1、數(shù)學(xué)分析下冊(cè)第二十一章二重積分 4二重積分的變量變換 教學(xué)目的 了解二重積分的一般的變量變換公式，掌握用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分. 教學(xué)內(nèi)容 二重積分的一般的變量變換公式；極坐標(biāo)變換公式. (1) 基本要求：了解二重積分的一般的變量變換公式，掌握二重積分的極坐 標(biāo)變換. (2) 較高要求：理解二重積分的一般的變量變換公式的證明. 教學(xué)建議 (1) 本節(jié)的重點(diǎn)是極坐標(biāo)變換公式，要求學(xué)生必須熟練掌握. (2) 本節(jié)的難點(diǎn)是二重積分的一般的變量變換公式的證明，可要求較好學(xué)生 了解. 教學(xué)程序 一、二重積分的變量變換公式 引理 設(shè)變換T : x xu,v，y yu,v將uv平面上由按段光滑封閉曲線所 圍成的

2、閉區(qū)域，一對(duì)一地映成xy平面上的閉區(qū)域D，函數(shù)x xu,v ,y yu，v 在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式 x, y Ju，v= u，v 0，u，v， 則區(qū)域的面積 J u,v dudv D =.(5) 證明 現(xiàn)給出y yu,v在 內(nèi)分別具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)的證明， y yu,v在 內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的證明以后給出. 由于變換T是一對(duì)一的，且Ju,v 0,因而T把 的內(nèi)點(diǎn)變?yōu)镈的內(nèi)點(diǎn)， 所以 的按段光滑邊界曲線L變換到D時(shí)，其邊界曲線Ld也是按段光滑曲線， 設(shè)曲線L的參數(shù)方程為 u = u tv = v tt ? 由于L按段光滑，所以u(píng) t，v t在，上至多除去有限個(gè)第一類

3、間斷點(diǎn)外， 在其他點(diǎn)上都是連續(xù)的因?yàn)長(zhǎng)d T L ，所以Ld的參數(shù)方程為： x x t x u t ,v t , y t y u t ,v t , t 若規(guī)定t從變到時(shí)，對(duì)應(yīng)于Ld的正向, 則根據(jù)格林公式，取 Px,y O,Qx,y x，有 xdy D =Ld y x t y t dt x u t ,vt u u dt (6) 另一方面，在 uv平面上 yy :x u,v du dv Lu v x u t ,v t Yu t u v t dt v (7) 其中正號(hào)及負(fù)號(hào)分別由t從變 到時(shí)，是對(duì)應(yīng)于 Ld的正向或是負(fù)方向所決 11 定由（6）及（7）得到 x u, v D l Ydu 丄 dv

4、u v y x u,v du lu y x u,v dv v u,v y x u,vQ u,v u， xu,v y v在平面uv上對(duì)上式應(yīng)用格林公式, 得到 P dudv v 由于函數(shù) yu，v具有二階連續(xù)偏聽偏信導(dǎo)數(shù)，即有 2 y v u，因此 P v=Ju，v， 于是 J u,v dudv 又因?yàn)?總是非負(fù)的，而J u,v在 上不為零且連續(xù)，故其函數(shù)值在上不變 J u,v dudv 號(hào)，所以 定理21.13 設(shè)f x,y在有界閉區(qū)域D上可積，變換T : x xu,v， y yu,v將uv平面上由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域一對(duì)一地映成xy 平面上的閉區(qū)域D，函數(shù)x xu,v，y yu,v

5、在 內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且它們的函數(shù)行列式 x, y J u,v = u,v 0， u,v 則 f x, y dxdy fxu,v,yu,v J u,v dudv D= 證明 用曲線網(wǎng) 把分成n個(gè)小區(qū)域i ,在變換T作用下區(qū)域D也相應(yīng)地分 成個(gè)n小區(qū)域Di ,記i及Di的面積為 i及 Di i 1，n由引理及二重積 分的中值定理，有 Di 其中 ui,vi i i 1, ,n 二重積分f x，y的積分和 J u,v dudv - _ J ui, vi i= 令 i x ui,vi ， i y u ,vi，貝yi, i Di .作 n _ _ J ui , vi Di f x ui,vi

6、, y ui , vi =i 1 上式右邊的和式是上的可積函數(shù)f xu，v，yu，v J u，v的積分和.又由變換T的 連續(xù)性可知，當(dāng)區(qū)域 的分割的細(xì)度 M 0時(shí)，區(qū)域D相應(yīng)的分割的細(xì)度HTDI 也趨于零.因此得到 u,v dudv f x, y dxdy f x u,v , y u,v J D= ex ydxdy 例1求D ，其中D是由x o,y 0,x 1所圍區(qū)域. 解作變換u x y,v x y 即 v ,y v u I ,則 Ju,v 1 =2 x y edxdy D u e； ,1 v u 1 1 一 -dudv dv evdu 2=2o v 1 1 -dv evdu =2o v=2

7、 11ve e1dv 卩 04 例2求拋物線y mx, ynx和直線yx , yx所圍成區(qū)域D的面 積 D 0 m n,0 dxdy 解 D的面積 D = d x 作變換 uu 2，y Vv D = dxdy =D= n 23 m 6 3 3 u J u,v =v4 n 斗 dudv dv du v = mV 3 x r cos T : y r si nOr 1 ,0 用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 2 （ 8） 下, 定理21.14 設(shè)f x,y滿足定理21. 13的條件，且在極坐標(biāo)變換（8） xy平面上有界區(qū)域D與r平面上區(qū)域 對(duì)應(yīng)，則成立 f x, y dxdy f r cos , rsin rd

8、rd d= 證明若d為圓域x,y x R2 ，則 為r平面上的矩形區(qū)域 0,R0,2 設(shè)D為在圓環(huán)x,y 0 2 2 2 x y R中除去中心角為 形BBAA所得的區(qū)域，則在變換（8） 下, D對(duì)應(yīng)于平面上的矩形區(qū)域 ,R 0,2 但極坐標(biāo)變換（8）在D與 之間是一對(duì)一變換，且 的扇 在 上函數(shù)行列式Jr,0 于是由定理21. 13有 f x,y dxdy d f r cos , r sin rdrd 因?yàn)閒 x，y在有界閉區(qū)域d上有界，在上式中令 0即得 f x, y dxdy d f r cos , rsin rdrd 若D是一般的有界區(qū)域，則取足夠大的 使D包含在圓域 Dr = 2 x,

9、y x R2 內(nèi)，并且在DR上定義函數(shù) f x, y , x,y f x, y = 0, x, y （i）若原點(diǎn)0 D , xy平面上射線=常數(shù)與D的邊界至多交于兩點(diǎn). ，于是有 示為r1r f x, y dxdy d d= f r cos , r sinrdr 若原點(diǎn)0 D , xy平面上的圓r=常數(shù)與D的邊界至多交于兩點(diǎn). 表示為1 r 2 r ,r1rr2，于是有 S2 r f rcos , rsin d (ii)若原點(diǎn)0為D的內(nèi)點(diǎn)，D的邊界方程表示為r r ，則 表示為 r r ， 2 d d 0= 0=2 ，于是有 2 r (iii)若原點(diǎn) f x, y dxdy D O在D的邊界上

10、，則 f r cos , rsin rdr 于是有 例3計(jì)算I = D f x, y dxdy D r f r cos , r sin 0 rdr 2 其中為圓域x y2 1 .1 r2 2 R被圓柱面 Rx所割下部分的體積. 解 Jr 1 V =4 d 2 x 2 y d 2 Rcos 2 d, R2 r2 rdr 4 rdc、1 r abrdr 4 abc 1 sin3 d =4 0 0 =3 0 4 口3 2 R 32 3 e 例5計(jì)算I = D X2 y 2 2 ，其中D為圓域：x y R2 2 R 2 d re r dr I = 00 /R2 1 e，作廣義極坐標(biāo)變換 1的體積. 4 當(dāng)abc