第21講 行程與工程內容概述 運動路線或路況復雜，與周期性或數論知識相關聯，需進行優化設計等具有相當難度的行程問題工作效率發生改變，要完成的項目及參加工作的對象較多的工程問題 典型問題 1。如圖21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小張和小王在上坡時步行速度是每小時4千米，平路時步行速度是每小時5千米，下坡時步行速度是每小時6千米小張和小王分別從A和D同時出發，1小時后兩人在E點相遇已知E在BC上，并且E至C的距離是B至C距離的當小王到達A后9分鐘，小張到達D那么A至D全程長是多少千米? 【分析與解】 BE是BC的，CE是BC的，說明DC這段下坡，比AB這段下坡所用的時間多，也就是DC這一段，比AB這一段長，因此可以在DC上取一段DF和AB一樣長，如下圖： 另外，再在圖上畫出一點G，使EG和EC一樣長，這樣就表示出，小王從F到C.小張從B到G 小王走完全程比小張走完全程少用9分鐘，這時因為小張走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他們兩人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一樣多) 因此，小王從F至C，走下坡所用時間是9=18(分鐘) 因此得出小張從B至G也是用18分鐘，走GE或CE都用6分鐘走B至C全程(平路)要30分鐘 從A至曰下坡所用時間是60-18-6=36(分鐘)； 從D至C下坡所用時間是60-6=54(分鐘)； A至D全程長是(36+54)+30=11.5千米 2如圖2l-2，A，B兩點把一個周長為l米的圓周等分成兩部分藍精靈從B點出發在這個圓周上沿逆時針方向做跳躍運動，它每跳一步的步長是米，如果它跳到A點，就會經過特別通道AB滑向曰點，并從B點繼續起跳，當它經過一次特別通道，圓的半徑就擴大一倍已知藍精靈跳了1000次，那么跳完后圓周長等于多少米? 【分析與解】 4=即藍精靈跳4次到A點圓半徑擴大一倍即乘以2后，跳8次到A點 圓半徑乘以4后，跳16次到A點 依次類推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A點1000次跳完后圓周長是1=128米 3已知貓跑5步的路程與狗跑3步的路程相同；貓跑7步的路程與兔跑5步的路程相同而貓跑3步的時間與狗跑5步的時間相同；貓跑5步的時間與兔跑7步的時間相同，貓、狗、兔沿著周長為300米的圓形跑道，同時同向同地出發問當它們出發后第一次相遇時各跑了多少路程? 【分析與解】 方法一：由題意，貓與狗的速度之比為9:25，貓與兔的速度之比為25:49 設單位時間內貓跑1米，則狗跑米，兔跑米 狗追上貓一圈需300(-1)= 單位時間， 兔追上貓一圈需300(-1)= 單位時間 貓、狗、兔再次相遇的時間，應既是的整數倍，又是的整數倍. 與的最小公倍數等于兩個分數中，分子的最小公倍數除以分母的最大公約數,即=8437.5 上式表明，經過8437.5個單位時間，貓、狗、兔第一次相遇此時，貓跑了8437.5米，狗跑了8437.5=23437.5米，兔跑了8437.5=165375米方法二：有貓跑35步的路程與狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而貓跑15步的時間與狗跑25步的時間，兔跑21步的時間相同所以貓、狗、兔的速度比為，它們的最大公約數為. 即設貓的速度為，那么狗的速度為 ，則兔的速度為 于是狗每跑300(625-225)= 單位時追上貓； 兔每跑300(441-225)= 單位時追上貓 而，所以貓、狗、兔跑了單位時，三者相遇 有貓跑了225=8437.5米，狗跑了625=23437.5米，兔跑了441=16537.5米 評注：方法一、方法二中的相遇時間一個是8437.5單位，一個是單位，可是答案卻是一樣的，為什么呢? 在方法二中，如果按下面解答會得到不同答案，又是為什么?哪個方法有問題呢?自己試著解決，并在今后的學習中避免這種錯誤 于是狗每跑300(625-225) 625=米追上貓； 兔每跑300(441-225)441=米追上貓； 而， 4一條環形道路，周長為2千米甲、乙、丙3人從同一點同時出發，每人環行2周現有自行車2輛，乙和丙騎自行車出發，甲步行出發，中途乙和丙下車步行，把自行車留給其他人騎已知甲步行的速度是每小時5千米，乙和丙步行的速度是每小時4千米，3人騎車的速度都是每小時20千米請你設計一種走法，使3個人2輛車同時到達終點那么環行2周最少要用多少分鐘? 【分析與解】 如果甲、乙、丙均始終騎車，則甲、乙、丙同時到達，單位“1”的路程只需時間；乙、丙情況類似，所以先只考慮甲、乙，現在甲、乙因為步行較騎車行走單位“1”路程，耽擱的時間比為： 而他們需同時出發，同時到達，所以耽擱的時間應相等于是步行的距離比應為耽擱時間的倒數比，即為4:3；因為丙的情形與乙一樣，所以甲、乙、丙三者步行距離比為4:3:3 因為有3人，2輛自行車，所以，始終有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于環形道路的周長 于是，甲步行的距離為2=0.8千米；則騎車的距離為22-0.8=3.2千米； 所以甲需要時間為()60=19.2分鐘 環形兩周的最短時間為19.2分鐘 參考方案如下：甲先步行0.8千米，再騎車3.2千米； 乙先騎車2.8千米，再步行0.6千米，再騎車0.6千米(丙留下的自行車) ； 丙先騎車3.4千米，再步行0.6千米5甲、乙兩項工程分別由一、二隊來完成在晴天，一隊完成甲工程需要12天.二隊完成乙工程需要15天；在雨天，一隊的工作效率要下降40，二隊的工作效率要下降10結果兩隊同時完成這兩項工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天? 【分析與解】 晴天時，一隊、二隊的工作效率分別為和，一隊比二隊的工作效率高-=；雨天時，一隊、二隊的工作效率分別為(1-40%)=和(1-10%)=,這時二隊的工作效率比一隊高-=.由:=5:3知，要兩個隊同時完工，必須是3個晴天，5個雨天，而此時完成了工程的3+5=，所以，整個施工期間共有6 個晴天,10個雨天. 6畫展9時開門，但早有人來排隊等候入場從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多如果開3個入場口，9時9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，9時5分就沒有人排隊那么第一個觀眾到達的時間是8時幾分? 【分析與解】 由題意可得兩個等式，如下： (開門前排隊人數)+(9分鐘內到的人數)=3(每個入口每分鐘進的人數)9 (開門前排隊人數)+(5分鐘內到的人數)=5(每個入口每分鐘進的1人數)5 -得:4分鐘內到的人數=2(每個人口每分鐘進的人數)從而有:每個入口每分鐘進的人數=2(每分鐘進的人數)代入得，開門前排隊人數=252-5=45分鐘內到的人數因此第一個人是8點15(=60-45)分到達的 7甲、乙、丙3名搬運工同時分別在3個條件和工作量完全相同的倉庫工作，搬完貨物甲用10小時，乙用12小時，丙用15小時第二天3人又到兩個較大的倉庫搬運貨物，這兩個倉庫的工作量也相同甲在A倉庫，乙在B倉庫，丙先幫甲后幫乙，結果干了16小時后同時搬運完畢問丙在A倉庫做了多長時間? 【分析與解】 設