1、參考資料:九章算術中的二元一次方程組大自然充滿了未知領域，是人類的智慧架起了一座座從已知通向未知的橋 梁，構筑了燦爛的科學文化。線性方程組及其求解，無疑就是這些橋梁中最美麗 的幾座。代數學發展的一條主要方向就是方程理論。大約在3600年前，自埃及祭司阿莫斯用象形文字在紙草書上寫下史上第一個一元一次方程后，相關理論研究逐漸向兩個方向延伸：增高未知數的次數，衍生出一元高次方程理論；增加未 知項的個數，創造了線性方程組理論。值得驕傲的是，早在九章算術成書時 代，中國古人已對較為復雜的線性方程組問題展開了研究。而西方直至17世紀相關研究尚處于初級階段。1. 中國古代的線性方程組今天教科書中“方程”術語

2、源于英文 Equation之翻譯（清代數學家李善蘭首 譯），然而中國古代數學中的“方程”并非現代“含有未知數的等式”之涵義。 成書早于九章算術的江陵張家山竹簡算數書記載，“方程”是由“程禾”算法發展而來。“程禾”就是考核糧食作物的產量。在九章算術的方程章， 其前六題皆是測算糧食產量問題，可見一斑。如第1題：今有上禾（上等稻）三秉（捆），中禾二秉，下禾一秉，實（谷子）三十九斗；上 禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 實二十六斗。問上、中、下禾一秉各幾何？“方程”的明確定義由劉徽在九章算術方程章開篇詮釋道：程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實，令每行為率。二

3、物者再程， 三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程。其中“數”乃群物之數，即諸未知項的系數，“實”是“數”與“物”的線 性組合，相當于常數項，“總”則暗示了等量關系。因而“方程”的每行都可以 看作是一個多元一次方程，“方程”各行聯立起來就組成了一個線性方程組。因此，中國古代的“方程”就是現在的線性方程組。九章算術中的算籌圖是豎排的(從左至右)。若用印度-阿拉伯數碼，方程章第1題則可表示為：1 2齊2 32*3 122634珈實乃現代線性方程組的系數排列而成的數表。若是用現在符號表示則為px+2y+z = 39、2x+ 3y +1 = 34 x+2y3z=26實乃現代線性方程組的系數排列

4、而成的數表。若是用現在符號表示則為其他國家或民族給出聯立一次方程組的解法比中國晚不少年，如在印度最早出現在婆羅摩笈多(Brahmagupta 598-660)的著作婆羅摩修正體系之中；而 歐洲最早提出三元一次方程組解法者是法國數學家布丟(J.Buteo, 1485-1572)。2. 九章算術中的二元一次方程組九章算術方程章中共計18道題目，其中關于二元一次方程組的有 8題， 三元的6題，四元、五元的各2題皆是用直除法求解，該演算法是我國古代求解 線性方程組的基本方法，其理論上和現在加減消元法基本一致。 如第2、10題就 是典型的二元一次方程組。今有上禾七秉，損實一斗，益之下禾二秉，而實一十斗；

5、下禾八秉，益實 一斗與上禾二秉，而實一十斗。問上、下禾實一秉各幾何？這里的“損實”就是減去，“益實”就是加上，故而“益實”和“損實”是 一對互為相反意義的正負概念。同時在“術”中還給出移項的概念。解按術計算有：設上禾每捆打谷斗，下禾每捆打谷斗。則據題意可得j(7x-l) + 2y = 10|2x + (8y-Fl) = 10移項，得*|7x+2j/ = 10+l12x+8v = 10-lI*化簡，解得426卩41今有甲乙二人持錢不知其數。甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十。 問甲、乙持錢各幾何？題意為：今有甲乙二人，不知其錢包里有多少錢。若乙把其一半的錢給甲，則甲的錢數為50;而甲把其2/

6、3的錢給乙，則乙的錢數也能為 50，問甲、乙各 有多少錢?解設甲持錢為，乙持錢為。依題意得方程組解設甲持錢為廠乙持錢為依題意得方程組dx+- 丫 = 50v +x = 50 3可解得-在九章算術中，多是采用分離系數法表示線性方程組，這相當于現在的 矩陣(線性方程組系數用數表表示的形式)表示。而解線性方程組所使用的直除 法，與矩陣初等變換相一致(交換兩行位置；某行乘以非零數；兩行相加減 )。另 求解線性方程組時中國古人還施行了正負數的乘除法，這是世界數學史上一項重 大成就。盡管在丟番圖算術中，給出題目：已知兩數之和為100，之差為40, 求兩數，但在西方直到17世紀才由萊布尼茲提出完整的線性方程組解法法則。此外，我國古典數學著作孫子算經、張丘建算經、數書九章、詳解九章算法、九章算法比類大全、算法統宗等，也介紹了線性方 程組解法。清代數學家梅文鼎(1633-1721)的方程論共有90道線性方程組問 題，其中未知數個數最多達6個，解法也多是利用加減消元法。關于著方程論 的宗旨，梅文鼎曾給友