1、常微分方程第一、二、三次作業參考答案1、給定一階微分方程 dy 2x :dx（1）求出它的通解； 解：由原式變形得：dy 2xdx.兩邊同時積分得y x2 C.（2）求通過點（2，3）的特解；解：將點（2,3）代入題（1）所求的得通解可得：C 1即通過點（2,3）的特解為：y x21.（3） 求出與直線y 2x 3相切的解；解：依題意聯立方程組：y x2 Cy 2x 3故有：x2 2x 3 C 0。由相切的條件可知:0，即（2）24 （ 3 C） 0解得C 4故y x24為所求。（4）求出滿足條件3ydx 3的解。0解：將y2 x3C代入 dy 3，可得0C2故y2 x2為所求。2、求下列F方

2、程的解。1：）理3xydx2)dy2x3y3dx3x3y1解:依題意聯立方程組1 / 132x3y 303x3y 10解得：x 2，y7。則令 X x 2，Y7 y 33故原式可變成:dY2x3ydX3x3yY令u，貝U dy Xdu udx，即有X3 3udx2 du .2 6u 3ux兩邊同時積分，可得(26u3u2)12 C|X| .7y將u3Xx 2代入上式可得：x2(y3 -17、2 226y143)C|x 2|x2(x2)2即上式為所求。3、求解下列方程：1) dy 2xy 4x.dx解：由原式變形得:蟲 2xdx.2 y兩邊同時積分得：ln |2 y | 1 x2 C .即上式為

3、原方程的解。2) x(乎 y) ex. dx解：先求其對應的齊次方程的通解:dy x( y) 0.dx進一步變形得：dy dx. y兩邊同時積分得:xy ce .利用常數變異法，令 y c(x)ex是原方程的通解。d (c(x)ex) dx整理得：1 dc(x) dx.x兩邊同時積分得c( x) In | x | c.故原方程的通解為:y (ln|x|c)ex.5xy ；解：令44，代入方程整理得z 4z解得：4x4x4e4 C4x4e4) 4x2y2dx 2(x3yI)dy331解：由原式化簡整理得：-(y4、敘述一階微分方程的解的存在唯一性定理。字7)一階微分方程八(1)其中是在矩形域-

4、上的連續函數。定義1 如果存在常數-? ：1，使得不等式丨- -對于所有宀一八 都成立，則函數1稱為在三上關于滿足Lipschitz 條件。dx / 13 x3dy2) 2y 2dy 0431兩邊同時積分得：4x3y2 4y2 C 03定理1如果在三上連續且關于匸滿足Lipschitz 條件， 則方程存在唯一的解：；，定義于區間. I 上，連續且滿足初始條件h = rmtig*這里P(i)5 / 135、求方程dy x y2通過點(1,0)的第二次近似解。 dx解：令o(x)0i(x)yoo(X2yo )dxxxdx0x2(x) yo 0 x2x 1 2 212151 (x)dx ox(r)

5、dx r 久x6、討論方程 理y2通過點(1,1)的解和通過點(3, 1)的解的存在區間。dx解：此時區域D是整個平面方程右端函數滿足延展定理的條件1容易算出，方程的通解是：yC x1故通過(1,1)的積分曲線為：y ，它向左可無限延展，而當2 x 為(-g ,2)。x 2時，yf + g,所以，其存在區間7、考慮方程 業 (y2 a2) f (x, y),假設f (x, y)及fy(x,y)在xOy平面上連續， dx試證明：對于任意 Xo及| yo | a，方程滿足y(xo) y的解都在(，)上存在。證明：根據題設，可以證明方程右端函數在整個xOy平面上滿足延展定理及存在與唯一性定理的條件易

6、于看到， y a為方程在(-g，+ g)上的解由延展定理可知足 y(x0) y0 , x0任意，| y0 | a的解 y y(x)上的點應當無限遠離原點，但是，由解的唯一性，y y(x)又不能穿過直線 y a，故只能向兩側延展，而無限遠離原點，從而這解應在 (-g，+g)上存在。 2&設 y x 142x x(1)驗證函數yC1x C2是方程的通解；12 2解：由y x21，易得42x x yCi x C2 12 2故得以驗證(2)求滿足初始條件y|x。1,y |x 0 2的特解；1解：由 y” x2 1，可得 yx3 x c.3由 y|x 00可得C1042xxyC2.122由 y |x 0

7、2可知C2242所以所求特解為y L乞212 2(3)求滿足初始條件y |x 1 2, y |x 3 5的特解。1)、& 3dy 2y02)、與dx4sin x3)、d2xdt25x2te解：1)、這里特征根方程為:有兩個特征根2, 21 ，因此它的通解為:2ttGe ge .解: 2)、這里特征根方程為:0 ,它的特征根為 1,2因此它對應的齊次方程的通解為:yoixce.考慮4eix，它的一個特解為:4xeixWp2xsin x 2ix cosx.42解：由y |x 12 ,y|x 35代入yx xGXC212 2”口17解得gC234.47故所求特解為:yxx 1x122 34 .9、求

8、解下歹u微分方程取它的虛部作為原方程的一個特解，則yp 2xcosx.根據解的結構基本定理，原方程的通解為:y y0 yp c1eit 2xcosx.解：3 ）、這里特征根方程為:2650 ,有兩個特征根5, 21 ，因此它對應的齊次方程的通解為:tyocie5tC2e考慮原方程x 6x5x e21，它的一個特解為:2teWpP P(2)2t e21根據解的結構基本定理，原方程的通解為:tyyoyp Ge5tc?e10、將下面的初值問題化為與之等價的一階方程組的初值問題1)IIX2x7txt e ,2)XXt e ,x(0)解:1)令X1 = x, X 2 =X，得1 1X-IXX21X2II

9、X7tx12x2 et即1X10 1X1X27t2 X2又 x1 = x(1)=7 x2 (1)=x (1)=-2x(1) 7,x(1)2IIIIII1,x(0)2,x(0)2,x (0)于是把原初值問題化成了與之等價的一階方程的初值問題:0 1 07X = -7 -2X + et x(1) = c2其中x=X1X2解：2)令 X1 = xX2 = x X3 = x X4 = x 則得:的解 (t)(0)證明：a)首先驗證它是基解矩陣I(t)表示(t)的第一列1(t)2te01(t)2e02t1021022t e 01(t)x1xx2x2xx3x3xx4x4xtetx1te且x1(0)=x(0

10、)=1, x2=x (0)=-1, x3(0)= x (0)=2,Illx 4 (0)= x (0)=0于是把原初值問題化成了與之等價的一階方程的初值問題：010001x1001001x2x=xx(0)=, 其中 x= 2000102x31000tet0x421x111、考慮方程組XAXf(t)，其中A, X (t) 是方程的解 , f(t)02x22tete2t 211)驗證(t)2t 是 X X 的基解矩陣 .0e022)試求X AXf(t)的滿足初始條件1sint cost15 / 13如果以2(t)表示2 (t)我們有(t)的第二列e2t2te2t2e2t2(t)2tte2te2tte

11、2te2(t)故 2(t) 也是方程的解，從而(t)是方程的解矩陣det (t)又2t - 2tete2t0e4te 0故（t）是x Ax的基解矩陣;(0)b）由常數變易公式可知，方程滿足初始條件t1的解(t)(t)1(0)(t)f (s)ds2t e1(t)而.2tte2tee4t2t e(t)(12tt)e2te2te0.2tte2te2se02s se2s esinsdscoss25(15t 27)e2t3 2te511 .cost sint 252521cost sint55121112、設 A 111，求解方程組J ax滿足初始條件（0）0的解（t）。201dt0121解：det（E

12、 A )=111=(+1)2( 3) = 0201二 1 =- =l nx(G C2 EXPl n(l nx 1)dx)（二重），2 = 3.21對應的特征向量為 U1 =,U2 =4231 20 =+0423111422111解得V1V2244111422(t) e3t EV1etE t(A E)M1 3t1tee221 3t1tee441 3t1tee22常微分方程課程作業 4解答1. 解答：證：首先，方程的任意兩個線性無關解的郎斯基行列式在區間I上恒不為零。可表如下xW(x) W(Xo)EXP(p(t)dt)W(x。) 0，xo為區間 I 上任一點。xoxW(x) W(Xo)EXP(p(

13、t)dt) ( p(x)xox由于EXP( p(t)dt) 0， p(x)在區間I上連續、恒不為零。故p(x)W(Xo)在區間I上恒不為零,xo即同號。此即 W (x)(與W(xo)( p(x)同號)在區間I上不變號。亦即W(x)在區間I上嚴格單調。2. 解答：證：設二階線性齊次方程的任意兩個線性無關解組的郎斯基行列式分別為:yiyiy2y2aEXP( p(x)dx)ZiZ2Z2bEXP( p(x)dx)a,b分別為這兩個行列式在某一點的值。由于線性無關解組的行列式恒不為零。故a,b都不為零。兩個行列式之比a或b為非零常數。b a3. 解答：方程可變為 y1x(1 In x) y1x1 2(1

14、 ln x) y通解為：1y y1 (C1 C22 EXP( p(x)dx)dx)y1代入得以 y1 ln x, p(x)1x(1 ln x)1 1y ln x(G C2 EXP(dx)dx)ln xx(ln x 1)=In x(GC2(lnx 1)dx)In x=(G 空)l nxIn x=C1 In x C2 x4. 解答：xW(x) W(x0)EXP(p(t)dt)W(x0) 0x0或 W(x) CEXP( p(x)dx)顯然當EXP(p(x)dx)為常數時,(比如 p(x) =0就能如此)其基本解組的郎斯基行列式為常數。5. 解答:(1) 方程的特征方程為9200特征根為15,所以方程

15、的通解為5xy GeC2e 4x，其中C1 ,C2為任意常數。(2) 方程的特征方程為特征根為1,2于(1 i),3,41i)所以方程的通解為y(Geos x C2sin x)e2 2 血(C3 eosx2C4 sin x)e 2 ，2其中C1,C2，C3,C4為任意常數。(3)方程的特征方程為特征根為1,21,所以方程的通解為yC1ex(C2xC3)ex，其中C1,C2，C3為任意常數。6. 解答：(1)方程的特征方程為2 44 0特征根為1,22所以方程的通解為y (C1X C2)e 2x，其中C1,C2為任意常數。以x 2, y 4, y 0代入下兩式y (C1X C2)e 2x，y(2

16、C1x C2 C1)e 2x得C1448e ,C212e所以方程滿足初始條件的解為y(8x4 2x12)e(2)方程的特征方程為20特征根為11, 20所以方程的通解為y C1 C2e x，其中C1,C2為任意常數。xy C1c?eyC2e x得C17,C25以 x 0, y 2, y5代入下兩式所以方程滿足初始條件的解為5e7. 解答:(1)齊次方程y8y 7y 0的特征方程為 28特征根為,1, 27通解為 y* Ciex C2e7x，其中Ci,C2為任意常數。_ 2令 y ax bx c代入y8y 7 y 3x2 7x 8比較同次項系數得a 3,b 97,c 丄6749343所以方程y

17、8y 7 y 3x? 7x 8的通解為yC1exC2e7x3 2 971126x x749343(2)齊次方程x 6x 13x0的特征方程為 26130特征根為 132i, 23 2i*3t通解為 x (Gcos2t C2Sin2t)e ，其中CC2為任意常數。令 x (at2 bt c)et代入 x 6x 13x et(t2 5t 2)比較同次項系數得1 a, b2029,c1002111000所以方程x6x 13x et(t2 5t2)的通解為亠3tt1229211x (C1 cos2tC2 sin 2t)ee ( tt)201001000(3)齊次方程y2y 10y0的特征方程為 22

18、10 0特征根為1,2 1 3i*X通解為 yC1 cos3x C2sin3xe，其中C1, C2為任意常數。令 y (ax b)cos2x (cxd) sin2x 代入 y2y 10yxcos2x3比較同次項系數得a , b262913bb,c 13,d169所以方程y 2y 10y xcos2x的通解為(C1 cos3xC2 sin3x)ex (?x26絲)cos2x3381)sin 2x138.由解答：f= k x 以f= 9.8 , x=1 得 k= 9.8F ma得 9.8x2 9.8d2xdt2特征方程為2 210特征根為1,22. i 21通解為 x C1 cos t C21sin 2其中C1 ,C2為任