浙江大學2007-2008學年春季學期微積分課程期末考試試卷一 、填空題（每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上）1.點M（1,1, 2）到平面的距離d = .2.已知,則 .3.設可微，,則= .4.設在0，1上連續，且, 與為常數.,則= .5.設為連續函數，交換二次積分次序 .二 、選擇題（每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，把所選字母填入題后的括號內）6.直線l1:與直線l2:的夾角為（A） . （B） . （C） . （D） . 7.設為連續函數，極坐標系中的二次積分可以寫成直角坐標中的二次積分為（A） （B）（C） （D） 8.設 為的以2為周期的余弦級數，則（A）. （B）. （C）. （D）. 9.設則在點O處（A）偏導數存在，函數不連續 （B）偏導數不存在，函數連續（C）偏導數存在，函數連續 （D）偏導數不存在，函數不連續 三、解答題 10.（本題滿分10分）求曲線L：在其上點M（1，1，2）處的切線方程與法平面方程.11.（本題滿分10分）設F可微，z是由F(,確定的可微函數，并設，求. 12.（本題滿分10分）設D是由曲線與直線圍成的兩塊有界閉區域的并集，求.13.（本題滿分10分）求空間曲線L：上的點到平面的距離最大值與最小值.14.（本題滿分10分）設平面區域D=，計算二重積分.15.（本題滿分5分）設當y0時可微，且已知. 求.浙江大學20072008學年春季學期微積分II課程期末考試試卷答案一、填空題（每小題5分，共25分）1.2.34， .5 或 或 .二、選擇題（每小題5分，共20分）6選（B）. l1的方向向量，l2的方向向量，.7選（D）. 積分區域，化成直角坐標后故知選（D）.8選（C）. .9選（A）. ，偏導數存在. 取，隨k而異，所以不連續三、解答題（1014每題10分，15題5分，共55分）10由L，視x為自變量，有以代入并解出，得，所以切線方程為，法平面方程為，即.11.12D在第一象限中的一塊記為D1，D在第三象限中的一塊記為D2，.所以，原式.13L上的點到平面的距離為，它的最大值點，最小值點與的一致，用拉格朗日乘數法，設，求偏導數，并令其為零有：， ， 解之得兩組解. 所以當時，最小；當時，最大.14將分成如圖的兩塊，的圓記為D1，另一塊記為D2+ 15由，有，從而知，又由，推知，所以，.注：若用湊的辦法亦可：所以，浙江大學20062007學年春季學期 微積分 課程期末考試試卷開課學院： 理學院 考試形式：閉卷 考試時間： 年 月 日 所需時間：120 分鐘考生姓名： _學號： 專業： _題序一二三四五六七總 分得分評卷人一、 填空題（每小題5分，滿分30分）1 直線在平面上的投影直線方程為 .2 數量場在點的梯度為 函數在P點沿的方向導數為 .3 設 具有二階連續偏導數，則 . 4 設，則.5 已知曲面與橢球面在第一卦限內相切，則切點坐標為，公共切平面方程為.6 設函數，其中，則二、 （滿分10分）求直線 繞x軸旋轉一周所得的旋轉曲面方程.三、 （滿分10分）計算.四、 (滿分15分)已知由方程確定，試求.五、 （滿分15分）設平面為曲線上的點 到平面的距離，求的最大，最小值 .六、 (滿分15分)如圖是一塊密度為（常數）的薄板的平面圖形（在一個半徑為R的半圓直 徑上拼上一個矩形，矩形的另一邊為h）,已知平面圖形的形心位于原點(0, 0). 試求：1. 長度 h；2.薄板繞x軸旋轉的轉動慣量. 七、 (滿分5分) 求證:當時，成立不等式 .參考解答：一1； 2. ； 3. ； 4. 5. 6. .二直線： 曲面上點直線上點 則旋轉曲面方程：三 四 五 最小距離：，最大距離：六形心： 即 七設 且對固定的， 當當 所以，取得最小值且為0，則 ，即 1、已知,則_.2、已知,則_.3、函數在點取得極值.4、已知,則_.5、以(為任意常數)為通解的微分方程是_.6 知與均收斂,則常數的取值范圍是( c ).(A) (B) (C) (D) 7 數在原點間斷,是因為該函數( b ).(A) 在原點無定義 (B) 在原點二重極限不存在 (C) 在原點有二重極限,但無定義(D) 在原點二重極限存在,但不等于函數值8、若,則下列關系式成立的是( a). (A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解(d ). (A) (B) (C) (D) 10、設收斂，則(d ).(A) 絕對收斂 (B) 條件收斂 (C) 發散 (D) 不定一、填空題(每小題3分,共15分)1、. 2、. 3、. 4、1. 5、.11、求由,所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積.解：的函數為。且時，。于是 12、求二重極限 . 解：原式 (3分) (6分)13、由確定，求.解：設，則 ， ， ， (3分) (6分)14、用拉格朗日乘數法求在條件下的極值.解： 令,得,為極小值點. (3分)故在下的極小值點為,極小值為 (6分)15、計算.解： (6分)6、計算二重積分，其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區域.解： (6分)17、解微分方程.解：令,方程化為,于是 (3分) (6分)18、判別級數的斂散性.解： (3分) 因為 19、將函數展開成的冪級數,并求展開式成立的區間.解：由于,已知 , (3分)那么 ,. (6分20、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據統計資料,銷售收入(萬元)與電臺廣告費用(萬元)的及報紙廣告費用(萬元)之間的關系有如下的經驗公式:，求最優廣告策略 解：公司利潤為令即得駐點,而 (3分),所以最優廣告策略為：電臺廣告費用(萬元),報紙廣告費用(萬元). (6分)四、證明題(每小題5分,共10分)21、設，證明：.證：22、若與都收斂,則收斂.證：由于, (3分)并由題設知與都收斂,則收斂,從而收斂。 (6分)1、設，則_.2、已知，則_.3、設函數在點取得極值，則常數4、已知,則_5、以(為任意常數)為通解的微分方程是_.6、已知與均收斂,則常數的取值范圍是( ).(A) (B) (C) (D) 7、對于函數,點( ).(A) 不是駐點 (B) 是駐點而非極值點 (C) 是極大值點 (D) 是極小值8、已知,其中為,則( ).(A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解( ). (A) (B) (C) (D) 10、級數收斂，則級數( ).(A) 條件收斂 (B) 絕對收斂 (C) 發散 (D) 斂散性不定11、求,所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積.12、求二重極限. 13、設,求.14、用拉格朗日乘數法求在滿足條件下的極值.15、計算.16、計算二重積分,其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區域.17、解微分方程.18、判別級數的斂散性.19、將函數展開成的冪級數.20、某工廠生產甲、乙兩種產品,單位售價分別為40元和60元,若生產單位甲產品,生產單位乙產品的總費用為,試求出甲、乙兩種產品各生產多少時該工廠取得最大利潤.21、設,證明.22、若與都收斂,則收斂.（可能會有錯誤大家一定要自己核對）一、填空題(每小題3分,共15分)1、設，且當時，則 。（）2、計算廣義積分= 。（）3、設，則 。（）4、微分方程具有 形式的特解.（）5、設，則_。（1）二、選擇題(每小題3分,共15分)1、的值為 （ A ）A.3 B.0 C.2 D.不存在2、和存在是函數在點可微的 （ A ）。 A.必要非充分的條件； B.充分非必要的條件； C.充分且必要的條件； D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面和及柱面所圍的體積是 （D）。A. ； B. ；C、； D. 4、設二階常系數非齊次線性方程有三個特解，則其通解為 （C ）。 A.； B.； C.； D.5、無窮級數(為任意實數) （D）A、收斂 B、絕對收斂 C、發散 D、無法判斷 三、計算題(每小題6分,共60分)1、求下列極限：。解： （3分） （6分）2、求由與直線、所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積。解： （4分） （6分）3、求由所確定的隱函數的偏導數。解：方程兩邊對求導得:,有 （3分）方程兩邊對求導得:,有 （6分）4、求函數的極值。解：，則， 求駐點，解方程組得和. （2分）對有，于是，所以是函數的極大值點，且 （4分）對有，于是， 不是函數的極值點。 6、計算積分,其中是由直線及所圍成的閉區域；解：. （4分） （6分）7、已知連續函數滿足，且，求。解：關系式兩端關于求導得：即 （2分）這是關于的一階線性微分方程，其通解為： = （5分）又，即，故，所以 （6分）8、求解微分方程=0 。解：令，則，于是原方程可化為： （3分） 即，其通解為 （5分） 即故原方程通解為： （6分）9、求級數的收斂區間。解：令,冪級數變形為,. （3分）當時,級數為收斂；當時,級數為發散. 故的收斂區間是, （5分）那么的收斂區間為. （6分）10、 判定級數是否收斂，如果是收斂級數，指出其是絕對收斂還是條件收斂。解：因為 （2分）由比值判別法知收斂()， （4分）從而由比較判別法知收斂，所以級數絕對收斂. （6分）四、證明題(每小題5分,共10分)1、設正項級數收斂,證明級數也收斂。證：， （3分）而由已知收斂，故由比較原則，也收斂。 （5分）2、設,其中為可導函數, 證明.證明：因為, （2分） （4分）所以. （5分）一、填空題(每小題3分,共15分)1、設，且當時，則 。（）2、計算廣義積分= 。（）3、設，則 。（）4、微分方程具有 形式的特解.（）5、級數的和為 。（）二、選擇題(每小題3分,共15分)1、的值為 （ B ）A、0 B、3 C、2 D、不存在2、和在存在且連續是函數在點可微的 （ B ） A.必要非充分的條件； B.充分非必要的條件； C.充分且必要的條件； D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面和及柱面所圍的體積是 （ B）A. ； B. ；C、； D. 4、設二階常系數非齊次微分方程有三個特解，則其通解為 （D） A、； B、； C、 ； D、5、無窮級數(為任意實數) （A）A、無法判斷 B、絕對收斂 C、收斂 D、發散三、計算題(每小題6分,共60分)1、求下列極限：。解： （3分） （6分） 2、求由在區間上,曲線與直線、所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積。 解： （4分） （6分）3、求由所確定的隱函數的偏導數。解：（一）令則 ， ， 利用公式，得 （3分） （6分）（二）在方程兩邊同時對x求導，得 解出 ， （3分）同理解出 （6分）4、求函數的極值。解：，則，求駐點，解方程組得和. （2分）對有，于是，所以點不是函數的極值點. （4分）對有，于是，且，所以函數在點取得極小值, （6分） （5分）6、計算二重積分,其中是由及所圍成的閉區域；解： （4分） （6分）7、已知連續函數滿足，求。解：關系式兩端關于求導得：即 （2分）這是關于的一階線性微分方程，其通解為： （5分）又，即，故，所以 （6分）8、求微分方程的通解。解 這是一個不明顯含有未知函數的方程作變換 令 ，則，于是原方程降階為 （3分）， 分離變量，積分得 即 ，從而 （5分）再積分一次得原方程的通解 y （6分）9、求級數的收斂區間。解：令,冪級數變形為,. （3分）當時,級數為收斂；當時,級數為發散. 故的收斂區間是, （5分）那么的收斂區間為. （6分）10、 判定級數是否收斂，如果是收斂級數，指出其是絕對收斂還是條件收斂：解：因為 （2分）由比值判別法知收斂()， （4分）從而由比較判別法知收斂，所以級數絕對收斂. （6分）四、證明題(每小題5分,共10分)1、設級數收斂，證明也收斂。證：由于， （3分）而,都收斂，故收斂，由比較原則知 收斂.。（5分）2、設,證明:。證明： 因為 , （2分）, , （4分）所以 （5分）中南民族大學06、07微積分（下）試卷及參考答案06年A卷評分閱卷人1、已知,則_.2、已知,則_.3、函數在點取得極值.4、已知,則_.5、以(為任意常數)為通解的微分方程是_. 二、選擇題(每小題3分,共15分)評分閱卷人7 知與均收斂,則常數的取值范圍是( ).(A) (B) (C) (D) 8 數在原點間斷,是因為該函數( ).(A) 在原點無定義 (B) 在原點二重極限不存在 (C) 在原點有二重極限,但無定義(D) 在原點二重極限存在,但不等于函數值8、若,則下列關系式成立的是( ). (A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解( ). (A) (B) (C) (D) 10、設收斂，則( ).(A) 絕對收斂 (B) 條件收斂 (C) 發散 (D) 不定三、計算題(每小題6分,共60分)評分評分評閱人11、求由,所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積.評分評閱人12、求二重極限 . 評分評閱人13、由確定，求.評分評閱人14、用拉格朗日乘數法求在條件下的極值.評分評閱人15、計算.評分評閱人16、計算二重積分，其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區域.評分評閱人17、解微分方程.評分評閱人18、判別級數的斂散性.評分評閱人19、將函數展開成的冪級數,并求展開式成立的區間.評分評閱人20、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據統計資料,銷售收入(萬元)與電臺廣告費用(萬元)的及報紙廣告費用(萬元)之間的關系有如下的經驗公式:，求最優廣告策略.四、證明題(每小題5分,共10分)評分評分評閱人21、設，證明：.評分評閱人22、若與都收斂,則收斂.答案一、填空題(每小題3分,共15分)1、. 2、. 3、. 4、1. 5、.二、選擇題(每小題3分,共15分)6、(C ). 7、 (B). 8、(A ) . 9、(D). 10、(D).三、計算題(每小題6分,共60分)11、求由,所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積.解：的反函數為。且時，。于是 12、求二重極限 . 解：原式 (3分) (6分)13、由確定，求.解：設，則 ， ， ， (3分) (6分)14、用拉格朗日乘數法求在條件下的極值.解： 令,得,為極小值點. (3分)故在下的極小值點為,極小值為 (6分)15、計算.解： (6分)16、計算二重積分，其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區域.解： (6分)17、解微分方程.解：令,方程化為,于是 (3分) (6分)18、判別級數的斂散性.解： (3分) 因為 (6分)19、將函數展開成的冪級數,并求展開式成立的區間.解：由于,已知 , (3分)那么 ,. (6分)20、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據統計資料,銷售收入(萬元)與電臺廣告費用(萬元)的及報紙廣告費用(萬元)之間的關系有如下的經驗公式:，求最優廣告策略.解：公司利潤為令即得駐點,而 (3分),所以最優廣告策略為：電臺廣告費用(萬元),報紙廣告費用(萬元). (6分)四、證明題(每小題5分,共10分)21、設，證明：.證： (3分) (6分)22、若與都收斂,則收斂.證：由于, (3分)并由題設知與都收斂,則收斂,從而收斂。 (6分)06年B卷一、填空題(每小題3分,共15分)評分閱卷人1、設，則_.2、已知，則_.3、設函數在點取得極值，則常數. 4、已知,則_.5、以(為任意常數)為通解的微分方程是_. 二、選擇題(每小題3分,共15分)評分閱卷人6、已知與均收斂,則常數的取值范圍是( ).(A) (B) (C) (D) 7、對于函數,點( ).(A) 不是駐點 (B) 是駐點而非極值點 (C) 是極大值點 (D) 是極小值點8、已知,其中為,則( ).(A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解( ). (A) (B) (C) (D) 10、級數收斂，則級數( ).(A) 條件收斂 (B) 絕對收斂 (C) 發散 (D) 斂散性不定三、計算題(每小題6分,共60分)評分評分評閱人11、求,所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積.評分評閱人12、求二重極限. 評分評閱人13、設,求.評分評閱人14、用拉格朗日乘數法求在滿足條件下的極值.評分評閱人15、計算.評分評閱人16、計算二重積分,其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區域.評分評閱人17、解微分方程.評分評閱人18、判別級數的斂散性.評分評閱人19、將函數展開成的冪級數.評分評閱人20、某工廠生產甲、乙兩種產品,單位售價分別為40元和60元,若生產單位甲產品,生產單位乙產品的總費用為,試求出甲、乙兩種產品各生產多少時該工廠取得最大利潤.四、證明題(每小題5分,共10分)評分評分評閱人21、設,證明.評分評閱人22、若與都收斂,則收斂.07年A卷一、填空題(每小題3分,共15分)評分閱卷人1、設，且當時，則 .2、計算廣義積分= .3、設，則 . 4、微分方程具有 形式的特解.5、設，則_ 二、選擇題(每小題3分,共15分)評分閱卷人6、的值為( ).(A) (B) (C) (D)不存在7、和存在是函數在點可微的( ).(A) 必要非充分的條件 (B) 充分非必要的條件(C) 充分且必要的條件 (D) 即非充分又非必要的條件8、由曲面和及柱面所圍的體積是( ).(A) (B) (C) (D) 9、設二階常系數非齊次線性方程有三個特解，則其通解為( ). (A) (B) (C) (D) 10、無窮級數 (為任意實數) ( ).(A) 收斂 (B) 絕對收斂 (C) 發散 (D) 無法判斷三、計算題(每小題6分,共60分)評分評分評閱人11、求極限.評分評閱人12、求由與直線、所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積. 評分評閱人13、求由所確定的隱函數的偏導數.評分評閱人14、求函數的極值.評分評閱人15、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據統計資料,銷售收入(萬元)與電臺廣告費用(萬元)的及報紙廣告費用(萬元)之間的關系有如下的經驗公式: .若提供的廣告費用為萬元,求相應的最優廣告策略.評分評閱人16、計算積分,其中是由直線及所圍成的閉區域.評分評閱人17、已知連續函數滿足，且，求.評分評閱人18、求解微分方程=0.評分評閱人19、求級數的收斂區間.評分評閱人20、判定級數是否收斂，如果是收斂級數，指出其是絕對收斂還是條件收斂.四、證明題(每小題5分,共10分)評分評分評閱人21、設正項級數收斂,證明級數也收斂.評分評閱人22、設,其中為可導函數, 證明.07（A）卷參考答案（可能會有錯誤大家一定要自己核對）一、填空題(每小題3分,共15分)1、設，且當時，則 。（）2、計算廣義積分= 。（）3、設，則 。（）4、微分方程具有 形式的特解.（）5、設，則_。（1）二、選擇題(每小題3分,共15分)1、的值為 （ A ）A.3 B.0 C.2 D.不存在2、和存在是函數在點可微的 （ A ）。 A.必要非充分的條件； B.充分非必要的條件； C.充分且必要的條件； D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面和及柱面所圍的體積是 （D）。A. ； B. ；C、； D. 4、設二階常系數非齊次線性方程有三個特解，則其通解為 （C ）。 A.； B.； C.； D.5、無窮級數(為任意實數) （D）A、收斂 B、絕對收斂 C、發散 D、無法判斷 三、計算題(每小題6分,共60分)1、求下列極限：。解： （3分） （6分）2、求由與直線、所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積。解： （4分） （6分）3、求由所確定的隱函數的偏導數。解：方程兩邊對求導得:,有 （3分）方程兩邊對求導得:,有 （6分）4、求函數的極值。解：，則， 求駐點，解方程組得和. （2分）對有，于是，所以是函數的極大值點，且 （4分）對有，于是， 不是函數的極值點。 （6分）5、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據統計資料,銷售收入(萬元)與電臺廣告費用(萬元)的及報紙廣告費用(萬元)之間的關系有如下的經驗公式: .若提供的廣告費用為萬元,求相應的最優廣告策略.解：顯然本題要求:在條件下,求的最大值.令, （3分）解方程組 （5分）得:, 所以,若提供的廣告費用為萬元,應將萬元全部用在報紙廣告費用是最優的廣告策略. （6分）6、計算積分,其中是由直線及所圍成的閉區域；解：. （4分） （6分）7、已知連續函數滿足，且，求。解：關系式兩端關于求導得：即 （2分）這是關于的一階線性微分方程，其通解為： = （5分）又，即，故，所以 （6分）8、求解微分方程=0 。解：令，則，于是原方程可化為： （3分） 即，其通解為 （5分） 即故原方程通解為： （6分）9、求級數的收斂區間。解：令,冪級數變形為,. （3分）當時,級數為收斂；當時,級數為發散. 故的收斂區間是, （5分）那么的收斂區間為. （6分）10、 判定級數是否收斂，如果是收斂級數，指出其是絕對收斂還是條件收斂。解：因為 （2分）由比值判別法知收斂()， （4分）從而由比較判別法知收斂，所以級數絕對收斂. （6分）四、證明題(每小題5分,共10分)1、設正項級數收斂,證明級數也收斂。證：， （3分）而由已知收斂，故由比較原則，也收斂。 （5分）2、設,其中為可導函數, 證明.證明：因為, （2分） （4分）所以. （5分）一、填空題(每小題3分,共15分)評分閱卷人1、設，且當時，則 .2、計算廣義積分 .3、設，則 .4、微分方程具有 形式的特解.5、級數的和為 . 二、選擇題(每小題3分,共15分)評分閱卷人6、的值為( ).(A) (B) (C) (D)不存在7、和在存在且連續是函數在點可微的( ).(A) 必要非充分的條件 (B) 充分非必要的條件(C) 充分且必要的條件 (D) 即非充分又非必要的條件8、由曲面和及柱面所圍的體積是( ).(A) (B) (C) (D) 9、設二階常系數非齊