1、2021-6-231 第三章 應(yīng)力分析與應(yīng)變分析 3.1應(yīng)力與點的應(yīng)力狀態(tài) o 3.1.1 六個基本假設(shè)六個基本假設(shè) o 3.1.2 外力外力 o 3.1.3 應(yīng)力和內(nèi)力應(yīng)力和內(nèi)力 o 3.1.4 點的應(yīng)力狀態(tài)點的應(yīng)力狀態(tài) o 3.1.5 張量與應(yīng)力張量張量與應(yīng)力張量 2021-6-232 3.1 應(yīng)力狀態(tài)基本概念應(yīng)力狀態(tài)基本概念 o 金屬塑性加工是金屬與合金在外力作用下產(chǎn)金屬塑性加工是金屬與合金在外力作用下產(chǎn) 生塑性變形的過程，所以必須了解塑性加工生塑性變形的過程，所以必須了解塑性加工 中工件所受的外力及其在工件內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)中工件所受的外力及其在工件內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng) 變。本章講述變形工件內(nèi)應(yīng)力狀

2、態(tài)的分析及變。本章講述變形工件內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的分析及 其表示方法。這是塑性加工的力學(xué)基礎(chǔ)。其表示方法。這是塑性加工的力學(xué)基礎(chǔ)。 2021-6-233 o 型鋼軋制型鋼軋制 2021-6-234 o 軋輥的斷裂軋輥的斷裂 2021-6-235 錘鍛過程錘鍛過程 2021-6-236 o 飛機蒙皮的成形飛機蒙皮的成形 破裂破裂 起皺起皺 能否一次成形，用什么樣的模具能否一次成形，用什么樣的模具? ? 變形量是否滿足要求（厚度減薄量等）變形量是否滿足要求（厚度減薄量等）? ? 要想定量的研究變形過程，建立理論公式，要想定量的研究變形過程，建立理論公式， 在研究塑性力學(xué)行為時，必須采用一些假設(shè)。在研究塑性

3、力學(xué)行為時，必須采用一些假設(shè)。 F F 2021-6-237 3.1.1 六個基本假設(shè) o （1）連續(xù)性假設(shè)。）連續(xù)性假設(shè)。變形體內(nèi)均由連續(xù)介質(zhì)組成，即整個變形體變形體內(nèi)均由連續(xù)介質(zhì)組成，即整個變形體 內(nèi)不存在任何空隙。這樣，應(yīng)力、應(yīng)變、位移等物理量都是連續(xù)變化的，內(nèi)不存在任何空隙。這樣，應(yīng)力、應(yīng)變、位移等物理量都是連續(xù)變化的， 可化為坐標的連續(xù)函數(shù)。可化為坐標的連續(xù)函數(shù)。 o （2）勻質(zhì)性假設(shè)。）勻質(zhì)性假設(shè)。變形體內(nèi)各質(zhì)點的組織、化學(xué)成分都是均勻變形體內(nèi)各質(zhì)點的組織、化學(xué)成分都是均勻 且相同的，即各質(zhì)點的物理性能均相同，且不隨坐標的改變而變化。且相同的，即各質(zhì)點的物理性能均相同，且不隨坐標的

4、改變而變化。 o （3）各向同性假設(shè)。）各向同性假設(shè)。變形體內(nèi)各質(zhì)點在各個方向上的物理性變形體內(nèi)各質(zhì)點在各個方向上的物理性 能、力學(xué)性能均相同，也不隨坐標的改變而變化。能、力學(xué)性能均相同，也不隨坐標的改變而變化。 o （4）初應(yīng)力為零假設(shè)。）初應(yīng)力為零假設(shè)。物體在受力之前是處于自然平衡物體在受力之前是處于自然平衡 狀態(tài)，即物體變形時內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力僅由外力引起。狀態(tài)，即物體變形時內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力僅由外力引起。 o （5）體積力為零假設(shè)。）體積力為零假設(shè)。體積力如重力、磁力、慣性力等體積力如重力、磁力、慣性力等 與面力相比十分微小，可忽略不計。與面力相比十分微小，可忽略不計。 o （6）體積不變

5、假設(shè)。）體積不變假設(shè)。 物體在塑性變形前后體積不變。物體在塑性變形前后體積不變。 2021-6-238 o 在塑性理論中，分析問題需要從靜力學(xué)、幾何 學(xué)和物理學(xué)等角度考慮。靜力學(xué)角度是從變形 體中質(zhì)點的應(yīng)力分析出發(fā)、根據(jù)靜力平衡條件 導(dǎo)出應(yīng)力平衡微分方程。幾何學(xué)角度是根據(jù)變 形體的連續(xù)性和勻質(zhì)性假設(shè)，用幾何的方法導(dǎo) 出小應(yīng)變幾何方程。物理學(xué)角度是根據(jù)實驗和 基本假設(shè)導(dǎo)出變形體內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系 式，即本構(gòu)方程。此外，還要建立變形體由彈 性狀態(tài)進入塑性狀態(tài)并使繼續(xù)進行塑性變形時 所具備的力學(xué)條件，即屈服準則。 2021-6-239 3.1.2 外力外力 o 塑性成形是利用金屬的塑性，在外力外

6、力作用下使 其成形的一種加工方法。 o 作用于金屬的外力分為兩類： o 面力或接觸力：面力或接觸力：作用于金屬表面的力，可以是 集中的，但一般是分布的力。 o 體積力：體積力：作用在金屬物體的每個質(zhì)點上的力。 2021-6-2310 1.面力面力 o 作用力作用力 塑性加工設(shè)備的可動工具部分對工件所作用的塑性加工設(shè)備的可動工具部分對工件所作用的 力，用于使金屬坯料產(chǎn)生塑性變形，又稱主動力。可以力，用于使金屬坯料產(chǎn)生塑性變形，又稱主動力。可以 實測或理論計算，用于驗算設(shè)備強度和設(shè)備功率。在不實測或理論計算，用于驗算設(shè)備強度和設(shè)備功率。在不 同的加工工序中，可以是壓力、拉力或剪切力。同的加工工序中

7、，可以是壓力、拉力或剪切力。 o 反作用力反作用力 一般情況下，作用力與反作用力互相平行，一般情況下，作用力與反作用力互相平行， 并組成平衡力系。并組成平衡力系。 o 摩擦力摩擦力 沿工具和工件接觸面切向阻礙金屬流動的力，沿工具和工件接觸面切向阻礙金屬流動的力， 其方向平行于接觸面，并與金屬質(zhì)點流動方向或流動趨其方向平行于接觸面，并與金屬質(zhì)點流動方向或流動趨 勢相反。摩擦力最大值不應(yīng)超過金屬的抗剪強度。摩擦勢相反。摩擦力最大值不應(yīng)超過金屬的抗剪強度。摩擦 力的存在往往會引起變形力的增加，對金屬的塑性往往力的存在往往會引起變形力的增加，對金屬的塑性往往 是有害的。是有害的。 o 正壓力正壓力 沿

8、工具和工件接觸面法向阻礙工件整體移動或沿工具和工件接觸面法向阻礙工件整體移動或 金屬流動的力，其方向垂直于接觸面，并指向工件。金屬流動的力，其方向垂直于接觸面，并指向工件。 2021-6-2311 2021-6-2312 2.體積力體積力 o 體積力是與變形體內(nèi)各質(zhì)點的質(zhì)量成正比的力，如體積力是與變形體內(nèi)各質(zhì)點的質(zhì)量成正比的力，如 重力、磁力和慣性力等。重力、磁力和慣性力等。 o 對于一般的塑性成形過程，由于體積力與加工中的對于一般的塑性成形過程，由于體積力與加工中的 面力比較起來要小的多，在實際工程計算中一般可面力比較起來要小的多，在實際工程計算中一般可 以忽略。以忽略。 o 但在高速加工時

9、，如高速錘鍛造、爆炸成形等，金但在高速加工時，如高速錘鍛造、爆炸成形等，金 屬塑性流動的慣性力應(yīng)該考慮。如錘上模鍛時，坯屬塑性流動的慣性力應(yīng)該考慮。如錘上模鍛時，坯 料受到由靜到動的慣性力作用，慣性力向上，有利料受到由靜到動的慣性力作用，慣性力向上，有利 于金屬充填上模，故錘上模鍛通常形狀復(fù)雜的部位于金屬充填上模，故錘上模鍛通常形狀復(fù)雜的部位 設(shè)置在上模。設(shè)置在上模。 2021-6-2313 3.1.2 外力外力 外力外力 體積力體積力 面力面力 重力重力 慣性力慣性力 電磁力電磁力 特點：分布在物體體積的外力，它作特點：分布在物體體積的外力，它作 用在物體內(nèi)部的每一個質(zhì)點上用在物體內(nèi)部的每一

10、個質(zhì)點上 特點：分布在物特點：分布在物 體表面的外力體表面的外力 作用力（主動力）作用力（主動力） 反作用力反作用力 約束反力約束反力 摩擦力摩擦力 正壓力正壓力 2021-6-2314 3.1.3 內(nèi)力和應(yīng)力內(nèi)力和應(yīng)力 o 內(nèi)力：在外力作用下，物體內(nèi)各質(zhì)點之間產(chǎn)內(nèi)力：在外力作用下，物體內(nèi)各質(zhì)點之間產(chǎn) 生的相互作用的力。生的相互作用的力。 o 應(yīng)力：單位面積上的內(nèi)力。應(yīng)力：單位面積上的內(nèi)力。 2021-6-2315 0 lim F PdP S FdF S為截面C-C上點Q的全應(yīng)力。全應(yīng)力為矢 量，可分解成兩個分量，一個垂直于截面 C-C，即C-C截面外法線N上的分量，稱為 正應(yīng)力，一般用表示；

11、另一個平行于截面 C-C，稱為切應(yīng)力，用表示。則： 222 S 2021-6-2316 若將C-C截得的下半部分放在 空間直角坐標系oxyz中，使C- C截面垂直于某坐標軸，如y軸， 即C-C截面外法線方向N平行于 y軸，則過Q點的微分面稱為y 面。將Q點的全應(yīng)力S在三個坐 標軸上的投影稱為應(yīng)力分量。 每個應(yīng)力分量可用兩個下角標 的符合表示，第一個角標表示 該應(yīng)力分量所在的平面，第二 個下角標表示其作用方向。 2021-6-2317 1.單向受力下的應(yīng)力及其分量 一點的應(yīng)力向量不僅取決于該點的位置，還取決于截面的方位。一點的應(yīng)力向量不僅取決于該點的位置，還取決于截面的方位。 過試棒內(nèi)一點Q并垂

12、直于拉伸軸線橫截面C-C上的應(yīng)力為： 00 0 0 0 dPP S dFF 若過Q點做任意切面C1-C1，其法線N與拉伸軸成角，面 積為F1。由于是均勻拉伸，故截面C1-C1上的應(yīng)力是均布的。 此時截面上Q點的全應(yīng)力S、正應(yīng)力、切應(yīng)力分別 為： 0 10 2 0 2 0 coscos coscos 1 sinsin 2 PP S FF S S 在單向勻速拉伸條件下，可用一個0來表示其一點的應(yīng)力狀態(tài)，稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。 2021-6-2318 2.多向受力下的應(yīng)力分量 o （1）應(yīng)力分量的提出）應(yīng)力分量的提出 設(shè)在直角坐標系中有一個承受外力 的物體，物體內(nèi)有一個質(zhì)點Q，現(xiàn)在圍 繞Q點切取一個矩形

13、六面體作為單元體， 六面體的棱邊分別平行于坐標系的三根 坐標軸。取六面體中三個互相垂直的表 面作為微分面，各個微分面上的全應(yīng)力 都可以按坐標軸方向分解為一個正應(yīng)力 和兩個切應(yīng)力，三個微分面共有九個應(yīng) 力分量，其中三個正應(yīng)力分量，六個切 應(yīng)力分量。可以用這九個應(yīng)力分量來表 示物體內(nèi)點的應(yīng)力狀態(tài)。 2021-6-2319 2.多向受力下的應(yīng)力分量 o （2）應(yīng)力分量的表示）應(yīng)力分量的表示 o為了清楚的表示各個微分面上的應(yīng)力分量，我們給三個 微分面命名為：X面、Y面、Z面；讓每一個應(yīng)力分量都 帶上兩個下標，第一個下標表示應(yīng)力分量的作用面，第 二個下標表示應(yīng)力分量的作用方向。所以，九個應(yīng)力分 量可以表

14、示為： o可以看出，兩個下標相同的應(yīng)力是正應(yīng)力，如xx，一般 寫成x的形式；兩個下標不相同的是剪切應(yīng)力，如xy。 2021-6-2320 2.多向受力下的應(yīng)力分量 o （3）應(yīng)力分量的正、負方向規(guī)定）應(yīng)力分量的正、負方向規(guī)定 o應(yīng)力分量的正、負按以下方法確定：在 單元體上，外法線指向坐標軸正向的微 分面叫做正面，在正面上，指向坐標軸 正向的應(yīng)力分量取正號，指向負向的取 負號；相反的，外法線指向坐標軸負向 的微分面叫做負面，在負面上，正向坐 標軸正向的應(yīng)力分量取負號，指向負向 的取正號。按照這個規(guī)定，正應(yīng)力分量 以拉為正，壓為負。 2021-6-2321 2.多向受力下的應(yīng)力分量 o （4）剪應(yīng)

15、力互等定律）剪應(yīng)力互等定律 由于單元體是處于靜力平衡狀態(tài)，所以繞 單元體各軸的合力矩必須等于零，由此可 以得到如下的關(guān)系式： o這個式子叫做剪應(yīng)力互等定律。它表明了： 為了保持單元體的平衡，剪應(yīng)力總是成對 出現(xiàn)。因此，實際上只需六個應(yīng)力分量就 可以表示點的應(yīng)力狀態(tài)。即九個應(yīng)力分量 只有六個是獨立的。 2021-6-2322 3.1.4 點的應(yīng)力狀態(tài)點的應(yīng)力狀態(tài) o 點的應(yīng)力狀態(tài)：指受力物體內(nèi)一點任意方位微分面 上所受的應(yīng)力情況。 o 只有了解變形體內(nèi)任意一點的應(yīng)力狀態(tài)，才能推斷 整個變形體的應(yīng)力狀態(tài)。要想了解一點的應(yīng)力狀態(tài) 必須知道過該點任意截面上的應(yīng)力分布。但是過該 點的截面有無窮多個，我們

16、沒有辦法一一列舉。為 此必須采用其他方式進行描述。 o 若已知過一點的三個相互垂直的微分面上的九個應(yīng) 力分量，如何求得過改點任意微分面上的應(yīng)力分量？ 2021-6-2323 3.1.4 點的應(yīng)力狀態(tài)點的應(yīng)力狀態(tài) o已知某個坐標系中Q點的三個互相垂 直的坐標面上的九個應(yīng)力分量。現(xiàn)過 Q點作一個任意斜切微分面ABC，這 樣就組成一個微小四面體QABC。外 法線方向為N，則這個斜面與三個坐 標軸x、y、z的方向余弦分別為： o l = cos（ N，x）； o m = cos（ N，y ）； o n = cos（N，z）。 o假設(shè)斜面ABC面積為dF，則dF在三 個坐標面上的投影面積分別為： odF

17、x =ldF；dFy = mdF；dFz = ndF 2021-6-2324 3.1.4 點的應(yīng)力狀態(tài)點的應(yīng)力狀態(tài) o現(xiàn)設(shè)斜面上的全應(yīng)力為S，它在三個坐標軸方 向的分量分別為Sx，Sy，Sz，由于四面體 QABC處于平衡狀態(tài)，由靜力平衡條件由Fx = 0，F(xiàn)y= 0，F(xiàn)z = 0即有： o SxdF xdFx yxdFy zxdFz = 0 o SydF ydFy xydFy zydFz = 0 o SzdF zdFz yzdFy xzdFz = 0 o 整理得： nmlS nmlS nmlS zyzxzz zyyxyy zxyxxx n m l S S S zyzxz zyyxy zxyxx

18、 z y x 或 2021-6-2325 3.1.4 點的應(yīng)力狀態(tài)點的應(yīng)力狀態(tài) o 全應(yīng)力： o 全應(yīng)力S在法線N上的投影就是斜微分面上 的正應(yīng)力，它等于Sx，Sy，Sz在N上的投影之 和，即： o 斜切微分面上的切應(yīng)力為： 222 xyx SSSS )2( zxyzxy 2 z 22 nlmnlmnml nSmSlS yx zyx 22 S 2021-6-2326 o 綜上可知，變形體內(nèi)任意點的應(yīng)力狀態(tài)可以通綜上可知，變形體內(nèi)任意點的應(yīng)力狀態(tài)可以通 過該點且平行于坐標面的三個微分面上的九個過該點且平行于坐標面的三個微分面上的九個 應(yīng)力分量來表示。應(yīng)力分量來表示。 o 或者說，通過變形體內(nèi)任意

19、點垂直于坐標軸所或者說，通過變形體內(nèi)任意點垂直于坐標軸所 截取的三個相互垂直的微分面上各應(yīng)力截取的三個相互垂直的微分面上各應(yīng)力 已知已知 時，便可確定該點的應(yīng)力狀態(tài)。時，便可確定該點的應(yīng)力狀態(tài)。 x y z yxxy zyyz xzzx ij 2021-6-2327 應(yīng)力邊界條件方程 o 如果該四面體素的斜面如果該四面體素的斜面 恰好為變形體的外表面恰好為變形體的外表面 上的微面素，并假定此上的微面素，并假定此 面素單位面積上的作用面素單位面積上的作用 力在坐標軸方向的分力力在坐標軸方向的分力 分別為分別為px、py、pz，則，則 nmlp nmlp nmlp zyzxzz zyyxyy zx

20、yxxx 2021-6-2328 o 應(yīng)力邊界條件方程的物理意義：應(yīng)力邊界條件方程的物理意義： o 建立了過外表面上任意點，單位表面力與過建立了過外表面上任意點，單位表面力與過 該點垂直坐標軸截面上應(yīng)力分量的關(guān)系。該點垂直坐標軸截面上應(yīng)力分量的關(guān)系。 2021-6-2329 3.5.1 求和約定和應(yīng)力張量求和約定和應(yīng)力張量 o （1）求和約定）求和約定 o 為了簡化公式和書寫的方便，我們常采用求和為了簡化公式和書寫的方便，我們常采用求和 約定的方式來書寫公式。例如我們探討一矩陣約定的方式來書寫公式。例如我們探討一矩陣 與向量的乘法：與向量的乘法： zyzxz zyyxy zxyxx z y x

21、 l l l zzyyzxxz zzyyyxxy zzxyyxxx lll lll lll zyxi iiz zyxi iiy zyxi iix l l l , , , 2021-6-2330 o 其中等式右邊各項可以寫為其中等式右邊各項可以寫為 或去掉求或去掉求 和符號而直接寫為和符號而直接寫為 。 o 其中有一特征：同一項中其中有一特征：同一項中 i 為重復(fù)下標，逢為重復(fù)下標，逢 重復(fù)下標就相加，該下標稱為重復(fù)下標就相加，該下標稱為啞標啞標。非重復(fù)。非重復(fù) 下標下標 j 稱為稱為自由標自由標。 zyxji iijl , iijl iij a mmj b 啞標啞標啞標啞標 自由標自由標 20

22、21-6-2331 o 求和約定的注意要點：求和約定的注意要點： o 啞標是說明求和的記號，用什么字母表示無啞標是說明求和的記號，用什么字母表示無 關(guān)緊要。如關(guān)緊要。如 iin 3 1 3 2 1 、或，、zyxkji )( 3 1 zyx jj 3 1 kk 3 1 2021-6-2332 o 方程式左右兩邊的自由標必須相同。例如：方程式左右兩邊的自由標必須相同。例如： jiji np jkijik qpr njmnimij ba ，、zyxnmkji 2021-6-2333 njmnimij ba 練習(xí)：把如下公式展開，以練習(xí)：把如下公式展開，以 為例。為例。 12 ) 3 2 1(，、n

23、mji 12111112 ba 122112 ba 123113 ba 221211 ba 222212 ba 223213 ba 321311 ba 322312 ba 323313 ba ? 23 ijjiij uu , 2 1 “，”表示求導(dǎo)數(shù)表示求導(dǎo)數(shù) j u u i ji , 其中其中 2021-6-2334 （2） 應(yīng)力張量應(yīng)力張量 o 在斜面上的應(yīng)力分析中，我們得到在斜面上的應(yīng)力分析中，我們得到 nmlS nmlS nmlS zyzxznz zyyxyny zxyxxnx n m l S S S zyzxz zyyxy zxyxx nz ny nx 用矩陣表示為用矩陣表示為 20

24、21-6-2335 o 變形體內(nèi)任意點的應(yīng)力狀態(tài)可以通過該點且平變形體內(nèi)任意點的應(yīng)力狀態(tài)可以通過該點且平 行于坐標面的三個微分面上的九個應(yīng)力分量來行于坐標面的三個微分面上的九個應(yīng)力分量來 表示。表示。 o 根據(jù)這九個應(yīng)力分量的特點，我們可以采用一根據(jù)這九個應(yīng)力分量的特點，我們可以采用一 種新的方法來表示它們，如下表所示。種新的方法來表示它們，如下表所示。 x y z yxxy zyyz xzzx 2021-6-2336 zyzxz zyyxy zxyxx x 面面 y 面面 z 面面 x方向方向 y方向方向 z方向方向 2021-6-2337 o 去掉表中虛線，則變成矩陣，并可用一個符去掉表中

25、虛線，則變成矩陣，并可用一個符 號表示該矩陣。號表示該矩陣。 zyzxz zyyxy zxyxx T ij 2021-6-2338 o 該矩陣的特點：該矩陣的特點： o 由材料力學(xué)剪切應(yīng)力互等定律，有由材料力學(xué)剪切應(yīng)力互等定律，有 則此矩陣為一對稱矩陣。則此矩陣為一對稱矩陣。 o 該對稱矩陣稱為該對稱矩陣稱為二階對稱應(yīng)力張量二階對稱應(yīng)力張量，矩陣中，矩陣中 的元素稱為的元素稱為應(yīng)力張量分量應(yīng)力張量分量。 yxxy zyyz xzzx zyzxz zyyxy zxyxx 2021-6-2339 o 張量在力學(xué)中是一個十分重要的概念。張量在力學(xué)中是一個十分重要的概念。 o 標量是一個僅由標量是一個

26、僅由數(shù)的大小數(shù)的大小表征的量，如溫表征的量，如溫 度、質(zhì)量、能量等。度、質(zhì)量、能量等。 o 矢量是由矢量是由數(shù)的大小數(shù)的大小和和方向方向來表征的量，來表征的量， 如力、速度等，它可由空間中的有向線段表如力、速度等，它可由空間中的有向線段表 示。示。 o 張量則是由張量則是由數(shù)的大小、數(shù)的大小、方向方向和和方位方位來表來表 征的量，如應(yīng)力張量、應(yīng)變速度張量等。征的量，如應(yīng)力張量、應(yīng)變速度張量等。 2021-6-2340 o 標量可以表示在數(shù)軸上，數(shù)的大小有正負之分。標量可以表示在數(shù)軸上，數(shù)的大小有正負之分。 不存在坐標變換，可以稱之為不存在坐標變換，可以稱之為零階張量零階張量。 o 矢量在坐標系

27、中可以分解，隨著坐標系選取的矢量在坐標系中可以分解，隨著坐標系選取的 不同，矢量的分量也隨之發(fā)生變化。存在坐標不同，矢量的分量也隨之發(fā)生變化。存在坐標 變換。變換。 jiji uau jjii uau ij a為正交矩陣，有為正交矩陣，有 ji T ijij aaa 1 矢量可以稱之為矢量可以稱之為一階張量一階張量 2021-6-2341 o 而張量相當于矢量的某種集合，既包含了每而張量相當于矢量的某種集合，既包含了每 一矢量的大小和方向，還體現(xiàn)了這些矢量之一矢量的大小和方向，還體現(xiàn)了這些矢量之 間的相互關(guān)系。其與坐標系的選取有關(guān)，存間的相互關(guān)系。其與坐標系的選取有關(guān)，存 在坐標變換。在坐標變換。 , , 321 uuuT zzz yyy xxx uuu uuu