以能量為主線的動量守恒問題的探討 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 牛頓運動定律、動量觀點和能量觀點通常稱作解決力學問題的三把金鑰匙 .它們從三個不同的角度研究力與運動的關系 .在很多情況下，用動量和能量的觀點來處理問題，更加快捷與有效 .下面以能量為主線探討動量守恒與能量相結合的問題 . 1 碰撞類問題 兩小球碰撞的過程中系統動量守恒，根據機械能損失的多少，可將碰撞分為彈性碰撞和非彈性碰撞 .通過碰撞或類似碰撞過程，實現系統機械能與 其他能量之間的轉化 .在此類問題中出現最多的是能量損失的最值問題 .兩個物體組成的系統在動量守恒的前提下，當兩物體的速度相等時，往往是系統的機械能 (主要是動能 )向其他能量轉化的值最大之時 . 如圖 1 所示，兩小球相碰，若碰后兩者具有相同的速度，則發生完全非彈性碰撞，系統損失的機械能最大 . 如圖 2 所示，子彈水平射入放在光滑水平地面上靜止的木塊，子彈未穿透木塊，當子彈與木塊具有共同速度時，子彈與木塊系統的動能損失最大，系統產生的內能最大，動能轉化為內能 . 如圖 3 所示，質量為 M、長為 L 的長木 板放在光滑水平面上，一個質量也為 M 的物塊 (視為質點 )以一定的初速度 v0從左端沖上木板，長木板不固定，物塊從 v0開始作勻減速運動，長木塊從零開始作勻加速運動，當長木板的速度為 v0時，物塊的速度為零 .接下來，物塊從零開始作勻加速，木板從 v0開始作勻減速運動，若木板足夠長，當兩者具有共同速度時，相對運動停止，系統的動能通過一對滑動摩擦力作功，轉化成為內能 . 如圖 4 所示，兩個磁鐵各放在一輛小車上，小車能在水平面上無摩擦地沿同一直線運動，已知甲車和磁鐵的總質量為 0.5 kg，乙車和磁鐵的總質量為 1.0 kg.兩磁鐵的 N 極相對推動了一下，使兩車相向運動 .兩磁鐵受到的相互作用力大小相等，方向相反，但甲車和磁鐵的加速度較大，故甲車和磁鐵減速到零，接下來作加速直線運動，乙車和磁鐵則一直作減速運動，當兩者的速度相同時，兩車最近 .在此過程中，兩車和兩磁鐵組成的系統損失的動能轉化為磁鐵之間的磁場能 . 如圖 5 所示，兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間的距離為 L.導軌上面橫放著兩根導體棒 a 和 b，構成矩形回路 .兩根導體棒的質量皆為 m，電阻皆為 R，回路中其余部分的電阻可不計 .在整個導軌平面內都有豎直向 上的勻強磁場，磁感應強度為 B.設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行 .開始時，棒 b 靜止，棒 a 有指向棒 b 的初速度 v0.a、 b 兩棒分別在安培力作用下作加速度大小發生變化的減速運動和加速運動，最終達到共同速度，開始勻速運動 .若兩導體棒在運動中始終不接觸 .從初始狀態至兩棒達到速度相同的過程中，由于兩棒所受安培力等大反向，故總動量守恒，則 mv0=2mv.根據能量守恒，整個過程中產生的總熱量 Q=12mv20-12(2m)v2=14mv20. 如圖 6 所示，在光滑絕緣的水平面上有兩個相距無窮遠的帶電小球 A、 B，兩球帶同種電荷， A 球質量為 m，以速度2v0 向右運動， B 球質量為 4m，以速度 v0正對著 A 向左運動 .設兩球始終未相撞 .A、 B 組成的系統動量守恒，當兩球相距最近時具有共同速度 .由 4mv0-2mv0=(m+4m)v,可得 v=25v0.兩小球在此過程中機械能減小，減小的機械能轉化系統的電勢能，故當兩球的動能最小時，系統的電勢能最大， Epmax=12mAv2A+12mBv2B-12(mA+mB)v2=185mv20. 2 反沖類問題 反沖發生時，一個靜止的物體在內力的作用下分裂成為兩部 分，一部分向某個方向運動，另一部分必然向相反方向運動 .反沖運動最典型的是爆炸 .反沖運動是系統內力作用的結果，雖然有時系統的合外力不為零，但由于系統內力遠大于外力，故系統總動量守恒 .但因為有內力作功，實現了其他形式的能向系統機械能 (主要是動能 )之間的相互轉化 . 如圖 7 所示，炸彈在空中發生爆炸，一分為二，兩物塊的質量分別為 m1和 m2,速度分別為 v1和v2,12m1v21+12m2v22 則通過爆炸有 12m1v21+12m2v22 的化學能轉化為系統的動能 . 如圖 8 所示，小車與木箱緊挨著，它們靜 放在光滑的水平冰面上，現有一男孩站在小車上用力向右迅速推出木箱，小車和木箱分別向兩個相反的方向運動 .小車 (包括男孩 )和木箱組成的系統動量守恒，通過男孩迅速推出木箱的過程，將男孩自身的化學能轉化為男孩、小車和木箱的動能 . 如圖 9 所示，質量為 M 的小船在靜止水面上以速率 v0向右勻速行駛，一質量為 m 的救生員站在船尾，相對小船靜止 .若救生員以相對水面速率 v 水平向左躍入水中，根據系統動量守恒，可得救生員躍出后小船的速率為 v0+mM(v0+v)，此過程中小船和救生員的動能都增加，其能量是從人的內能轉化過來的 . 一靜止的氡核 (22286Rn)發生 衰變，放出一個速度為 v0、質量為 m 的 粒子和一個質量為 M 的反沖核釙 (Po)，其衰變方程為 22286Rn21884P0+42He. 在衰變發生前后，系統動量守恒，根據系統總動量為零，可求得衰變后反沖核的速度為 mv0M.氡核發生衰變前后有一定的質量虧損，釋放的能量轉化為 粒子和釙核的動能，有部分能量甚至通過釙核的躍遷，以 光子的形式放出 .在此過程中，放出能量的轉化過程具有一定的復雜性 . 3 彈簧類問題 用輕質彈簧連著的物體間相互作用時，類似于碰撞，但從能量轉化的角度而言，彈簧類問題系統沒有機械能的損失，只是通過物體與彈簧的作用，實現系統內不同形式機械能的轉化，總機械能保持不變 .在此類問題在討論過程中最常見的是相互作用的物體間出現 “ 恰好 ” 、 “ 最近 ” 、 “ 最遠 ” 等臨界條件，求解的關鍵點是速度相等 . 如圖 10 所示，物體 B 靜止在光滑的水平面上，在 B 左邊固定有輕質彈簧，與 B 質量相等的物體 A 以速度 v 向 B 運動并與彈簧發生碰撞， A、 B 始終沿同一直線運動 .與彈簧接觸后， A 作減速運動， B 作加速運動，當 A、 B 的速度相同時，兩者之間的距離最近，彈簧的彈性勢能最大， A 物體的部分動能轉化為彈簧的彈性勢能 .A 和 B 的速度相等的時刻即為 A、 B組成的系統動能損失最大的時刻，但在此過程中， A、 B 和輕彈簧組成系統的機械能是守恒的 .通過輕彈簧的做功，實現動能和彈簧彈性勢能之間的轉化 . 如圖 11 所示，光滑軌道上，小車 A、 B 用輕彈簧連接，將彈簧壓縮后用細繩系在 A、 B 上，然后使 A、 B 以速度v0沿軌道向右運動，運動中細繩突然斷開，當彈簧第一次恢復到自然長度時， A 的速度剛好為零 .已知 A、 B 的質量分別為mA、 mB，且 mAmB.如何來確定初始狀態被壓縮的彈簧具有的彈性勢能 Ep？由于小車 A、 B 和輕彈簧組成的系統的動量守恒，故當 A 的速度剛好為零時，根據 (mA+mB)v0=0+mBvB, 可得 vB=(mA+mB)v0mB. 又由于系統的總機械能保持不變， 故 12(mA+mB)v20+Ep=12mBv2B, 解得 Ep=mB+mA)mA2mBv20. 如圖 12 所示，質量為 M 的滑塊靜止在光滑水平面上，滑塊的光滑弧面底部與桌面相切 .一個質量為 m 的小球以速度v0向滑塊滾來，設整個過程中小球未越過滑塊 .由于滑塊光滑，故小球與滑塊組成的系統在水平方 向上系統動量守恒 .小球到達滑塊上的最高點時，小球在豎直方向上的速度為零，兩物體的速度方向為水平向右，大小相等 .設小球能夠上升的最大高度為 h,根據動量守恒可得 mv0=(m+M)v.由于系統機械能守恒，可得 12mv20=mgh+12(m+M)v2. 此問題中，通過小球與滑塊的支持力作功，小球的部分動能轉化為滑塊的動能和小球的重力勢能，系統總機械能守恒 .此類問題中，兩個物體之間雖然沒有輕質彈簧相連接，但從能的轉化和守恒的角度，與兩物體之間連一個輕彈簧的問題非常相似 .可稱為類彈簧問題 . 碰撞、反沖和彈簧類問題若從牛頓力學的角度分析，具有一定的復雜性，若