1、功和功率功和功率呂叔湘中學呂叔湘中學龐留根龐留根2004年年9月月Email: 功和功率功和功率一、功一、功 1.1.功的公式功的公式 2.2.重力的功重力的功 3.3.摩擦力的功摩擦力的功 4 4. .彈力的功彈力的功 P73/例例1 例例2 例例3 3 5.5.合力的功合力的功 例例4 4 P70/例例3 6. 6.變力做功變力做功 例例5 5 89年高考年高考 例例6 例例7 例例8二、二、功率功率 P71/例例1 例例9 98上海高考上海高考 例例13 三三、汽車運行問題、汽車運行問題 例例10 例例11 例例12一一. 功功1. 功的公式：功的公式：W=Fscos 0 90 力力F對

2、物體做正功對物體做正功, = 90 力力F對物體不做功對物體不做功, 90 180力力F對物體做負功。對物體做負功。 特別注意：特別注意： 公式公式只只適用于適用于恒力恒力做功做功 F和和S是對應同一個物體的；是對應同一個物體的； 某力做的功僅由某力做的功僅由F、S和和 決定決定, 與其它力是否與其它力是否 存在以及物體的存在以及物體的 運動情況都無關。運動情況都無關。2. 重力的功：重力的功：WG =mgh 只只 跟物體的重力及物體跟物體的重力及物體 移動的始終位置的高度差有關，跟移動的路徑無關。移動的始終位置的高度差有關，跟移動的路徑無關。3. 摩擦力的功（包括靜摩擦力和滑動摩擦力）摩擦力

3、的功（包括靜摩擦力和滑動摩擦力）摩擦力可以做負功摩擦力可以做負功摩擦力可以做正功摩擦力可以做正功摩擦力可以不做功摩擦力可以不做功 一對靜摩擦力的總功一定等于一對靜摩擦力的總功一定等于0一對滑動摩擦力的總功等于一對滑動摩擦力的總功等于 - fS4. 彈力的功彈力的功（1）彈力對物體可以做正功可以不做功，）彈力對物體可以做正功可以不做功， 也可以做負功。也可以做負功。 （2）彈簧的彈力的功）彈簧的彈力的功W = 1/2 kx12 1/2 kx22（x1 、x2為彈簧的形變量）為彈簧的形變量）5. .合力的功合力的功有兩種方法：有兩種方法：（1）先求出合力，然后求總功，表達式為）先求出合力，然后求總

4、功，表達式為 WFS cos（ 為合力與位移方向的夾角）為合力與位移方向的夾角）（2）合力的功等于各分力所做功的代數和，即）合力的功等于各分力所做功的代數和，即 WW1 +W2+W3+6. 變力做功變力做功 （1）一般用一般用動能定理動能定理 W合合=EK求之求之 ； （2）也可用（微元法）也可用（微元法）無限分小法無限分小法來求來求, 過程無過程無限分小后，限分小后， 可認為每小段是恒力做功。可認為每小段是恒力做功。 （3） 還可用還可用F-S圖線下的圖線下的“面積面積”計算計算.二二. .功率功率描述做功快慢的物理量描述做功快慢的物理量1.定義式：定義式： ，所求出的功率是時間所求出的功率

5、是時間t內的內的平均功率。平均功率。tWP 2.計算式：計算式： ，其中，其中是力與速度是力與速度間的夾角。用該公式時，要求間的夾角。用該公式時，要求F為為恒力恒力。 cosFvP （1）當）當v為即時速度時，對應的為即時速度時，對應的P為即時功率；為即時功率；（2）當）當v為平均速度時，對應的為平均速度時，對應的P為平均功率。為平均功率。（3）重力的功率可表示為重力的功率可表示為 ，僅由重，僅由重力及物體的豎直分運動的速度大小決定。力及物體的豎直分運動的速度大小決定。 mgvPG（4）若力和速度在一條直線上，上式可簡化為若力和速度在一條直線上，上式可簡化為 Pt=Fvt例例：自由落體運動的物

6、體下落：自由落體運動的物體下落t 秒時的即時功率為秒時的即時功率為P=mgvt=mggt=mg2t，t 秒內的平均功率為：秒內的平均功率為：tmggt)/mg(vmgP22120 tmgtgtmgtmghtWP222121 或或（5）由公式由公式P=Fvt可知，當功率一定時，即時速度可知，當功率一定時，即時速度越大，則作用力越小；反之，作用力越大，速度越越大，則作用力越小；反之，作用力越大，速度越小。汽車上坡時要慢速行駛就是這個原因。小。汽車上坡時要慢速行駛就是這個原因。 P73/例例1.如圖示，板長為如圖示，板長為L，板的，板的B端放有質量端放有質量為為m的小物體，物體與板的動摩擦因素為的小

7、物體，物體與板的動摩擦因素為，開始時板水平，若緩慢轉過一個小角度開始時板水平，若緩慢轉過一個小角度的過的過程中，物體與板保持相對靜止，則這個過程中程中，物體與板保持相對靜止，則這個過程中（ ）A. 摩擦力對摩擦力對P做功為做功為 mgLcos(1-cos)B. 摩擦力對摩擦力對P做功為做功為mgLsin(1-cos)C. 彈力對彈力對P做功為做功為mgLcossinD. 板對板對P做功為做功為mgLsinPBAPLDmgfN 例例2、如圖所示，在光滑水平面上放一木板，木板如圖所示，在光滑水平面上放一木板，木板的左端放一物體，對物體施加一水平恒力的左端放一物體，對物體施加一水平恒力F F，將物體

8、，將物體由靜止開始從木板右端拉出，如果第一次木板被固定由靜止開始從木板右端拉出，如果第一次木板被固定在地面上，第二次木板未被固定，則這兩種情況下在地面上，第二次木板未被固定，則這兩種情況下（ ）(A)(A)摩擦力大小相同摩擦力大小相同 (B)F(B)F做的功相同做的功相同(C)(C)摩擦產生熱相同摩擦產生熱相同 (D)(D)物體獲得的動能相同物體獲得的動能相同 AFBAFBf1f2f1f2SS2S1A C例例3.如圖所示如圖所示,相同物體分別自斜面相同物體分別自斜面AC和和BC頂端由頂端由靜止開始下滑靜止開始下滑, 物體與兩斜面的動摩擦因數相同物體與兩斜面的動摩擦因數相同,物體物體滑至斜面底部

9、滑至斜面底部C點時的動能分別為點時的動能分別為EA和和EB,下滑過程中下滑過程中克服摩擦力所做的功分別為克服摩擦力所做的功分別為WA和和WB，則，則 ( )A.EAEB,WA=WB B.EA=EB,WAWBC.EAEB,WAWB D.EAEB,WAWBABC解：解：設底邊長為設底邊長為b，斜面傾角為，斜面傾角為，克服摩擦力所做的功，克服摩擦力所做的功W= -mgcos S= -mg b WA=WB 由動能定理：由動能定理： W合合=EK -0 =mgh - mgb EAEB A ABF2F1例例4. 如圖所示，物體受到二如圖所示，物體受到二 個水平恒力個水平恒力F1 和和 F2相作相作用，用，

10、F1和和F2互垂直，物體沿光滑水平面從互垂直，物體沿光滑水平面從A點運動到點運動到B點的過程中，位移為點的過程中，位移為S，AB連線與連線與F1間的夾角為間的夾角為 ，則下面關于外力做的功的表達式一定正確的是：則下面關于外力做的功的表達式一定正確的是： （ ） (A) (B) (F1+F2) S (C) F1Scos + F2Ssin (D) F1Ssin + F2Scos sFF2221 為合外力與位移的夾角為合外力與位移的夾角注意：注意： 合外力是矢量，本題的合外力合外力是矢量，本題的合外力 與位移的夾與位移的夾角角 難以確定，并不等于難以確定，并不等于 （若（若vA=0=0時才等于時才等

11、于 ） FcosSFW用總功等于各力做功的代數和求之用總功等于各力做功的代數和求之CP70/例例3、質量為、質量為m的物塊放在光滑的水平面上的物塊放在光滑的水平面上,繩的一繩的一端固定，在繩的另一端經動滑輪用與水平方向成端固定，在繩的另一端經動滑輪用與水平方向成角、角、大小為大小為F的力拉物塊，如圖示，將物塊由的力拉物塊，如圖示，將物塊由A點拉至點拉至B點，點，前進前進S，求外力對物體所做的總功有多大？，求外力對物體所做的總功有多大？FABs解一解一：注意：注意W=FS cos中的中的S應是力的應是力的作用點作用點的位移的位移,當物體向右移動當物體向右移動s 時，力時，力F的的作用點作用點既有

12、水平位移既有水平位移S，又有沿繩向的位移又有沿繩向的位移S，合位移為，合位移為S合合， FAssS合合S合合=2S cos/2 W=F S合合cos/2 =FS(1+cos)解二解二：外力對物體所做的總功等效于水平繩和斜繩上：外力對物體所做的總功等效于水平繩和斜繩上的兩個力做功的代數和的兩個力做功的代數和FFW=FS+FS cos =FS（1+cos)例例5、一輛馬車在力、一輛馬車在力F=100N的作用下繞半徑為的作用下繞半徑為50m的的圓形軌道做勻速圓周運動，當車運動一周回到原位圓形軌道做勻速圓周運動，當車運動一周回到原位置時，車子克服阻力所做的功為多少？置時，車子克服阻力所做的功為多少？解

13、：解： 阻力的方向時刻在變，是變力做功的問題，阻力的方向時刻在變，是變力做功的問題，不能直接由功的公式計算。不能直接由功的公式計算。采用微元法解之，將圓分成很多很多小段，在這些小采用微元法解之，將圓分成很多很多小段，在這些小段中，力可以看作恒力，于是段中，力可以看作恒力，于是Wf = fs1 fs2 fs3 fs4 fs5 = fs= Fs = 1002R= 3.14 104 JW克克= Wf= 3.14 104 J練習練習. 掛在豎直墻上的畫長掛在豎直墻上的畫長1.8m，畫面質量為，畫面質量為100g，下面畫軸質量為下面畫軸質量為200g，今將它沿墻緩慢卷起，需做，今將它沿墻緩慢卷起，需做

14、J的功的功.(g取取10m/s2)解解：W= mg 1/2 h+Mgh=0.9+3.6 = 4.5 J 4. 5 一質量為一質量為m的小球，用長為的小球，用長為L的輕繩懸掛在的輕繩懸掛在O點，小球在水平拉力點，小球在水平拉力F的作用下，從平衡位置的作用下，從平衡位置P點很點很緩慢地移動到緩慢地移動到Q點，如圖示，則拉力做的功為：點，如圖示，則拉力做的功為：( ）89年高考年高考、PQO A. mgLcos B. mgL(1-cos) C. FLsin D. FL解：解：注意注意F是變力，是變力，F做的功不能用公式做的功不能用公式W=FScos計算，只能用動能定理計算。計算，只能用動能定理計算。

15、畫出小球的受力圖如圖示：畫出小球的受力圖如圖示：FmgT由動能定理由動能定理 WG+WF=0 WF= - WG= mgL(1-cos) B例例6、如圖所示，在高為、如圖所示，在高為h的光滑水平臺面上靜止放的光滑水平臺面上靜止放置一質量為置一質量為m的物體，地面上的人用跨過定滑輪的細的物體，地面上的人用跨過定滑輪的細繩拉物體。在人從平臺邊緣正下方處以速度繩拉物體。在人從平臺邊緣正下方處以速度v勻速向勻速向右行進右行進s距離的過程中，人對物體所做的功為多少？。距離的過程中，人對物體所做的功為多少？。(設人的高度、滑輪的大小及摩擦均不計設人的高度、滑輪的大小及摩擦均不計) hsm解解：由運動的分解，

16、如圖示：由運動的分解，如圖示：vS =vtS1=v1t人前進人前進s 時，物體的速度為時，物體的速度為v1， v1=vcos 由動能定理：由動能定理： （開始時人的速度為（開始時人的速度為0）W=EK= 1/2 mv12 = 1/2 mv2 cos 2)sh(svmW22222 用平均力法用平均力法.鐵錘每次做功都用來克服鐵釘阻鐵錘每次做功都用來克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正比，比，F=-f=kx，可用平均阻力來代替，可用平均阻力來代替.如圖如圖(a)例例7. 用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設木塊對鐵釘的用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，

17、設木塊對鐵釘的阻力與鐵釘進入木塊內的深度成正比阻力與鐵釘進入木塊內的深度成正比.在鐵錘擊第在鐵錘擊第一次時，能把鐵釘擊入木塊內一次時，能把鐵釘擊入木塊內1cm，問擊第二次時，問擊第二次時，能擊入多少深度能擊入多少深度 ? (設鐵錘每次做功相等設鐵錘每次做功相等)解一：解一：x1x2(a)第一次擊入深度為第一次擊入深度為x1，平均阻力，平均阻力F1= 1/2 kx1，做功為做功為W1= F1 x1=1/2kx21.第二次擊入深度為第二次擊入深度為x1到到x2，平均阻力平均阻力F2=1/2 k(x2+x1), 位移為位移為x2-x1，做功為做功為W2= F2(x2-x1)=1/2 k(x22-x2

18、1).兩次做功相等：兩次做功相等：W1=W2.2解后有：解后有：x2 x1=1.41cm.x=x2-x1=0.41cm.解二：解二：用圖像法用圖像法因為阻力因為阻力F=kx,以以F為縱坐標，為縱坐標，F方向上的位移方向上的位移x為為橫坐標，作出橫坐標，作出F-x圖像，如圖圖像，如圖(b)，xF0 x1x2kx1kx2(b)曲線下面積的值等于曲線下面積的值等于F對鐵釘做的功對鐵釘做的功. （示功圖）（示功圖）由于兩次做功相等，故有：由于兩次做功相等，故有：S1 = S2 (面積面積)，即：，即：1/2 kx21=1/2 k(x2+x1)(x2-x1)，2解后有：解后有：x2 x1=1.41cm.

19、 x=x2-x1=0.41cm.例例8. 如圖所示，由于機器帶動豎直軸轉動，使長為如圖所示，由于機器帶動豎直軸轉動，使長為l 的輕繩拴著質量為的輕繩拴著質量為m的小球在水平面做勻速圓周運動，的小球在水平面做勻速圓周運動，輕繩的運動軌跡為圓錐曲面。開始繩與豎直方向的輕繩的運動軌跡為圓錐曲面。開始繩與豎直方向的夾角為夾角為30，后來機器轉動速度加大，使繩與豎直，后來機器轉動速度加大，使繩與豎直方向的夾角變為方向的夾角變為60。在此過程中，機器對小球做。在此過程中，機器對小球做的功為多大的功為多大? 3030【分析分析】當小球在水平面內做圓錐擺運動時，輕繩的拉當小球在水平面內做圓錐擺運動時，輕繩的拉

20、力與重力的合力提供向心力，一定沿半徑指向圓心，力與重力的合力提供向心力，一定沿半徑指向圓心， 輕繩與豎直方向夾角增大時，所受輕繩與豎直方向夾角增大時，所受向心力增加，小球線速度增大，動能增向心力增加，小球線速度增大，動能增大，同時小球的位置升高，重力勢能增大，同時小球的位置升高，重力勢能增大，重力做負功大，重力做負功根據動能定理可求出機器對小球做的功。根據動能定理可求出機器對小球做的功。3030解：解： 設輕繩與豎直桿夾角為設輕繩與豎直桿夾角為，對小球受力分析如圖，對小球受力分析如圖，mgT小球所受合力小球所受合力F=mgtg，小球運動半徑，小球運動半徑r=l sin，由牛頓第二定律由牛頓第二

21、定律 mgtg= mv2/l1/2 mv2= 1/2 mgl tgsin ， 當當=30時時 mv12=mgl tg30 sin30 當當=60時時 mv22=mgl tg60 sin60小球上升的高度小球上升的高度 h = l (cos30 - cos60)設機器做功設機器做功W，由動能定理，由動能定理W-mgh=EK=1/2 mv22 - 1/2 mv12W=1/2 mgl (tg60 sin60 - tg30 sin30) +mgl (cos30 - cos60) = 0.97 mg l P71/例例1.如圖示如圖示,質量為質量為m的小滑塊的小滑塊,由靜止開始從傾角為由靜止開始從傾角為的

22、光滑斜面上高為的光滑斜面上高為h 的的A 點滑到斜面的底端點滑到斜面的底端B點點,求：求：（1）滑塊由）滑塊由A 點滑到點滑到B點的過程中點的過程中,重力的平均功率；重力的平均功率；（2）滑塊到達）滑塊到達B點時重力的瞬時功率點時重力的瞬時功率hABm解解：設滑塊到達：設滑塊到達B點時的速度為點時的速度為vB ，經歷的時間為，經歷的時間為t 由機械能守恒定律得由機械能守恒定律得 vB2 =2ght vs 由singghghsinhvstB2222得 222平均功率singhmgsingghmghtWP 瞬時功率瞬時功率singhmgsinmgvPBB2 例例9、跳繩是一種健身運動，設某運動員的

23、質量是跳繩是一種健身運動，設某運動員的質量是50kg，他一分鐘跳繩，他一分鐘跳繩180次次, 假定在每次跳躍中假定在每次跳躍中, 腳與腳與地面的接觸時間占跳躍一次所需時間的地面的接觸時間占跳躍一次所需時間的 2/5 ,則該運動則該運動員跳繩過程中克服重力做功的平均功率是員跳繩過程中克服重力做功的平均功率是 W。 （g取取10m/s2 )分析分析：運動員每次克服重力所做的功就等于他重力：運動員每次克服重力所做的功就等于他重力 勢能的增量。勢能的增量。跳一次的時間跳一次的時間t=60/180=1/3 s，每次在空中的時間每次在空中的時間t=1/33/5=1/5 s。每次跳起的高度每次跳起的高度m0

24、50100110212212.tgh 得平均功率：得平均功率：W75310501050 .tmghtWP75 人的心臟每跳一次大約輸送人的心臟每跳一次大約輸送810-5m3的血液，正常人血壓的血液，正常人血壓(可看作心臟壓送血液的壓強可看作心臟壓送血液的壓強)的的平均值約為平均值約為1.5104Pa,心跳約每分心跳約每分70次，據此估測心次，據此估測心臟工作的平均功率為臟工作的平均功率為 W。解解：心臟每跳一次做功為：心臟每跳一次做功為：W1=FL=PSL= PV= 1.5104 810-5 = 1.2J心臟工作的平均功率為心臟工作的平均功率為P=W/t=70 1.2/60=1.4W 1.49

25、8年上海高考年上海高考例例13、 質量為質量為m=80kg 的人站在質量為的人站在質量為MA=240kg 的的船上，用船上，用80N 的力拉一根足夠長的水平繩子，不計水的力拉一根足夠長的水平繩子，不計水的阻力，從靜止起經過的阻力，從靜止起經過t=10 秒鐘，下列兩種情況下，秒鐘，下列兩種情況下，人做功的平均功率和瞬時功率各多少？人做功的平均功率和瞬時功率各多少？（1）繩的另一端系在岸邊的樹上，）繩的另一端系在岸邊的樹上，（2）繩的另一端系在質量為）繩的另一端系在質量為MB=400kg 的船上的船上解：解：（1）a=F/（m+MA）= 0.25 m/s2 SA=1/2at2=12.5 mvAt=

26、at=2.5m/sP1=W/t=FSA/t =100W P1=F vAt =200W （2） aB=F/ MB= 0.2 m/s2 SB=1/2aBt2=10 m vBt= aBt = 2m/s W2=F（SA+ SB ）=1800J P2=W2/ t =180W P2=F（vt + vBt ）= 360WP=P額額不變不變vF = P額額/v a=(F-f )/mP=P額額不變不變F2 = P額額/vm =f a=0 v= vm變加速運動變加速運動勻速運動勻速運動fffFF2F1A B C vA= 0vC= vmP=P額額不變不變F1 = P額額/va1=(F1-f )/m v思考：思考：當

27、當v=0.5vm時的加速度多大？時的加速度多大？解：解：F= P額額/v = P額額/0.5vm =2f a=(F-f)/m=f/m汽車以恒定功率運動汽車以恒定功率運動變加速運動變加速運動勻加速運動勻加速運動勻速運動勻速運動fffFF2F1A B C vB= P額額/F1vA= 0vC= vm汽車先做勻加速運動，再做變加速運動。汽車先做勻加速運動，再做變加速運動。a=(F1-f )/m 不變不變v=at P= F1 v P=P額額 不變不變v F = P額額 / v a=(F-f )/mP=P額額 不變不變F2 = P額額/vm =f a=0 v= vm例例10按額定功率行駛的汽車，所受地面的

28、阻力保按額定功率行駛的汽車，所受地面的阻力保持不變，則持不變，則 A汽車加速行駛時，牽引力不變，速度增大汽車加速行駛時，牽引力不變，速度增大B汽車可以做勻加速運動汽車可以做勻加速運動C汽車加速行駛時，加速度逐漸減小，速度逐漸汽車加速行駛時，加速度逐漸減小，速度逐漸 增大增大D汽車達到最大速度時，所受合力為零汽車達到最大速度時，所受合力為零C D例例11、一列火車在機車牽引下沿水平軌道行駛、一列火車在機車牽引下沿水平軌道行駛,經過經過時間時間t,其速度由其速度由0增大到增大到v.已知列車總質量為已知列車總質量為m,機車機車功率功率P保持不變保持不變,列車所受阻力列車所受阻力f為恒力為恒力.求：這段時間求：這段時間內列車通過的路程內列車通過的路程.解解：根據動能定理：根據動能定理：Ptfs = 1/2 mv2fmvPtfmvPts222122 例例12、平直公路上質量為、平直公路上質量為m的汽車以恒定功率行駛，的汽車以恒定功率行駛，設它受到