1、淺議直線斜率公式的應用貴州省岑鞏縣第一中學 蔣世軍摘要：直線是一種簡單的幾何圖形，而斜率是直線的本質屬性，它直觀反映了一條直線的傾斜程度。直線的斜率公式是平面解析幾何中的重要公式，也是高中數學的一個重要知識點。在新課標和考試說明中都有較高的要求，由于斜率公式與代數中的分式在結構上有密切的聯系。所以它除了直接用來求直線方程，求直線的斜率外，還可以用來解決其他一些問題。如求分式函數的值域（最值），解決數列有關問題，以及不等式的有關問題等-都可借助斜率的幾何意義，巧妙的解決。關鍵詞：直線 斜率公式 應用 下面就問題舉例說明：一、求直線的傾斜角例1：已知直線l1經過兩點a(2，1)、b(6，)，直線l

2、2的斜率為直線l1的斜率的一半，求直線l2的傾斜角.分析：先利用過兩點的斜率公式求l1的斜率，再求得l2的斜率，從而求得.解：設直線l1、l2的斜率斜率分別為k1、k2，則由已知可求得，k2 即tan， 0，) 點評：經過兩點的直線的斜率公式在解題中有廣泛的應用，必須熟記并靈活應用.根據斜率求傾斜角時，在tank中，的取值與k的正負有關，當k0時，當k0時，另外要注意斜率不存在時，直線的傾斜角為。 二、證三點共線例2：求證：a(1，3) 、b（5，7）、c（10，12）三點在同一條直線上。分析：要證a、b、c三點共線，只需證直線ab,ac的斜率相等。證明： 又直線ab,ac有共同的端點a。 a

3、、b、c三點在同一條直線上。例3：過拋物線焦點的一條直線與拋物線交于p、q兩點，自q點向拋物線的準線作垂線，垂足為，求證：p過拋物線的頂點。 證明：設拋物線方程為y=2px(p>0)，則焦點f的坐標為（），準線方程為x=-, yf(,0)xpq1可設過焦點f的直線方程為x=my+o解方程組q解得 將 所以 p 因此所以p、o、q三點共線。 即直線p過拋物線的頂點o點。評注：兩直線ab、ac的斜率相等a、b、c三點共線；反過來，a、b、c三點共線兩直線ab、ac的斜率相等（斜率存在）或都不存在。axmym0m三、求函數的值域（最值）例4：求函數的值域。解：若將y看成是動點m（cos，）和定

4、點a（-2，-1）連線的斜率，問題就變得較簡單。不妨設x=cos，y= 消去得 （如右圖）當ma與橢圓相切時，得出斜率的最大值與最小值。令切線的斜率為k，則切線的方程為： 將其方程與橢圓方程消去y得： （*）pxyqoy=x因此該方程的判別式 解得 所以 函數的值域是。 四、不等式證明和解不等式中的應用例5：已知a、b、m都是正數，并且求證： （舊人教版第二冊6.3節例2）分析：對問題我們可以把看成是經過p（b，a），q（-m，-m）兩點的直線的斜率。 即 ，把看成是經過點p（b，a）、o（0,0）兩點的直線的斜率。即 。（如圖）證明：如圖， 點p（b，a）在第一象限且必在直線y=x的下方，又

5、因為m0，所以點q（-m，-m)在第三象限且必在直線y=x上，連結op、pm，則直線op的斜率為，直線pq的斜率為；因為直線pq的傾斜角大于直線op的傾斜角。 所以 例6：關于x的不等式的解集為r，求a的取值范圍。分析：令為斜率k1=2直線方程，是過點a（2,0）且斜率k2=a的直線方程。由于不等式的解集為r。即xr時，y1只能有k1 = k2 即a = 2 。解:略。 五、比較大小 例7：若，則（ ）a. b. c. d. （高考題）解：因為，表示函數的圖象上的點（x，y）與坐標原點o連線的斜率，如圖 ， 則 由圖象可知： 即，選c。說明：也可以考察函數的單調性，即利用它的導數來嚴格求解，但對于選擇題、填空題，用數形結合的思想將問題轉化為過曲線上的點與原點的直線的斜率，問題便可直觀、簡捷地解出，但圖形須相對準確。六、構造直線斜率解決數列問題 數列是一種特殊函數，他的定義域是自然數集n或n的子集，任何一個數列都可以對應的“還原”為一個函數。從圖像上看，表示數列的點在對應函數的圖像上，高中教材中比較典型的等差數列的通項公式：，若令，則“還原”為一次函數。其中斜率，截距,那么表示數列的點必在直線上，這種“還原”就為我們用直線方式觀察等差數列問題創造了條件。例8：在等差數列中，求。解：從函數的觀點來看，在等差數列中，通項是自變量n的一次函數，則兩點 和，即（3,6）和（8,21