1、常微分方程的大致知識點 常微分方程的大致知識點 (一)初等積分法 1線素場與等傾線 2、可分離變量方程 g(x)h(y) N,則 u(x,y) x C ,(留意書上公式) 若衛(wèi) y N,則找積分因子,(留意書上公式) x g(x)dx 3、齊次方程(一般含有-或y的項) y x dy f(x,y) f(x,ux) g(u) dx 4、一階線性非齊次方程 半a(x)y b(x) dx 常數(shù)變易法，或y e a(x)dx b(x)e心抵C 5、伯努力方程 字 a(x)y b(x)yn y 哼 a(x)y1 n b(x) dxdx 令z y1 n ,則dZ (1 n)y n史，可將伯努力方程化成一階

2、線性非齊次或一階線性齊次 dxdx 6、全微分方程 M (x, y)dx N (x, y)dy 0 7、可降階的二階微分方程 器 f(x) dx d2y dx2 你),令乎 dx dx dy dx d2y dx2 吒),令dx p,則密 dx P乎 dy x y1y。x x0 x f (x, y2)dx，其余類推 x0 8、正交軌線族 (二)畢卡序列 x f (x, yo)dx, y2y。f (x, yi)dx,y3y。 x0 常微分方程的大致知識點 (三)常系數(shù)方程 1、常系數(shù)齊次 L(D)y 0 方法:特征方程 單的實根 1 , 2 , y C1e 1xC2e 2x 單的復根 1,2 x

3、i ,y e (C1 cos x 重的實根 1 2 ,y (C1 C2X)e x 重的復根 1,2 i ,3,4 i,y 2、常系數(shù)非齊次L(D)y f (x) 方法:三部曲。 第一步求 L(D)y 0的通解Y 第二步求 L(D)y f (x)的特解 * y 第三步求 L(D)y f (x)的通解 * y Y y 如何求y ? 當 f(x) Pm(x)e x*k 時,y x Qm(x)e x C2 sin e x(Ci 當 f(x) Pm(x)eux cosvx x) C2x)cos x (C3 C4x) sin x f (x)就是一般形式時 Qm(x)euxsin vx時,y xkeux(R

4、m(x) cosvx Sm(x)sin vx) XW(x, )f( )d ，其中W(、)就是郎斯基行列式 x0 W() (四)常系數(shù)方程組 牛 A(t)X 方法:三部曲。 f(t) 第一步求 第二步求 第三步求 dX dt dX dt dX dt A(t)X A(t)X A(t)X 1、分析方程組 dx dt 業(yè) dt ax cx 的通解,(t)C。 f(t)的特解, f(t)的通解, by 利用特征方程 A I 0，并分情況討論。 (t)1(s) f (s)ds,(定積分與不定積分等價) (t)C (t)1(s)f(s)ds (五)奇點與極限環(huán) dy 的奇點的性質，用特征方程：A I 常微分方程的大致知識點 特征方程的根有3種情況：相異實根、相異復根、相同實根。 第一種情況：相異實根，12 當1，2,鞍點，圖像 當1，2,穩(wěn)定結點，圖像 當1，2,不穩(wěn)定結點，圖像 第二種情況：相異復根，1 當，中心，圖像 當，穩(wěn)定焦點，圖像 當，不穩(wěn)定焦點，圖像 第三種情況：相同實根，12 當b，c同時為時，如果 如果 當b，c不同時為時，如果 如果 ，不穩(wěn)定臨界結點，圖像 ，穩(wěn)定臨界結點，圖像 ，不穩(wěn)定退化結點，圖像 ，穩(wěn)定退化結點，圖像 x X（x，y） 2、方程組的奇點的性質，Perr