因式分解的常用方法第一部分：方法介紹多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學數學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運用公式法.在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再補充兩個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三邊，且，則的形狀是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C 等邊三角形 D等腰直角三角形 三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式： 例2、分解因式：練習：分解因式1、 2、（二）分組后能直接運用公式例3、分解因式：例4、分解因式： 練習：分解因式3、 4、綜合練習：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次項系數為1的二次三項式直接利用公式進行分解。特點：（1）二次項系數是1； （2）常數項是兩個數的乘積；（3）一次項系數是常數項的兩因數的和。思考：十字相乘有什么基本規律？例.已知05，且為整數，若能用十字相乘法分解因式，求符合條件的.例5、分解因式：例6、分解因式：練習5、分解因式(1) (2) (3)練習6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次項系數不為1的二次三項式條件：（1） （2） （3） 分解結果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=練習7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次項系數為1的齊次多項式例8、分解因式：分析：將看成常數，把原多項式看成關于的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =練習8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次項系數不為1的齊次多項式例9、 例10、 1 -2y 把看作一個整體 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=練習9、分解因式：（1） （2）綜合練習10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、換元法。例13、分解因式（1） （2）解：（1）設2005=，則原式= = =（2）型如的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。 原式=設，則原式= =練習13、分解因式（1）（2） （3）例14、分解因式（1）觀察：此多項式的特點是關于的降冪排列，每一項的次數依次少1，并且系數成“軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。方法：提中間項的字母和它的次數，保留系數，然后再用換元法。解：原式=設，則原式= = = =（2）解：原式= 設，則 原式= =練習14、（1）（2）六、添項、拆項、配方法。例15、分解因式（1） 解法1拆項。 解法2添項。原式= 原式= = = = = = =（2）解：原式=練習15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）七、待定系數法。例16、分解因式分析：原式的前3項可以分為，則原多項式必定可分為解：設=對比左右兩邊相同項的系數可得，解得原式=例17、（1）當為何值時，多項式能分解因式，并分解此多項式。 （2）如果有兩個因式為和，求的值。（1）分析：前兩項可以分解為，故此多項式分解的形式必為解：設= 則=比較對應的系數可得：，解得：或當時，原多項式可以分解；當時，原式=；當時，原式=（2）分析：是一個三次式，所以它應該分成三個一次式相乘，因此第三個因式必為形如的一次二項式。解：設= 則= 解得，=21練習17、（1）分解因式（2）分解因式（3） 已知：能分解成兩個一次因式之積，求常數并且分解因式。（4） 為何值時，能分解成兩個一次因式的乘積，并分解此多項式。經典二：因式分解小結知識總結歸納 因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。 1. 因式分解的對象是多項式； 2. 因式分解的結果一定是整式乘積的形式； 3. 分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止； 4. 公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式； 5. 結果如有相同因式，應寫成冪的形式； 6. 題目中沒有指定數的范圍，一般指在有理數范圍內分解； 7. 因式分解的一般步驟是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續分解； （2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數法、試除法、拆項（添項）等方法； 下面我們一起來回顧本章所學的內容。 1. 通過基本思路達到分解多項式的目的 例1. 分解因式 分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；也可把，分別看成一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通過變形達到分解的目的 例1. 分解因式 解一：將拆成，則有 解二：將常數拆成，則有 3. 在證明題中的應用 例：求證：多項式的值一定是非負數 分析：現階段我們學習了兩個非負數，它們是完全平方數、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數，需要變形成完全平方數。 證明