sin1 (ikd是第一類橢圓積分當 i 從 1 到N 表示 N 個小環在第 j 個環上 P 點處產生的電位 ；當 j 從 1 到N 表示第 i 個環上所有的面電荷在每個環上產生的電位；合起來就形成了一個方程組或一

43、個矩陣。實質上只要求得Cij系數 , 就可以求出我們所要的電位分布了。n檢視上面的公式，需要注意： 當半徑相等，角度相同，Z向坐標也一致的時候（場點和源點重合），出現被積函數分母為零，積分值為無窮大的現象。而實際上，該點的電位和表面電荷都是有限的。這樣的點稱為奇異點。2,022224()()(1sin ()2iiiiizDsiii jzDjijijRdzdRRzzk邊界元法的主要缺點n邊界元法的主要缺點是它的應用范圍以存在相應微分算子的基本解為前提，對于非均勻介質等問題難以應用，故其適用范圍遠不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數方程組的系數陣是非對稱滿陣，對解題規模產生較大限制。對一般

44、的非線性問題，由于在方程中會出現域內積分項，從而部分抵消了邊界元法只要離散邊界的優點。n即：邊界元法與有限元相比具有單元的未知數少,數據準備簡單等優點.但用邊界元法解非線性問題時,遇到同非線性項相對應的區域積分,這種積分在奇異點附近有強烈的奇異性,使求解遇到困難。5.3.4 奇異點的處理n第一類：被積函數出現斷點（eg: 當場點和源點重合，被積函數值無窮大，而物理上說，該點的電位和電荷密度應當是有限的。）處理方法： 1. 將被積函數區域分成奇異區和非奇異區，通過改變積分參數消除奇異性； 2. 將被積函數作數學處理，使它變成可積函數； 3. 采用高斯型積分公式。n另一類：奇異點出現在電極的兩端，

45、即曲率半徑小的地方。由電磁學可知：在一個處于電場中的導體，內部的E0，電位是常數，電荷分布在其表面，曲率半徑大的地方電荷分布少，曲率半徑小的地方，電荷分布多 - - -極端表現：尖端放電5.3.4 奇異點的處理n在上節分析中，將電極表面分成一個個小區域，每個小區域的電荷密度被認為是均勻的，可以看作是一個常數，這個數值往往是這個區域電荷密度的平均值，這樣的假設和許多實際情況很不相符。為了更精確求出電極上電荷分布情況，對這一類奇異點也作特殊考慮。n例如：采用不均勻劃分子區域法對數形式劃分，或者采用二進制形式劃分，設每個子區域上的電荷密度是常數，電極最邊緣的子區域較小，且數目較多，可以使電荷密度分布

46、接近實際情況。n另一方法是：均勻劃分區域，但是區域內的電荷密度看成連續變化的函數如：n進一步提高精度，可以采用二次插值函數，甚至采用切比雪夫多項式。taatfos1)(5.3.5 系數矩陣的解法n電荷密度法里，求解電極上的電荷分布和空間中任意一點的電位，最后都歸結到求系數矩陣C和它的逆矩陣C-1。n即需要確定C中的每一個元素Cij，需要進行大量的積分計算，對系數矩陣中的積分常采用以下幾種方法:1.辛普生積分2. 高斯積分法3. 第一類、第二類完全橢圓積分的近似計算辛普生積分n將定積分區間a,b劃分成2m個等分，得到2m個小區間，區間長度為：mabh2)( hiaxihaxii) 12(2122

47、在每對小區間上，用通過三點（x2i，x2i+1，x2i+2）的二次拋物線來近似被積函數（線性插值僅僅利用了兩、三個節點的數據信息，因此逼近度自然不高）bamimiiixfxfbfafhdxxf )(4)(2)()(3)(11111222 高斯積分法iitababx22bamiiixfdxxf1)()(上式中ti是勒讓德多項式Lm（t）的第i個零點：22)()1 (2imiitLt3.第一類、第二類完全橢圓積分的近似計算n第一類橢圓積分：.ln.)(44104410mbmbbmmamaakK2/022)sin1 ()(kdkKn第二類橢圓積分：2/022)sin1 ()(dkkE兩者的近似計算式

48、：.ln.1 )(441441mbmbmmamakE21 km5.4 電子軌跡的數值求解方法n電子在場中運動描述：1. 電子軌跡方程 2. 電子運動方程n只需給出場的分布函數或者軸上電磁位的分布函數和初始條件后，就可以求出電子運動解。n困難在于：1. 場的分布常常不能用簡單的解析式給出，甚至無法用函數形式給出。2. 即使給出了場的分布解析式，也無法得出解的解析式。 給出離散值（通過數值計算或者實驗）n電子軌跡方程的數學描述是一個二階非線性非齊次微分方程n電子運動方程的數學描述是一個二階齊次微分方程n求解方法：1、圖解法，橡皮膜法，自動軌跡儀等 2、數值法一、高階泰勒法一、高階泰勒法.),(t)(1)(),(足夠光滑及的解ytfyaybtaytfdtdy假設初值問題.,)!1()(!)(! 2)()()()(,)(11)1()(211 iiininniniiiiiitthnyhntyhtyhtytytyntty其中得階泰勒展開處作在將5.4.1 龍格庫塔法21(1)( )1( )( , ( ),( , )( , ( ) () ( )( , ( )2!( , ( )( , ( )!(1)!再將代入 得由已知 iiiiiiiiinnnniiiidyy tf t y tf t yatbdtf t y ty ty tf t y thhft y tft y thhnn稱上式為n階泰勒法0(1