1、習題五1 .已知E(X) = 1, D(X) = 4，利用切比雪夫不等式估計概率P”： X -仁2.5.解：據切比雪夫不等式925 -2設隨機變量X的數學期望E(X)二，方程D(X)，利用切比雪夫不等式估計PX- J |-3j解：令；=3-,則由切比雪夫不等式P|X|-3心弩,有£PIX卜3以(3 )219.3.隨機地擲6顆骰子，利用切比雪夫不等式估計6顆骰子出現點數之和在2015 27之間的概率.解：設X為6顆骰子所出現的點數之和；Xi為第i顆骰子出現的點數，i =1,2|11,6，6則y Xi，且 X1, X2，,X6 獨立同分布, iW分布律為：1 2川6II11 HI 1，于

2、是<6 6 6 丿所以 d(x)= e(x2)-e2(x)3512，"1211,66因此-21E(X)八 E(XJ=6iH故由切比雪夫不等式得：1 355 9二 1二 1 二49 214 14.廠9即6顆骰子出現點數之和在15 27之間的概率大于等于 4.4. 對敵陣地進行1000次炮擊，每次炮擊中。炮彈的命中顆數的期望為0.4,方差為3.6,求在100(次炮擊中，有38(顆到42(顆炮彈擊中目標的概率解：以X表示第i次炮擊擊中的顆數(i=1,2|,1000)有 E(X) = 0.4，D(X) = 3.6據定理：-1000、則 P38： Xj 蘭 420-i¥J= 0

3、.25865. 一盒同型號螺絲釘共有100t，已知該型號的螺絲釘的重量是一個隨機變量, 期望值是10(g，標準差是10g.求一盒螺絲釘的重量超過10.2cg的概率.解：設X為第i個螺絲釘的重量，i =1|2|11,100,且它們之間獨立同分布，100于是一盒螺絲釘的重量 X = y X，且由E(X) = 10Q何5=10知E(X) = 100 E(X)二 10000、D(X) = 100 由中心極限定理有：= 1-0.977250.022756. 用電子計算機做加法時，對每個加數依四舍五入原則取整，設所有取整的舍 入誤差是相互獨立的，且均服從'-0.5,0.5的均勻分布.(1) 若有1

4、20(個數相加，貝U其誤差總和的絕對值超過 15的概率是多少？(2) 最多可有多少個數相加，使得誤差總和的絕對值小于10的概率達到90%以 上.解：設X為第i個加數的取整舍入誤差，貝X為相互獨立的隨機變量序列，且均服從-0.5,0.5t的均勻分布，則(1)因 n = 1200艮大，1200由獨立同分布中心極限定理對該誤差總和 為X，= 0.1336(2)依題意，設最多可有n個數相加,即誤差總和的絕對值超過15的概率達到13.36%則應求出最大的n，1使得p書Xk <10.9U kT丿由中心極限定理：2(1)-仁0.9 .即門A 0.95查正態分布得1 1.641210 212()2 44

5、6.16取n = 446,最多可有446個數相加.7. 在人壽保險公司是有3000個同一年齡的人參加人壽保險，在1年中，每人的 的死亡率為0.1%,參加保險的人在1年第1天交付保險費10元，死亡時家屬可以 從保險公司領取200(元，求保險公司在一年的這項保險中虧本的概率解以X表示1年死亡的人數依題意，x B(3000,0.001)注意到其概率為0 .即保險公司虧本的概率幾乎為0 .8假設Xi，X2，.,Xn是獨立同分布的隨機變量，已知E(Xk)k (k "2,3,4; i =1,2|,n).1 n證明：當n充分大時，隨機變量Zn- Xi近似服從正態分布.證明：由于Xi，X2，.,Xn

6、獨立同分布，則 x12,x|,.,x2 也獨立同分布由 E(Xk)k (k"2,3,4;i,2川,n)_ 2有E(X2)2，吠)詛*-卒2因此，根據中心極限定理：即當n充分大時，Zn近似服從NC 2,( 4 7 了n).9. 某保險公司多年的統計資料表明：在索賠戶中被盜索賠戶占2°%,以X表示在隨機抽查的10C個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(1) 寫出X的概率分布；(2) 利用德莫弗-位普拉斯中心極限定理求：被盜索賠戶不少于14戶，且不多于30戶的概率.解(1)xb(ioo,o.2)所以 pix = k，Co0C.2o.80Ckk = o,l,2l,iooE(X) =

7、 np= 20 , D(X)二叩(1- p) = 16(2)P|GX 乞 30= 0.994 0.933 仁 0.92710 .某廠生產的產品次品率為p=o.i，為了確保銷售，該廠向顧客承諾每 盒中有100只以上正品的概率達到95%問：該廠需要在一盒中裝多少只產品？ 解：設每盒中裝n只產品，合格品數XB(n,0.9),E(X) = 0.9，D(X)=0.09則 P X 100 = 1-PX 空 10010009所以03n 65解得n=117,即每盒至少裝117只才能以95%勺概率保證一盒內有100只正品11.某電站供應一萬戶用電，設用電高峰時，每戶用電的概率為0.9，利用 中心極限定理：(1)

8、計算同時用電戶數在9030戶以上的概率？(2)若每戶用電200瓦，問：電站至少應具有多大發電量，才能以 0.95勺概率保證供電？解 以X表示用電高峰時同時用電的戶數(1) 依題意,X B(10000,0.9)又 E(X)=900Q D(X) = 90Q于是據 定理：(2) 設電站至少具有x瓦發電量，才能Q.95勺概率保證供電，則因為要:x-1800000, “杳表得：1.65旦表得：6000得 x -1809900即電站具有180990瓦發電量，才能以0.95勺概率保證供電.(B)1、設隨機變量X服從參數為2的指數分布，X1,X2,lHXnl)相互獨立，且都與X的分布相同，求當n；1 n時，Y

9、, = -a X：依概率收斂的極限.(答案討)2、設Xi,X2,川Xn,ll|相互獨立，且分布相同，E（Xik）k（k = 1,2,3,4）存在,n則根據獨立同分布的中心極限定理，當n充分大時，Zn=-7 Xj2近似服從正態n y2分布，求分布參數（答案：上二）n3、某生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是一個隨機變量，其平均值 為50kg,標準差為5kg.若用最大載重量為5噸的卡車承運，利用中心極限定理 說明，每輛車最多可裝多少箱才能保證不超載的概率大于0.977（門（2） =0.977） ？（答案:98）習題六1. 設x1,x2J|i,x8是來自（0f）上均勻分布的樣本，0末知，求樣本的聯

10、 合密度函數解：2. 設總體X服從參數為'的泊松分布，其概率分布律為：廠23 若總體XL N（卩嚴），其中一個簡單隨機樣本，指出下列量中哪些是統計亙1 n 2八（Xi）2n y(1)；（2）二2已知，但"末知，而X1,X2|,Xn為它的量，哪些不是統計量1 n 2；（3）訂（Xi-X）2 ；n-1 =(4)X-3 一匚血；（5）X5(6)（6）給出的各統計量, 知參數，所以不是統計量.解:（1）、 （3）、 （4）、仁冷X）2而（2）、（5）給出的量因含有末求：樣本Xi，X2，.,Xn的聯合分布律為:解：nUk九 k_-n ei0,1,2|l,"1,2|,n .&q

11、uot;J4. 總體X的一組容量為10的樣本觀測值為：0,0.2,0.25,0.3,-0.1,2,0.15,10.7,-1,求經驗分布函數 Ro(x).解：將樣本觀測值重新排序為：一1 v 0.7v 0.3v 0.1v 0v 0.1* 0.2< 0.25：2，所以經驗分布函數為：5. 來自總體X的一組樣本觀測值為：2求樣本均值X ,樣本方差S和樣本標準差S.解：x = 104.6, s2=2.71, s= 1.646.6.在總體N(52,6.3)中隨機抽取一容量為36的樣本，求樣本均值X在50.8到53.8之間的概率._X - 52 X - 52解:由XN(52,6.孚36丙-6=N(0

12、,1)iI故所求概率為= 0.8293.2(n)，證明廠2 Y -7.設隨機變量X與Y相互獨立，且3(嚇2),飛一aX-n t(n)II2證明：由于XU N岸嚴)，則據t分布的定義尋n(JY.2 n=L t(n)8.若對總體X有EX八i , DX八2，取X的容量為n的樣本，樣本均值為X，問n多大時，有-2 x 11解:n)即(0.1 n) 一 0.975查表得 0.1 n-1.96,即 n 385 .9.設總體X N(150,400,) 丫口 N(125,625)并且X , 丫相互獨立，現從兩總體中分別抽取容量為5的樣本，樣本均值分別為X , 丫，求 pXy - 0解:PX-Y 3P(X&qu

13、ot;25I V205,105= 0.0401.2 10. 設總體x，丫都服從正態分布ncf)，并且X，丫相互獨立，X，丫分 別是總體X和丫的容量為n的樣本均值，確定n的值，使P-_y0 o 0 1解由于于是，二 0.01即 ©(£)= 0.995,查表得 £ = 2.58, n =13.3128 取 n = 14 .11. 設總體xd N( 0 , 1 X1,X2J|,X6為X的一個樣本，設Y =(XX2 X3)2 (X4 X5 X6)2，求常數 C,使(丫口 2)分布.解由于X1, X2,llI,X6獨立同分布所以于是(X1 X2 X3)2 (X X5 X6)

14、2 =YY2 -其中寸卩'2(1),肓】八(1)所以 Z(Y2 +Y2) = 3 L(X X2 + X3)2 +(X4 + X5 + X6)2 33C 1即 C = 3 .TO 2、12. 設Xi，X2，|,Xio為來自總體N(0,0.09的樣本，求Pp Xi九44 .L iT解 設總體為X，則由xP N(0,0.09可知Xx謬 N(O,1),爲(0,1), i=i,2川,10,由定理可知利用2分布表，可得0.10 .13. 設X1,X2,|,X5是總體XN(0,的)一個樣本，若統計量窪；2血，試確定c與n .解由于Xi獨立同分布(> 1,2,3,4,5)所以人#2"

15、N(0,1), x； + x4 + x5 口八，且兩者相互獨立，由t分布定義14.設總體xPn(02), x1,x2是樣本，求丫(XX2)2(X1 - X2)2的分布.解記 ujX2 “Xj2,則有丫二(人 XJ2(X. - XJ2u2V2由于 XX2【N(022)X-X2 N(0,2 2) 則u N(0,iy： N(ou2 2V2口 2. 下面證明u和V相互獨立.因為u , V都服從標準正態分布N(0,1),因此只要證明u , V互不相關，即covUV)=0即可.由于 E(U) =O,E(V) = 0,因此，二占 E(X：)-E(X；) =0.u2 口這樣丫 =卩用(1,1)15.設總體XN

16、(h，b2)，丫”(匕嚴；)，從二總體中分別抽取樣本,得到下列數據：口=8 , 乂 = 10.5 q2 = 42.25； n2 =10 , y = 13.4 £ = 56.25CT 2求概率p(t2 ：: 440).°1由于1 / 2故 P(F -3.305)0.05.CT 2從而PC 440尸' 1三 4225 4.40)二 2 56.25-0.95 .B1.設有N個產品，其中有M個次品，進行放回抽樣，定義 X如下:求樣本Xi，X2，,Xn的聯合分布.解：因為是放回抽樣，所以Xi，X2，.,Xn獨立同分布，MMPXi =N，PX° =1N.則XiX，,Xn的聯合分布為nnPXi p,川,Xn = xn = (M/ N直(1- M/N)n*x.2設總體XL N(An), X“X2，,Xn是樣本，證明:n_E(臣(Xj-X)22) = (n2-"4.i d證：由2(n-1)和(10八1人-力2CTy得n_2' (人-X)2耳 22(n-1).乍(Xi -丨日X)2| 11 121丿2n使用2分布期望和方差的公式，E( 2) = n-1,D( 2) = 2(n-1),于是,n2 2E(Xi-X)22)-i 4"42(n-1)+(n-1f=(n2-14 .3.設X1, X2,.,X9是來自正態總