1、常微分方程的大致知識點（一）初等積分法1、線素場與等傾線2、可分離變量方程3、齊次方程（一般含有仝或y的項）y x4、一階線性非齊次方程常數(shù)變易法，或y e a（X）dX b（x）e心& C5、伯努力方程令z y1n，則dZ （1 n）yndy，可將伯努力方程化成一階線性非齊次或一階線性齊次dxdx6全微分方程若衛(wèi)，則u（x, y） C，（留意書上公式）y x若衛(wèi) 上，則找積分因子，（留意書上公式）y x7、可降階的二階微分方程d2y2dy f(x,)，令矽p,則 d2ydydxdxdxdxdxy2f(y,乎)，令魚p,則密dp P -dxdxdxdx2dyx8、正交軌線族二)畢卡序列y1 y

2、0 x f (x, y0 )dx， y2x0 xxy0f(x,y1)dx， y3 y0f (x, y2 )dx ，其余類推x0 x0三)常系數(shù)方程1、常系數(shù)齊次 L(D) y 0方法：特征方程單的實根12C1e 1xC2 e 2x單的復根1, 2i，y(C1cos x C2 sin x)重的實根12， y ( C1C2 x)e x重的復根1, 2i ， 3, 4i，y e x(C1 C2 x) cos x (C3 C4x)sin x2、常系數(shù)非齊次 L(D )yf ( x)方法：三部曲。第一步求L(D)y0 的通解 Y第二步求L(D)yf ( x) 的特解第三步求L(D)yf ( x) 的通解

3、如何求 y* ？x第一步求dXdtA(t)X 的通解，(t)C利用特征方程A I0，并分情況討論。第二步求dXdtA(t)X f(t)的特解,(t)1(s) f (s)ds，(定積分與不定積分等價)第三步求dXdtA(t)X f(t)的通解,(t)C (t)1(s)f(s)dsdxdtdy1、分析方程組dtaxcx特征方程的根有by的奇點的性質(zhì)，用特征方程:3種情況：相異實根、相異復根、相同實根。當 f(x) Pm(x)ex 時，y* xkQm(x)e當 f(x) Pm(x)eux cosvx Qm (x) eux si n vx 時，y*xkeux( Rm(x) cosvx Sm(x)si n vx)當f(X)是一般形式時，y ：爲f()d，其中W(.)是郎斯基行列式(四)常系數(shù)方程組方法：三部曲。奇點與極限環(huán)第一種情況：相異實根，12當1, 20，鞍點，圖像當1, 2，穩(wěn)定結(jié)點，圖像，不穩(wěn)定臨界結(jié)點，圖像，穩(wěn)定臨界結(jié)點，圖像，不穩(wěn)定退化結(jié)點，圖像，穩(wěn)定退化結(jié)點，圖像當10，20，不穩(wěn)定結(jié)點，圖像第二種情況：相異復根，1i, 2當 ，中心，圖像當 ，穩(wěn)定焦點，圖像當 ，不穩(wěn)定焦點，圖像第三種情況：相同實根，12當b，c同時為時，如果如果當b,c不同時為時，如果如果dxdT X(x, y)2、方程組的奇點的性質(zhì)，Perron定理 Y(