1、4.2同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式必備知識預案自診知識梳理1.同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系:sin2+cos2=.(2)商數(shù)關系:sincos=2+k,kz.2.三角函數(shù)的誘導公式公式一二三四五六角2k+(kz)+-2-2+正弦sin 余弦cos 正切tan 口訣函數(shù)名不變,符號看象限函數(shù)名改變,符號看象限1.特殊角的三角函數(shù)值2.同角三角函數(shù)基本關系式的常用變形(1)(sin cos )2=12sin cos ;(2)sin =tan cos 2+k,kz;(3)sin2=sin2sin2+cos2=tan2tan2+1;(4)cos2=cos2sin2+cos2=1tan2+1

2、.考點自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)對任意的角,有sin2+cos2=1.()(2)若r,則tan =sincos恒成立.()(3)sin(+)=-sin 成立的條件是為銳角.()(4)若cos(n-)=13(nz),則cos =13.()2.(2020河北衡水中學模擬一,理3)已知cos-2=-255,32,則tan =()a.2b.32c.1d.123.(2020河北唐山模擬,理4)已知角的頂點在原點,始邊與x軸的正半軸重合,終邊上一點a(2sin ,3)(sin 0),則cos =()a.12b.-12c.32d.-324.函數(shù)f(x)=15sinx+3

3、+cosx-6的最大值為()a.65b.1c.35d.15關鍵能力學案突破考點同角三角函數(shù)基本關系式的應用【例1】(1)若tan(-)=12,則sin2+1cos2-sin2=()a.-12b.-2c.12d.2(2)已知tan =2,則sin2+sin cos -2cos2等于()a.-43b.54c.-34d.45解題心得1.利用sin2+cos2=1可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化,利用tan=sincosk+2,kz可以實現(xiàn)角的弦切互化.2.“1”的靈活代換:1=cos2+sin2=(sin+cos)2-2sincos=tan4.3.關于sin,cos的齊次式,往往化為關于tan的式子.對

4、點訓練1(1)已知是第四象限角,sin =-1213,則tan 等于()a.-513b.513c.-125d.125(2)若3sin +cos =0,則1cos2+2sincos的值為()a.103b.53c.23d.-2考點利用sincos與sincos關系求值【例2】(1)(2020山西太原三模,理3)已知sin -cos =2,(0,),則tan =()a.-1b.-22c.22d.1(2)已知為第二象限角,sin ,cos 是關于x的方程2x2+(3-1)x+m=0(mr)的兩根,則sin -cos =()a.1-32b.1+32c.3d.-3解題心得1.通過平方,對稱式sin+cos

5、,sin-cos,sincos之間可建立聯(lián)系,若令sin+cos=t,則sincos=t2-12,sin-cos=2-t2(注意根據(jù)的范圍選取正、負號).2.利用上述關系,對于sin+cos,sin-cos,sincos這三個式子,可以知一求二.對點訓練2(2020江西名校大聯(lián)考,理3)已知-2,0,sin(-2)=-12,則sin -cos =()a.52b.-52c.62d.-62考點誘導公式的應用【例3】(1)已知sin(-)=log814,且-2,0,則tan(2-)的值為()a.-255b.255c.255d.52(2)已知是第四象限角,且sin+4=35,則tan-4=.解題心得1

6、.利用誘導公式化簡三角函數(shù)的基本思路:(1)分析結(jié)構(gòu)特點,選擇恰當公式;(2)利用公式化成單角三角函數(shù);(3)整理得最簡形式.2.化簡要求:(1)化簡過程是恒等變形;(2)結(jié)果要求項數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡單,能求值的要求出值.3.用誘導公式求值時,要善于觀察所給角之間的關系,利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關系有3-與6+,3+與6-,4+與4-等,常見的互補關系有6-與56+,3+與23-,4+與34-等.對點訓練3(1)已知a=sin(k+)sin+cos(k+)cos(kz),則a的值構(gòu)成的集合是()a.1,-1,2,-2b.-1,1c.2,-2d.1,-1,0

7、,2,-2(2)sin 600+tan 240的值等于.(3)已知sin712+=23,則cos-1112=.考點同角三角函數(shù)基本關系式和誘導公式的綜合應用【例4】(1)(2020河北邯鄲聯(lián)考)已知3sin3314+=-5cos514+,則tan514+=()a.-53b.-35c.35d.53(2)已知為銳角,且2tan(-)-3cos2+5=0,tan(+)+6sin(+)-1=0,則sin =()a.355b.377c.31010d.13解題心得1.利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公式求值或化簡時,關鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,靈活使用公式進行變形.2.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.對

8、點訓練4(1)已知角tan =2,則sin2+sin(3-)cos(2+)-2cos2等于()a.-26b.26c.-23d.23(2)已知sin =255,則tan(+)+sin(52+)cos(52-)=.4.2同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式必備知識預案自診知識梳理1.(1)1(2)tan 2.-sin -sin sin cos cos -cos cos -cos sin -sin tan -tan -tan 考點自診1.(1)(2)(3)(4)2.acos-2=sin=-255,又,32,cos=-55,tan=2.故選a.3.a由三角函數(shù)定義得tan=32sin,即sincos=32

9、sin,得3cos=2sin2=2(1-cos2),解得cos=12或cos=-2(舍去).故選a.4.a因為cosx-6=cos2-x+3=sinx+3,所以f(x)=15sinx+3+sinx+3=65sinx+3,故函數(shù)f(x)的最大值為65.故選a.關鍵能力學案突破例1(1)d(2)d(1)tan(-)=-tan(-)=tan=12,sin2+1cos2-sin2=2sin2+cos2cos2-sin2=2tan2+11-tan2=2(12)2+11-(12)2=2.(2)sin2+sincos-2cos2=sin2+sincos-2cos2sin2+cos2=tan2+tan-2ta

10、n2+1,又tan=2,故原式=4+2-24+1=45.對點訓練1(1)c(2)a(1)因為是第四象限角,sin=-1213,所以cos=1-sin2=513,故tan=sincos=-125.(2)由題知,3sin+cos=0,且cos0,故tan=-13,1cos2+2sincos=cos2+sin2cos2+2sincos=1+tan21+2tan=1+(-13)21-23=103.例2(1)a(2)b(1)由sin-cos=2,得1-2sincos=2,所以2sincos=-1,又(0,),所以cos0,cos0,因為(sin-cos)2=1-2sincos=1-m=1+32,所以sin-cos=1+32=2+32=4+234=1+32.故選b.對點訓練2d因為sin(-2)=-12,所以sin2=-12,即2sincos=-12.所以(sin-cos)2=1-2sincos=1+12=32.又因為-2,0,所以