想象力如何在數學探索性活動中培養 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 我們知道，在數學家的工作中，猜測幾乎總是走在證明的前頭 .課程標準在數學的地位中明確指出 “ 數學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創造力等方面有著獨特的作用 .” 培養學生在探索性活動中的想象力有助于發展學生的創新精神和實踐能力 . 一、數學發現發明探索性活動中的想象力 數學探索性活動都要經歷發現問題，提出假設，驗證猜想的階段，這個階段有著不確定性，就是這不 確定性體現了數學活動的創造性 . 牛頓發明微積分是從探索運動物體的即時速度開始的，當時只知道平均速度，他讓時間從 t0變到 t1 這段時間記為 t=t1 -t0，這段時間物體走過的距離記為 s ，比值s/t 是在 t 這段時間內的平均速度 .牛頓對這個問題的探索不是邏輯推理，而是合情推理，即 “ 合理 ” 的設想： t越小， s/t 應當越接近物體在時刻 t0的即時速度 .當 t越來越小，當然 s 也越來越小的時候，最后就成為無窮小，即就要成為 0 而還不是 0 的時候，比值作為兩個無窮小之比，就應該是所要的即時速度 . 這 個分析的過程，完全不是嚴格的邏輯推理，僅僅是合乎情理的，符合通常思考習慣的探索活動，最終得到的結論僅僅是一個猜想 .然而，最終形成的精妙絕倫的微積分學理論正是從這個猜想開始的 . 二、中學生數學學習探索性活動中的想象力 數學的探索活動并不限于數學的研究領域，在數學學習活動中也廣泛存在，也更需要發揮想象力的作用，進入全新的數學構思，讓主觀能動性與創造性大顯神通 . 例如，中學生學習三角形三邊關系時，用各種長短不一的小棒做拼組三角形的實驗與內角和實驗，教師讓他們做出形狀各異的各種三角形 .再把每個三角形三個角剪下來，拼起來，量一量，最后讓他們提出三角形內角和的猜想：三角形的內角和等于 180. 在證明這個猜想時，讓學生結合剛才的實驗，尋找證明的思路，實際上是如何添置輔助線將三個角移到一起去 .于是學生經過多次實驗，提出各種不同的辦法，輔助線如何添也是合理猜想的結果 . 幾何圖形的想象中，比較困難的部分，是證明幾何題過程中對 “ 輔助線 ” 的預見和識別 .添加和使用輔助線都需要靠想象，首先必須在頭腦中想象它的存在，然后思索它與已知條件以及求解目標之間的聯系，帶有一定程度的創造性，因而的確是一個探索 過程，一個猜測的過程 . 在立體幾何中和用數形結合的思想解決非幾何問題時，都是運用 “ 幾何想象 ” 的過程 . 再例如： “ 立體圖形的展開圖 ” 長方體盡管是立體圖形中最基本的幾何形體，但在學生頭腦里卻是由平面思維跨入立體思維領域的第一步 .本課設計如下問題： 1.選擇部分有代表性的展開圖，包括可以和不可以折成正方體的，讓學生動手剪下后 “ 折一折 ” ，感知某些展開圖 “ 能夠 ” 或 “ 不能 ” 折成正方體，并思考為什么 .是否所選的平面圖形都能折疊成多面體 . 2.觀察你手中的正方體 ,想想看 ,它的平面展 開圖一樣嗎 ?動手做一做 ,把一個正方體的面展開，需要剪幾刀 (沿著一條棱剪開算一刀 )？ 3.請同學試試看 .把得到的平面圖形畫出來 ,你能畫出多少種 ? 通過討論：教師引導得到 11種： (1)接連四個面，兩側各一有 6 個； (2)接連三個面，兩側各有一個、兩個有三個， (3)接連三個面排兩排錯開有一個； (4)接連二個面三排錯開有一個 .一般有 “Z”. 4.如圖 1：是一個正方體紙盒的展開圖，請在其中的三個正方形 A、 B、 C，填入適當的數，使得它們折成正方體后的相對面上的兩個數為互為相反數 .即直接根據平 面圖出發進行空間圖形 (體 )的直觀形象的想象 . 創設這樣一些數學實驗的情境，使得學生可以最大限度的發揮自己的主觀能動性，發揮自己的創造性，像真正的數學家那樣去嘗試數學的發現發明，從而獲得發明創造的體驗，感受發明創造的樂趣 .也就是常說的 “ 還數學創造的本來面目 ”. 三、 探索活動中誘發猜想，培養學生的奇思怪想 我們知道，學生的想象力越豐富，對知識的理解就越有創見 .所以我們在教學中應充分利用一切可供想象的空間，挖掘發展想象力的因素，發展學生的想象力，拓寬學生的思維 . 例如 著名的 “ 雞兔同籠 ” 問題：雞兔共有頭 18個，腳60只，問有多少只雞、多少只兔？ 古老的解法是： “ 假想 ” 這 18只都是雞或者都是兔 . 若都是雞，共有 182=36 只腳， 60-36=24 只腳應都是給兔子少算的腳，相對說每只兔少算 2 只腳，故有 24/2=12只兔子 . 若都是兔子，共有 184=72 只腳， 72-60=12 只腳應都是給雞多算的腳，相對說每只雞多算 2 只腳，故有 12/2=6 只雞 . 這種方法，思路精巧，但很多學生想不通：明明有雞有兔，為什么假設只有一種呢？ 另一種 解法： 如果所有的雞都是 “ 金雞獨立 ” ，同時所有的兔子都用后腳直立起來，就容易發現：所有的腳的一半與頭數之差正好是兔子的只數 .即： 60/2-18=12 只兔子 . 這種方法其妙有趣，但猶如天外奇想 . 第三種方法： 問：兔子 4 只腿，雞卻 2 只腳，是不是不公平？ 答：恩， (思考 )也不算不公平，它還有 2 只翅膀呢 . 問：如果翅膀也算腳，共該有多少只腳？ 答： 184=72 ， 72 只腳 . 問：題中翅膀算不算腳？答：不算！ 問：那么可見有多 少翅膀呢？答： 72-60=12， 12只翅膀 . 于是： “6 只雞 ” ，答案順理成章 . 第四種方法：用方程或者方程組解決問題 . 運用方程的思想開始使知識抽象化，有時候似乎帶些神秘色彩，但它可以很有效地把握各種數學量之間的聯系，把數學方法從一個領域過渡到另一個領域 . 好的教師不是在于能教數學，而是在于關心如何提高學生的學習動機和興趣，增強教學內容與日常生活或以往學習經驗的聯系，引導學生用內心創造和體驗的方法來學習數學；鼓勵學生尋求解法，而不是記住步驟；探索