1、2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系1第第3章章 一元函數積分學及其應用一元函數積分學及其應用第第1節節 定積分的概念，存在條件與性質定積分的概念，存在條件與性質第第2節節 微積分基本公式與基本定理微積分基本公式與基本定理第第3節節 兩種基本積分法兩種基本積分法第第4節節 定積分的應用定積分的應用第第5節節 反常積分反常積分第第6節節 幾類簡單的微分方程幾類簡單的微分方程2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系2第第3 3節節 兩種基本積分法兩種基本積分法3.1 3.1 換元積分法換元積分法3.2 3.2 分部積分法分部積分法3.3 3.3 初等函數的積分法初等函數的積

2、分法2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系3換元法則換元法則(II）換元法則換元法則(I)xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 設設, )()(ufuF)(xu可導可導,xxxfd)()(CxF)()( )duxf uu ( )( )uxF uC )(dxFxxxfd)()(則有則有3.1 3.1 換元積分法換元積分法2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系41. 換元法則換元法則(I)-第一類換元法第一類換元法定理定理3.1 ( ),f u設設連連續續( ),ux 有有連連續續的的導導數數則有換元則有換元公式公式 ( )( )dfxxx ( )df uu (

3、)ux ( ( )d ( )fxx (也稱也稱配元法配元法即即 ( )( )dfxxx , 湊微分法湊微分法)說明說明使用此公式的關鍵在于將使用此公式的關鍵在于將 dxxg)(化為化為.)()( dxxxf2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系5第一類換元法解決的問題第一類換元法解決的問題難求難求易求易求xxxfd)()( )df uu )(xu2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系6例例1 求求() d(0,1).maxbxam 解解: 令,bxau則,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注 當當1m時bxaxdCb

4、xaaln12021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系7bxaxdCbxaaln122d.xEXxa 1ln2xaCaxa 解解221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21ax lnax lnC22d1ln2xaxCaxaax 1ln2xaCaxa 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系822)(1d1axxa例例2 求.d22xax解解:22dxax,axu 令則xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式想到公式21duuCu arctan)(ax2021/6/16南京

5、航空航天大學 理學院 數學系921:.825Exdxxx dxxx 25812dxx 9)4(12221d(4)(4)3xx .34arctan31Cx 解解.d22xaxCaxa)arctan(12021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系10例例3 求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接配元直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系11以下是最基本且經常會遇到的結果以下是最基本且經常會遇到的結果:()( )dxexx ( )(d)x

6、xe ()xeC ( )cos ( )dxxx ( )( )cosdxx ( )sin ( )dxxx ( )( )sindxx ( )( )dxxx 2( )d( )xxx 2( )( )1dxx ( )d( )xxx ( )( )1dxx ( )( )dxx (sin)Cx ( )cosxC 2(2)1Cx ( )1Cx (ln)Cx 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系12例例4 4 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin1sin(22)2xdx 1cos22;Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin22(sinsi)ndxx ;sin2

7、Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 觀察重點不同，所得結論不同觀察重點不同，所得結論不同.2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系13例例5 求求.dtanxx解解xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan類似類似2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系14常用的幾種配元形式常用的幾種配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)

8、()3()(nxfnxdn1nx1萬萬能能湊湊冪冪法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系15xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例6. 求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln212021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系16例例6. 求.d3xxex解解: 原式 =32dxe

9、x 32d33()xxe 323xeC例例7. 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系17例例8. 求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee兩法結果一樣兩法結果一樣2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系18例例9 求求.dsecxx解法解法1 secdx

10、x 2cosdcosxxx xx2sin1sind11sinln21sinxCx 22d1ln2xaxCaxaax xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec (sectan )xx 2secsec tandsectanxxxxxx d(sectan )xx ln sectanxxC同樣可證同樣可證Cxxcotcsclnxxdcsc(P196 例例3.4 )2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系191212. (1).xxedxx 11.2321dxxx 253. sincos.xxdx 4. cos3 cos2.xxdx 原式原式 dxxxxxxx 1

11、232123212322111,xxx dxxdxx 12413241提示提示: )(sincossin42xxdx),cos()cos(21coscosBABABA 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系202. 換元法則換元法則(II)-第二類換元法第二類換元法第一類換元法解決的問題第一類換元法解決的問題難求難求易求易求xxxfd)()( )df uu )(xu若所求積分若所求積分xxxfd)()(易求易求,則得第二類換元積分法則得第二類換元積分法 .難求，難求，( )df uu 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系21定理定理3.2 設設 CxF)()()()(

12、ttft)(tx是單調可導函數是單調可導函數 , 且且( )0 ,t ( )( )ftt 具有原函數具有原函數 ,1( )( ).txxt 其其中中是是的的反反函函數數證證: ( )( )ftt 設設的的原原函函數數為為, )(t令令 )()(1xxF則則)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xf( )df xx Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf則有換元公式則有換元公式)(1)()()(xtdtttfdxxf 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系22例例10 求求. )0(d22axxa解解: 令令, ),(,sin22ttax則則taaxa222

13、22sintacosttaxdcosd 原式原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa222021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系23例例11 求求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),(,tan22ttax則則22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系

14、24例例12. 求求. )0(d22aaxx解解:,時當ax 令令, ),0(,sec2ttax則則22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系25,xa 當時當時令令,ux,ua 則則于是于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，時ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln2021/6/16南京航空航天

15、大學 理學院 數學系26說明說明(1)(1) 以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般規律如下：當被積函數中含有一般規律如下：當被積函數中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系27說明說明(2)被積函數含有被積函數含有22ax 時時, 除采用除采用1shch22tt采用雙曲代換采用雙曲代換taxsh消去根式消去根式 , 所得結果一致所得結果一致 . taxch或或22ax 或或三角代換外三

16、角代換外, 還可利用公式還可利用公式2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系28說明說明(3)(3) 當分母的階較高時當分母的階較高時, 可采用可采用倒代換倒代換.1tx 例例1313 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系29例例1414 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dtttt 22411111（分母的階較高）（分母的階較高）dttt 2312

17、22121dttt 2tu 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系30 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系31說明說明(4)(4) 當被積函數含有兩種或兩種以上的根當被積函數含有兩種或兩種以上的根式式 時，可采用令時，可采用令 （其（其中中 為各根指數的為各根指數的最小公倍數最小公倍數） lkxx,ntx n例例1515 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dtt2111

18、6Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系32兩類積分換元法：兩類積分換元法：（一）（一）湊微分湊微分（二）（二）三角代換、倒代換、根式代換三角代換、倒代換、根式代換小結小結:2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系33 說明說明： 1. 第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: ,d),() 1 (xbaxxfn令令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令令taxsin或或taxcos,d),()4(22xxaxf令令taxtan或或taxsh,d),()5(

19、22xaxxf令令taxsec或或taxch(7) 分母中因子次數較高時分母中因子次數較高時, 可試用可試用倒代換倒代換 ,d)()6(xafxxat 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系34（8 8）萬能代換）萬能代換令令tan2xt 2arctanxt （萬能代換公式萬能代換公式）22sin,1txt 221cos,1txt 221dxdtt 使用范圍使用范圍： 由三角函數和常數經過有限由三角函數和常數經過有限次四則運算構成的函數一般記為次四則運算構成的函數一般記為)cos,(sinxxR dxxxdxxxsin)cos2(1sin1sin如，如，2021/6/16南京航空航

20、天大學 理學院 數學系35例例16 求積分求積分.cossin1sin dxxxx解解22sin,1txt 221cos1txt 22,1dxdtt 由萬能代換公式由萬能代換公式 dxxxxcossin1sin22(1)(1)tdutt 222211(1)(1)tttdutt 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系36222(1)(1)(1)(1)ttdttt 211tdut 11dtt arctant 21ln(1)2tln|1| tC tan2xt 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系372. 常用基本積分公式的

21、補充常用基本積分公式的補充;|cos|lntan)16( Cxxdx;|sin|lncot)17( Cxxdx;|tansec|lnsec)18( Cxxxdx;|cotcsc|lncsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系38;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .|ln1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系39思考與練習思考與練習1. 下列各題求積方法有何不同下列

22、各題求積方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系403d112xx ；1sin2.d.3cosxxx 2. 練習練習2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系411. .21d3xx解解: 令令,23xu則則,23 uxuuxd3d2原式原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x3

23、23x321ln3xC2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系422.解解.dcos3sin1xxx原式原式 =2tanxu 前式令前式令xxdcos31xxxdcos3sin221131uuuud122uud2122arctan21u)cos3(dcos31xxxcos3ln ; 后式配元后式配元Cx cos3ln)2tan21arctan(21xCx cos3ln2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系433.2 3.2 分部積分法分部積分法由導數公式由導數公式()uvu vuv 積分得積分得:dduvuvxuvx 分部積分公式分部積分公式dduvxuvuvx 或或dd

24、u vuvvu1) v 容易求得容易求得 ;2)dduvxuvx 比比容易計算容易計算 .(d ):uvv 選選取取 及及或或的的原原則則問題問題cos?xxdx 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系44例例1 1 求下列不定積分求下列不定積分(1)cos;xxdx 2(2).xx e dx 解（一）解（一） 令令,cosxu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當選擇不當，積分更難進行，積分更難進行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.c

25、ossinCxxx 解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）,xu dvdxex 降冪法降冪法2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系45注意：注意：降冪法降冪法適合應用于如下積分類型適合應用于如下積分類型( )cos;( )sin;( ).axnnnP xaxdxP xaxdxP x e dx ( )nP x為一為一n次多項式次多項式:( );nuP x : cosxdvaxd (sin,)axaxdx e dx或或2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系46例例2 2

26、 求下列不定積分求下列不定積分(1)arctan;xxdx 3(2)ln.xxdx 解解令令,arctanxu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系473(2)ln.xxdx 解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 升冪法升冪法注意：注意：升冪法升冪法適合應用于如下積分類型適合應用于如

27、下積分類型( )ln;( )arctan;( )arcsin;( )arccos.nnnnP xxdxP xxdxP xxdxP xxdx( )nP x為一為一n次多項式次多項式:( )nPdxxvd 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系48例例3 3 求下列不定積分求下列不定積分(1)sin;xexdx (2)sin(ln ).x dx 解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(

28、sin2Cxxex 循環法循環法2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系49(2)sin(ln ).x dx 解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系50EXEX 求下列不定積分求下列不定積分3(2)sec.xdx 22(1);xa dx 2222222(1)xxa dxxxadxxa 2

29、2222221xxaadxxa dxxa 2222222ln()22xxaaxa dxxxaC 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系513(2)secsectanxdxxdx 23tansecsec (sec1)tansecsecsecxxxxdxxxxdxxdx 22tansecsectantansecsec (sec1)xxxxdxxxxxdx 3tansec1secln sectan22xxxdxxxC 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系52注意：注意：循環法循環法適合應用于如下積分類型適合應用于如下積分類型522sin;cos;sec;.axaxbx e

30、dxbx e dxxdxxa dx 等等2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系53例例4 4 求下列不定積分求下列不定積分nN (1)cos;(2)sin.nnxdxxdx 解解,cos)(sincoscoscos11xxxxxnnn xdxxnxxxdxnnn221sincos)1(cossincos dxxxnxxnn)cos1(cos)1(cossin221 xdxnxdxnxxnnncos)1(cos)1(cossin21 xdxnnxxnxdxnnn21cos1cossin1cos遞推法遞推法1211sin cosnnnnIxxInn :cosnnIxdx 2021/6/

31、16南京航空航天大學 理學院 數學系54.,sincos 是是確確定定的的而而CxdxCxxdx 類類似似可可求求得得：.sin1sincos1sin21 xdxnnxxnxdxnnn2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系55解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf2( ),xf x dxeC 兩邊同時對兩邊同時對 求導求導, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系56內容小結內容小結 分部積分公式分部積分公式dduvxuvu vx1. 使用原則使用原則 :x

32、vuvd易求出易求出,易積分易積分2. 使用經驗使用經驗 : “反對冪指三反對冪指三” , 前前 u 后后v3. 題目類型題目類型 :分部化簡分部化簡 ;循環法循環法; 遞推法遞推法降冪法降冪法; 升冪法升冪法;2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系57第第3 3節節 兩種基本積分法兩種基本積分法( (續）續）3.1(3.1(續）續） 定積分定積分換元積分法換元積分法3.23.2（續）（續） 定積分定積分分部積分法分部積分法不定積分不定積分換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法定積分定積分換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系5

33、8定理定理3.33.3 設函數設函數( )( )f xC I ，作代換作代換( )xt 滿足滿足: :3)1( ),tC ( ),( )ab ；則則（或，）；（或，）；1)dtttfdxxfba )()()(3.13.1（續）（續） 定積分換元積分法定積分換元積分法2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系59證明證明設設)(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數數，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一個個原原函函數數.a )( 、b )( ,)

34、()( FF ( )( )F bF a 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系60應用換元公式時應注意應用換元公式時應注意:（1）（2）(3) (3) 換元公式也可反過來使用換元公式也可反過來使用 , , 即即( ) )xt 令令( )dbaf xx 或配元或配元f)(t)(dttfd( ) t ( ) t tfd)(t( ) t 配元不換限配元不換限2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系61例例1 1 計算計算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sinco

35、sdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52 x.54 換元換元要換限要換限 湊元湊元不換限不換限2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系62例例2 計算計算220d(0).aaxxa 解解 令令sin ,xat 則則dcosd,xatt 0,0 ;xt 當當時時2,.xat 時時 原式原式 =2a220(1cos2) d2att 21(sin2)22att20 24a 202cosdtt22xayxoyaS且且2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系63例例3 3 計算計算402d.

36、21xxx 解解 令令21 ,tx則則21, dd,2txxtt 0,x 當當時時4,x 時時3 .t 原式原式 =213212dtttt 3211(3)d2tt 311(3)23tt31223 ; 1t且且 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系64證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系650( )af x dx 0)(adttf0(,)aft dt )(xf為偶函數，則為偶函數，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(2

37、0 adttf)(xf為奇函數，則為奇函數，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系66證證（1）設）設tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系67 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）設）設tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系68 0)(sind

38、ttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系69例例6 6 若若f( (x) )是以是以T T為周期的連續函數，對任意的為周期的連續函數，對任意的a有有20200( )( );( )( ).TTTnTTf x dxf x dxf x dxnf x dx 由此得，由此得，0( )( )a TTaf x

39、dxf x dx 2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系703.2(3.2(續續) ) 定積分的分部積分法定積分的分部積分法定理定理 1( ) ,( ), ,u xv xC ab 設設則則證明證明 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x ( ) ( )u x v xba( ) ( )d( ) ( )dbbaau x v xxu x v xx ( ) ( )dbau x v xx ( ) ( )u x v x ba( )( )dbau xv xx , a b兩端在上積分兩端在上積分 bababadxuvuvdxvu bbbaaaudvuv

40、vdu 或或2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系71例例1 1 計算計算120arcsind.xx 解解原式原式 =arcsinxx1202102d1xxx 12 11222201(1) d(1)2xx 12 122(1)x12012 32 12021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系72例例2 2 證明證明20sindnnIxx 20cosdnxx 13312422,nnnn n 為偶數為偶數1342253,nnnn n 為奇數為奇數證證,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cos xv dxxxnxxInnn 2202201

41、cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI2021/6/16南京航空航天大學 理學院 數學系732220(1)sincdosnnInxxx 22021si(1)snin() dnxxxn 2(1)nnI (1)nnI由此得遞推公式由此得遞推公式12nnnnII 于是于是2mI 212mm 21mI 221mm 而而0I 20d x 2, 20sindnnIxx 201dsinxxI1故所證結論成立故所證結論成立 .0I1I22mI2322mm 42mI 3142 12mI2221mm 32mI4253 2021/6/