1、概率方法在不等式證明中的應用研究摘 要：不等式的證明方法是多種多樣的，本文就利用概率論的思想來證明不等式給出了解題方法，把概率論的思想滲透到不等式的證明中，有助于拓寬接替思路，提高解題能力，理解數學各科間的緊密聯系，通過利用概率論的基本性質，隨機概率模型，函數的凸凹性，論述不等式證明中的一些概率方法，總結應用概率論的思想證明不等式的方法與技巧。關鍵詞：概率 隨機變量 凸函數 jensen不等式 probability method in inequality proof applied researchbaidan anhui normal university mathematics and

2、 computer science instituteabstract: the inequality proof method is many and varied, this article using the theory of probability thought proved that the inequality has given the problem solving method, seeps the theory of probability thought to the inequality proof, is helpful in expands replaces t

3、he mentality, sharpens the problem solving ability, understood that mathematics during various branches the close relation, through the use theory of probabilitys basic property, the stochastic probabilistic model, function convex-concave, in the elaboration inequality proofs some probability method

4、, summarizes the applied probability thought proof inequality method and the skill.key word: probability random variable convex function jensen inequality引 言概率思想廣泛應用于其它學科，用概率方法來解決不等式證明的問題，是概率論研究的重要課題之一。概率方法靈活多樣，只要概率模型構造恰當，它可以應用于多種數學問題中。不等式證明中一些不太好解決的問題，用概率知識去解是很方便的，這樣我們就能在不等式證明中找到概率的應用。這樣的探討對概率論的發展具

5、有很大意義，對教學工作者的教學也有著一定的作用。針對不同的不等式問題，構造適當的概率模型十分重要，用概率方法來證明一些不等式，不但可以簡化證明，而且可以為學習高等屬性提供概率論背景，有機結合不同學科之間的關系。概率方法在不等式證明中的應用一直為眾多學者所關注，許多學者在這方面做了大量的研究工作，本文在前人研究工作的基礎上對此進行歸納總結。1 構造概率模型證明不等式有些不等式的證明往往比較復雜, 而且具體的直觀含義也比較抽象. 如果能夠建立起適當的概率模型, 賦以一些隨機事件或隨機變量的具體含義, 再利用概率論的理論加以證明, 則常常能使證明過程得到簡化. 同時還可以為抽象的數學問題提供具體的概

6、率背景, 溝通各數學分支之間的聯系.1.1 構造離散型概率模型證明不等式例1 （holder不等式）設（x,）,i=1,n是n組正數，,j=1,n,且.則 (1) 證明 設離散型隨機變量的概率分布為p（=）=，0,i=1,2,n 則= .因為lnx是（0，+）上的上凸函數，故有 ln()=ln()=ln()即有 (2)現取，,以此代入（2），得上式兩端關于j求和，得： 所以結論成立.(2)式是赫爾德不等式的最一般的形式事實上, 對任一對共扼指數：p1,q1,w我們只要在（2）式中取 n=2, j=1,1,m便得到赫爾德不等式的最常用的形式： (3)特別，當p=q=2時, (3)式就是著名的許瓦

7、茲(schwarz)不等式: 例2 設，且滿足，又設， 是n個非負實數，=,i=1,n則 證明 設離散型隨機變量的概率分布為：p(=)=,j=1,2,n則=.因為是下凸函數，故有上式兩端關于i求和, 即得: 1.2構造連續型概率模型證明不等式例3設f (x ) 是區間a, b 上的下凸函數,則)證明: 設連續型隨機變量的分布密度為 =而 因為f (x ) 在區間a, b 上為下凸函數, 所以f即)特別地, 當f (x ) =時，有例4 設f(x)是a,b 上不恒為零的正實值連續函數,則有+證明 設連續型隨機變量x 的概率密度函數為則 e(cosx)= =e(sinx)= =e(sinx)= e

8、(cosx)= 由 得 即 +1.3構造隨機型概率模型證明不等式例5 設函數x(t)0在(0,1)內連續，且，則 證明 建立隨機模型, 設某儀器向區間(0,+ ) 內發射a粒子的時間t 在(0, 1) 內均勻分布, 則其概率密度為f(t)=1, t(0, 1),而以x (t ) 表記所發射的粒子在(0, + ) 內的位置. 再定義函數g(y)= lny 與y= (x 0, xr ). 因為g(y)=lny為凸函數，故有e(g(y)g(ey),這里g(ey)=ln(ey)=ln()=ln()e(g(y)=故有 = e(g(y) g(ey)= 取c=0,有 =取c=0在(a,b)內連續時（仍有），

9、有（其離散形式為:設0,i=1,n, ,則有例6 證明 1分析 若能證級數收斂，且，從而就可證明此不等式.為此構造一個廣義貝努利模型.證明 設隨機試驗e 只有兩個基本結果和，將e獨立重復的做n次，再第k次試驗中,a出現的概率為（02）記的充要條件為=0，若取=，則有另一方面注意到： ， 所以 ， 從而 。在證明不等式的過程中，除了構造適當的概率模型這種方法外，我們還可以利用概率的性質來證明不等式，包括概率的期望，方差以及我們常接觸和使用的jensen不等式.2 利用概率的性質證明不等式在利用概率性質證明不等式時，關鍵要熟悉概率的性質，在證明時選擇適當的性質，在解題中加以靈活運用2.1 利用期望

10、的性質證明不等式例1 證明分析 由數學期望的性質：及當隨機變量與相互獨立時有，可得，從而。證明 設隨機變量隨機變量與相互獨立，的概率分部為p(=）= (i=1,2,n), 的概率分部為p(=）=，(i=1,2,n).則e=,e=,又因為，從而 即 例2 設(i=1,2,n),則有證明 建立隨機模型, 設隨機變量的概率分布為p(=)=,其中,i=1,1,n. 由數學期望的性質：e(ln), , 即 2.2 利用方差的性質證明不等式 例2 證明，其中0且=1.分析根據隨機變量方差公式及可得.證明 構造隨機變量概率分布為p(=)=(n=1,2, 0, =1.),則當的期望存在時，e=,=,由，得例3

11、 已知都是正數且其和為1，求證：分析根據隨機變量方差公式證明 設p(x= )=,i=1,2,3,n(規定)則 ex=.根據 0，可得2.3 利用jensen不等式證明不等式定理4（jensen不等式）設隨機變量取值于區間(a,b),，若g(x)是區間(a,b)上連續的凸（凹）函數，則當e,eg()存在時，有 （）例4 設,1=1,2,n,則有 證明 設隨機變量是離散型的均勻分部，其概率函數為p(=)=,i=1,2,n,取g(x)=,則g(x)是一個在上連續的凸函數，計算得e= e= 利用jensen不等式得 ，即例5 設xi=1,2,n,則 ，當且僅當時式中等號成立.證明 設隨機變量，取的概率

12、分布為：p=(i=1,2,n),則 e=令g(x)= 由jensen不等式：可知：結束語以上證明闡述了概率方法在不等式證明中的中的應用,顯示了概率應用的巧妙性和優越性，通過對以上歸納的不等式的證明,可以看出,要利用概率論的方法對不等式進行證明,關鍵在于針對不等式的具體形式,構造相應的概率模型,再利用概率論的相關性質、定理加以證明,從而可以使一些不等式的證明大大簡化。參考文獻：1.費榮昌. 概率論統計解題分析m. 南京:江蘇科學技術出版社,1984.2.方開泰等:談談數理統計中的概率方法.j 數理統計與應用概率,1987 (3) 355 3673.陸傳榮, 林正炎. 概率論極限理論引論m. 北京: 高等教育出版社, 19894.徐靜. 一類不等式的證明于應用j. 數學通報，2009.125.魏宗舒等編，概率論與數理統計m.北京:高等教育出版社，1983.10