1、5.35.3平面向量的數量積與平面向量的應用平面向量的數量積與平面向量的應用第五章第五章2022內容索引必備知識必備知識 預案自診預案自診關鍵能力關鍵能力 學案突破學案突破素養提升微專題素養提升微專題5 5 數學運算數學運算平面向量與三角形的平面向量與三角形的“四心四心”必備知識必備知識 預案自診預案自診【知識梳理知識梳理】 1.平面向量的數量積2.向量數量積的運算律交換律ab=ba分配律(a+b)c=ac+bc數乘結合律(a)b=(ab)=a(b) (為實數)定義設兩個非零向量a,b的夾角為,則數量|a|b|cos 叫作a與b的數量積,記作ab投影|a|cos 叫作向量a在b方向上的投影,|

2、b|cos 叫作向量b在a方向上的投影幾何意義 數量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3.平面向量數量積的性質及坐標表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為.4.向量在平面幾何中的應用 常用結論1.平面向量數量積運算的常用公式:(1)(a+b)(a-b)=a2-b2.(2)(ab)2=a22ab+b2.2.當a與b同向時,ab=|a|b|;當a與b反向時,ab=-|a|b|.3.a與b的夾角為銳角,則有ab0,反之不成立(為0時不成立);a與b的夾角為鈍角,則有ab0,則a和b的夾角為銳角;若ab0,則a和b的夾角為鈍角.()(3)

3、若ab=0,則必有ab.()(4)(ab)c=a(bc).()2.(2020全國3,理6)已知向量a,b滿足|a|=5,|b|=6,ab=-6,則cos=()答案 d a.-3b.-2c.2d.3答案 c 4.(2020全國1,文14)設向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,則m=.答案5解析由ab,可得ab=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,解得m=5.5.(2020全國2,理13)已知單位向量a,b的夾角為45,ka-b與a垂直,則k=.關鍵能力關鍵能力 學案突破學案突破考點考點1 1平面向量數量積的運算平面向量數量積的運算(2)以點a為坐標原點,ab,ad所在直線

4、分別為x,y軸建立如下圖所示的平面直角坐標系,思考求向量數量積的運算有幾種形式?解題心得1.求兩個向量的數量積有三種方法:(1)當已知向量的模和夾角時,利用定義求解,即ab=|a|b|cos (其中是向量a與b的夾角).(2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.(3)利用數量積的幾何意義.數量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積.2.解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時,可利用向量的加減運算或數量積的運算律化簡.但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關系是相等還是互補.考點考點2 2平面向量

5、的模及應用平面向量的模及應用【例2】 (1)(2020陜西二模,文3)已知向量a=(1,-1),b=(x,2),且ab,則|a+b|的值為()答案 (1)d(2)5 思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?解題心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用 及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的運算轉化為數量積運算;(2)幾何法,利用向量的幾何意義求解.2.求向量模的最值(范圍)的方法:(1)代數法,把所求的模表示成某個變量的函數,再用求最值的方法求解;(2)幾何法(數形結合法),弄清所求的模表示的幾何意義,結合動點表示的圖形求解.答案 (1)d(2)d 考點考點3 3平面向量數

6、量積的應用平面向量數量積的應用(多考向探究多考向探究)考向1求平面向量的夾角【例3】 (1)(2019全國1,理7)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,則a與b的夾角為()思考兩向量數量積的正負與兩向量的夾角有怎樣的關系? 答案 (1)b(2)c解析 (1)因為(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.設a與b的夾角為,考向2求參數的值或范圍 思考兩向量的垂直與其數量積有何關系? 答案 b 考向3在三角函數中的應用【例5】 (2020河南高三質檢,17)已知向量a=(2sin x,-sin 2x),b=(-2 sin x,2),函數f(x)=ab+2

7、+1.(1)求函數f(x)的最小正周期;(2)求函數f(x)的遞減區間.思考利用向量求解三角函數問題的一般思路是什么?考向4在解析 幾何中的應用【例6】 (2020全國3,文6)在平面內,a,b是兩個定點,c是動點.若 =1,則點c的軌跡為()a.圓b.橢圓c.拋物線d.直線思考在向量與解析幾何相結合的題目中,向量起到怎樣的作用?答案 a解析 以ab所在直線為x軸,線段ab的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系.解題心得1.數量積大于0說明不共線的兩個向量的夾角為銳角;數量積等于0說明不共線的兩個向量的夾角為直角;數量積小于0說明不共線的兩個向量的夾角為鈍角.3.求一向量在另一向量上的投影有兩

8、種方法:一是利用向量投影的概念求,二是利用向量的數量積求.4.解決與向量有關的三角函數問題的一般思路是應用轉化與化歸的數學思想,即通過向量的相關運算把問題轉化為三角函數問題.5.向量在解析幾何中的作用(1)載體作用:解決向量在解析幾何中的問題時關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”,導出曲線上點的坐標之間的關系,從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.(2)工具作用:利用數量積與共線定理可解決垂直、平行問題.特別地,向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法.(2)因為a=(1,1),b=(-1,3),所以a-b=(1+,1-3).又因為(a-b

9、)c,c=(2,1),所以2(1+)+(1-3)=0,即2+2+1-3=0,解得=3.要點歸納小結1.平面向量的坐標表示與向量表示的比較:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),是向量a與b的夾角.要點歸納小結2.計算數量積的三種方法:定義、坐標運算、數量積的幾何意義,要靈活選用,與圖形有關的不要忽略數量積幾何意義的應用.3.利用向量垂直或平行的條件構造方程或函數是求參數或最值問題常用的方法與技巧.4.向量在三角函數中的應用對于向量與三角函數結合的題目,其解題思路是用向量運算進行轉化,化歸為三角函數問題或三角恒等變形問題或解三角形等問題.5.向量在解析幾何中的應用向量在解析幾何中的應用,主

10、要是以向量的數量積給出一種條件,通過向量轉化,進而利用直線和圓錐曲線的位置關系等相關知識來解答.要點歸納小結6.向量在物理中的應用物理學中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解、合成與向量的加減法相似,因此可以用向量的知識來解決某些物理問題;物理學中的功是一個標量,是力f與位移s的數量積,即w=|f|s|cos (為f與s的夾角).1.根據兩個非零向量夾角為銳角或鈍角與數量積的正、負進行轉化時,不要遺漏向量共線的情況.2.|ab|a|b|當且僅當ab時等號成立.3.注意向量夾角和三角形內角的關系.素養提升微專題素養提升微專題5 5 數學運算數學運算平面向量平面向量與三角形的與三角形的“四心四心” ” 1.平面向量與三角形的“重心”問題a.abc的內心b.abc的垂心c.abc的重心d.ab邊的中點答案 c 2.平面向量與三角形的“垂心”問題 答案 b 3.平面向量與三角形的“內心”問題 答案 b解