中小學數學教學中的幾個重要轉折目錄中文摘要.2abstract.3一、從算術到代數41、揭示知識內在聯系，注意新舊知識的銜接51.1 引入字母，實現由數到式的飛躍51.2 理解字母表示數51.3 認識式與方程62、探討改進教學方法，注意教學方法上的銜接8二、從“感悟”算理到“生成”算法91、感悟算理，“算理”是學生走向“算法”的橋梁92、自主探究，找準“算理”與“算法”的連接點93、新舊碰撞，讓課堂現場“生成”算法104、從應試訓練向解決問題訓練的升華114.1 繁復訓練變精簡訓練114.2 強化訓練變解決問題訓練114.3 封閉式訓練變開放式訓練12三、從直觀看圖到探究證明131、 幫助學生形成數學證明的意識132、 幫助學生理解證明的必要性和意義143、幫助學生深入理解數學證明中的內涵實質15四、從平面幾何到立體幾何161、注重激發興趣，滲透情感教育162、注重概念的導入教學，促進空間思維的建立173、注重概念的表述教學，促進對概念的應用與理解17參考文獻.19中文摘要在中小學數學教學和學習當中有幾個重要的轉折：從算術向代數過渡的階段是學生數學學習中非常重要的轉變階段，學生需要實現從對數的思考向對符號思考的轉變；通過創設有趣的教學情境，引導學生實現從“感悟算理”到“生成算法”的跨越，再通過精簡、有重點、開放式地訓練，全面提高學生的綜合素質和能力；從直觀地看圖轉折到要探究證明，學生的思維從停留在形象思維或者是較低級的經驗型抽象思維階段要進步到理論型抽象思維；再者，立體幾何是平面幾何在空間的延伸，在教學時，教師須強化對概念、定理的語言表述教學，提高學生相互轉化能力。本文結合教學實踐論述了中小學教學中的幾個重要轉折以及中小學數學銜接教學應該注意的幾個問題 。關鍵詞：中小學數學,代數,算理算法,數學證明,轉折教學abstractthere are several important turning point in mathematics teaching and learning in schools. firstly, the transition from arithmetic to algebra in mathematics learning stage is very important in the transition phase, students need to think from a logarithmic change in the thinking of the symbols; secondly, guiding students to count from a perception across the grounds to the generation algorithm, open by streamlining and focused in training and to solve their problems; thirdly, from the intuitive to prove,students thinking activity is growing up,and debating thoughtly; fouthly, three-dimensional geometry is an extension of plane geometry in space，teachers should strengthen the teaching the language of the concept in theorem.keywords: school mathematics, algebra, perception management operator, mathematics proof，turning point teaching 正文數學是解決生活問題的鑰匙，學數學就是為了學會應用，學會生活。計算知識是人民在長期的生產實踐中逐步發展起來的。只要我們細細感悟，就會發現數學就在我們的身邊。比如說，購物會用到數的運算；小朋友搭積木時會用到空間幾何；修房造屋會用到圖形的整合；投票選舉時會用統計知識這樣的問題數不勝數，由此可見，生活與數學形影相隨，密不可分。而數的運算在生活中更是無處不在。理財、購物、比較大小等，無一不用到數的運算。它給我們的生活帶來的價值深遠而非比尋常。因此，于生活中準確地把握數的內涵，運用數的外延，能更好地服務我們的生活，豐富我們的生活。一、從算術到代數七年級的數學教學又是一個由小學算術到初中代數的一個轉折點。從“算術”走向“代數”，是學生在數學學習中的一大轉折點，也是教師在教學中的一大教學轉折點。這個轉折以為著從小學數學轉折到中學數學，從前的學習都是實實在在的數與數，然后現在是要用字母表示數，從而在前進到方程、函數等數學的重要模塊。七年級數學涉及的數、式和方程內容與小學數學中的算術數、簡易方程、算術應用題等知識有關，但比小學內容更為豐富，抽象，復雜，在教學方法上也不盡相同。要做好這塊知識轉折的教學，教師應做好以下幾方面的工作：1、揭示知識內在聯系，注意新舊知識的銜接 事物的發展總是有一個由低級到高級的過程。人們認識事物也有一個特殊到一般的過程。教學也應該遵循這種事物發展的客觀規律，要充分發揮學生已有知識的優勢，使之產生正遷移，從而達到掌握新知識的目的。小學算術教材之中，已滲透了許多七年級代數的基礎知識，在教學中，要抓好轉折點。1.1 引入字母，實現由數到式的飛躍 從小學數學的特殊的、具體的數到中學的一般的、抽象的代數式，這是數學思維上的一次飛躍，因此，在教學時，要逐步引導學生過好這一關。首先要讓學生理解引入字母的重要性，讓學生認識到字母表示數的優點：簡單明了，方便研究問題和解決問題。可以列舉小學學過的例子，如：加法交換律a+b=b+a；乘法交換律ab=ba及一些公式如速度公式v=s/t正方形周長公式l=4a等等。再者要加深對字母a的認識，許多學生由于對字母a表示數的意義理解不透，經常錯誤地認為a一定是負數。要解決這個問題必須要讓學生弄清楚符號“”的三種作用運算符號，如53表示5減3，24表示2減4；性質符號，如1表示負1，5+(3)表示5加上負3；在某個數前面加上“”號，表示該數的相反數，如3表示3的相反數，(3)表示3的相反數，a表示a的相反數因此 a表示有理數，可以是正數，可以是負數，亦可以是零即包括符號和數字，這樣，學生才能真正理解a，a所包含的意義。可引導學生回顧小學中整數和分數的產生過程，然后通過實例，說明客觀世界中有種種具有相反意義的量，使學生由直觀認為負數的引進是必然的，負數是他們所熟悉的事物中數量關系的反映。數的范圍擴充到了有理數，進而引導學生按 “整” “分” 和按 “正、負、零”進行分類，使學生對有理數有一個完整清晰的概念，接著，在算術數的大小比較基礎上，借助數軸進行有理數大小的比較。有理數的四則運算中，始終讓學生與小學算術的四則運算相比較，弄清其聯系與區別，掌握新的運算法則，明確具體計算時分兩步走；第一是確定符號，第二是進行絕對值運算。第二步實質上是小學算術運算，使學生在運算時感到不陌生。小學算術里的簡易方程和初一的代數式，一元一次方程也有密切聯系，在教學過程中要緊扣銜接點，注意由舊知引入新課，又在新課的教學中處處揭示其與舊知的聯系。1.2 理解字母表示數七年級代數與小學算術的一個重要轉折，是用字母表示數，引進代數式是一個飛躍。讓學生記憶小學里的加法運算律，再用有理數范圍內舉例試驗，然后著重討論，為了表達一般情況，可用字母a，b，c表示任意有理數，那么加法交換律可表示為a+b=b+a，加法結合律可表示為(a+b)+c=a+(b+c)，這樣使學生初步認識到字母表示數具有簡明、普遍的優越性。然后，再舉出學生所熟悉的簡單幾何圖形的面積、行程問題等實例，說明用字母表示數具有含義的普遍性和應用的廣泛性。 有了式，就開始過渡到方程。初一代數初步知識中，引進了代數式的概念，進而研究有理式的運算，這種由數到式，就是從特殊的數到一般的抽象的含字母的代數式的過渡，是數學上的一個大的轉折點，實現了由具體到一般，由具體到抽象的飛躍，意義十分重大.這次過渡，代數式的概念是關鍵，使學生明確“式”也具有數的一些性質，以及字母表示數的意義.不過，在小學里學生已接觸過用字母表示數的形式，如簡易方程中的未知數x，一些定律和公式也用字母表示，初步體會到字母比數更具有一般性，所以教學中應揭示數與式的聯系和區別，數可以看成是式的特殊情況，數的運算可以看成是式的運算的特殊情形，此外還應加深對字母的認識，a可以表示正數、負數，還可以表示0，學生易于接受，同時還要引導學生從式的觀點來看待數的問題，便更有居高臨下之感. 由算術數到列方程解應用題,小學里的應用題大部分是用算術法去求解，是把未知量放在特殊的位置，用已知量求出未知量.進入初中后，用列方程來解應用題，把未知量用字母來表示，且和已知量放在平等的位置上，設法找出等量關系，列出方程，求出未知量.剛開始，學生由于習慣用算術法來求解，不重視列方程解應用題的學習，這時教師要有意識地選擇一些用列方程解比算術法簡便的應用題作為范例，用兩種方法對比講解，使學生逐步體會到列方程解應用題的優越性，對學生的作業，有些應用題也要求用兩種方法去解，從而激發學生的學習積極性，同時還要重視靈活運用知識，培養分析問題和解決問題的能力.1.3 認識式與方程“式與方程”、“正比例、反比例”都是“數與代數”領域的教學內容。“式與方程”主要學習代數初步知識，包括用字母表示數、簡易方程和列方程解決簡單的實際問題。“正比例、反比例”是小學最后階段學習的內容，主要學習比、比例、按比例分配、比例尺、正比例、反比例。這兩部分內容是學生學習數學的重要轉折點，即從算術的學習轉向代數的學習，從對“數量”的理解轉向對“關系”的探討。它們是后續學習數學的重要基礎。1.3.1 重視教學內容的思想價值。在“式與方程”、“正比例、反比例”的研究中，充滿著已知與未知、特殊與一般、具體與抽象的對立與統一，充滿著運動、變化的思想。以學生所要學習的“正比例”為例，其圖像的呈現形式，從表面上看是靜止的，但從列表、描點到連線這一過程看，卻是運動的、變化的。再進一步考察，畫成的圖像從表面上看是完整的，其實是局部的、不完整的。因為它還可以延伸，即不斷地運動、發展、變化。在以往的教學中，重視的往往是教學內容本身，就內容教內容，忽視這些內容所包含的重要的數學思想與教育價值，從而使教學如同蜻蜓點水，缺乏深度與后繼生長力。我們應充分認識到“式與方程”、“正比例、反比例”這兩部分內容所蘊含的數學思想方法及教育價值，不露痕跡地滲透于教學過程中，促進學生對所學知識的理解與掌握，提高認識能力，形成良好的數學素養。如“用字母表示數”，是數學中對學生進行辯證思維教育的開端。列含有字母的式子，可以使學生體會“用字母表示數”能夠簡潔地表示實際問題中的數量關系，方便地表達一般規律，是對數量關系的概括性表述；而在“求含有字母的式子的值”的學習中，通過將每一個變量取定一個數值代入式子，經運算而獲得一個確定的值的過程，使學生體會“對應”的思想，領悟“變化”與“確定”之間的辯證關系。通過對“求含有字母的式子的值”操作過程的描述，即以具體的數值代替字母，可以使學生初步感受“換元”的思想。總之，在用字母表示數的教學中，可以有意識地滲透符號化、對應、換元等思想方法，既加深學生對“用字母表示數”的理解，又促進他們接觸、了解代數的研究方法，初步體會相應的數學思想方法的精神實質。再如，認識比例的教學，把圖形的擴大、縮小與比例知識的學習聯系起來，滲透數形結合的思想，既使“比例”的引入顯得比較直觀、自然，學生容易理解，也促進學生感受數量關系與空間形式的聯系。 1.3.2 強調對模式與關系的體會、理解。方程的學習，以往注重的是有關概念和技能，如什么叫方程，什么叫方程的解，什么叫解方程，方程的解與解方程有什么不同，怎樣解方程等。再如列方程解應用題，歷來被看作是教學的重點和難點，在教學中，教師往往滿足于頭頭是道地給學生分析等量關系，機械地列出方程，解答問題。這樣的教學，學生沒有經歷數學建模的過程，無法體會方程是現實世界的數學模型，應用意識和實踐能力的培養也就成了一句空話。方程是刻畫現實世界數量關系的數學模型，應從“數學建模”的角度開展方程的教學。結合具體的總是情境教學方程的含義，如“用式子表示天平兩邊物體的質量關系”，讓學生通過觀察、分析，寫出式子，再比較式子的異同，在討論和交流中，由具體到抽象感受、理解方程的含義。解方程的教學，讓學生依據等式的性質對數學模型進行變換，探求方程的解。教學列方程解決簡單的實際問題，要求學生在問題情境中，探索、研究、尋求已知與未知之間的內在聯系，建立數量之間的相等關系，即把日常語言抽象成數學語言（數量關系式），進而轉換成符號語言（方程式）。在經歷多次這樣的活動后，學生將逐步感受到方程與實際問題的聯系，領會數學建模的思想和基本過程，提高解決問題的能力和信心。函數是刻畫現實世界數量變化規律的數學模型。正比例、反比例中隱含的數學函數思想，對學生后續學習數學、物理、化學等學科有重要的促進作用。學習正比例、反比例，數學思維方式發生重要轉折，即思維從靜止走向運動，從離散走向連續，從運算走向關系。以入教學“正比例、反比例”，教師的著力點往往是引導學生判斷兩種相關聯的量是否成比例，是成正比例還是反比例，以及怎樣應用比例知識解答應用題。在標準中，通過繪圖、估計值、找實例交流等不同于以往的教學活動，幫助學生體會兩個變量之間相互依存的關系，豐富關于變量的經歷，為以后學習函數概念打下基礎。 1.3.3 注重在具體情境中去體驗、理解有關知識。 “式與方程”、“正比例、反比例”的具體教學目標十分強調“在具體情境中”進行教學。這是因為，小學階段，學生的數學思維從以具體形象思維為主要形式向抽象邏輯思維為主要形式過渡，其抽象邏輯思維在很大程度上仍與感性經驗直接相關聯。“式與方程”、“正比例、反比例”的內容在表達形式上比較抽象，作為代數、函數學習的啟蒙階段，通過創設與學生生活環境、知識背景密切相關的，又是學生感興趣的學習情境，把學習的過程置于一個學生能夠體驗的環境，從而在直觀的感受中，理解字母表達式所反映的等量關系，并會用代數的方式解決一些實際問題，掌握正比例、反比例知識。數學學習不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律。如果說數字符號是對生活中各種物體個數的抽象概括，那么代數式則是對各種數字符號的抽象概括。在認識用字母表示數時，教材一般從學生熟悉的生活中選擇一些典型數量關系，先讓學生用算式表示問題的結果，再通過改變具體數量，抽象出用字母表示數，寫出相應的含有字母的式子。具體情境能激活學生已經積淀的算術層面對數量關系的理解，支撐學生在代數層面對數量關系的理解。既使新知識“含有字母的式子”的學習過程有場景作依托，又使學生在讀解式子時便于產生聯想并理解和表述，使學生在學習抽象的代數知識中感到言之有物，還能認識到代數的學習可以使我們對數量關系的表達更清晰、簡潔。這一數學活動的過程，幫助學生從“算術”走向“代數”，促進學生體驗數學的概括性和抽象性，發展符號感。再如，“會用方程表示簡單情境中的等量關系”這一目標的重點也是“在具體情境中，用方程建立等量關系”。 1.3.4 加強與中學數學的銜接。以前小學階段的解方程，其基本依據是加與減、乘與除之間的逆運算關系。中學學習解方程用的是代數的方法。在小學里學習解方程也是利用等式的性質，這樣中學學習不再是另起爐灶。小學里解方程的教學，與中學數學教學的銜接，不僅僅表現為解方程方法的一致，更有價值的是：思考問題的方法趨向一致。根據四則運算的互逆關系解方程，屬于算術領域的思考方法；用等式性質解方程，屬于代數領域的解方程。兩者有聯系，但后者是前者的發展與提高。這樣，在解方程的教學中，學生將逐步接受并運用代數的方法思考、解決問題，使思維水平得到提高。2、探討改進教學方法，注意教學方法上的銜接 蘇聯教育家巴班斯基指出：“要想找到一種十全十美的教學方法幾乎是辦不到的，一種教育目的的實現，是多種教學方法穿插使用力爭全優的結果。”教師要根據教材與學生的特點和具體的教學條件不斷探索，改進原來的教學方法去完成既傳授知識，又開發智力、培養能力的任務。 七年級教師要注意研究小學的教學方法，小學生的記憶特點是以機械記憶為主，對于一些概念、定義、法則往往是習慣于多讀硬背。思維特點是以直觀形象思維為主，學生是在看到、聽到的同時進行思維。所以，小學教師一般采用與之相適應的直觀形象的教學方法，講課比較詳細，對于一個概念、一種運算反復講解、反復練習。學生進到中學，在記憶和思維方式上當然不能再停留在機械記憶、直觀形象思維上，它既不適應中學數學教學內容的需要，也不適應中學生的心理特征。因此，教師就要采取相適應的教學方法，既要借助學生已有的機械記憶和形象思維的能力，又要逐步引導學生由“機械記憶”到“理解記憶”，由“形象思維”到“抽象思維”的過渡，每講一個概念，也注意到如何對學生進行智力訓練，教會學生觀察、分析、思考的方法。教學的實質就是引導學習，學生是學習的主體。在課堂上，教師滿堂灌、包辦代替，結果只能堵塞和限制學生的智能發展。因此，教師需要求學生做好課前預習，帶著問題進課堂，在課堂上采取用自學、議論、師生共同討論的方式，就能逐步培養學生獨立學習的能力和分析問題的能力。 二、從“感悟”算理到“生成”算法 1、感悟算理，“算理”是學生走向“算法”的橋梁 “算理”，顧名思義是指計算的方法與原理。在教學中老師們普遍認為，讓學生理解“算理”比較復雜，意義不大，所以有的教師干脆直接告訴學生“怎么算”，省去理解“算理”的教學環節。其實，“感悟算理和掌握算法是計算教學的兩大任務，算法是解決問題的操作程序，算理是算法賴以成立的數學原理。” 計算教學的關鍵是要正確處理好算理和算法的關系。如果教師在教學時，忽略引導學生對算理的教學，這種急功近利的教法使學生失去了獨立思考與深層感悟的機會，長遠甚至影響學生計算能力的提高。 我們必須清楚知道，“算理”是學生走向“算法”的橋梁，是學生學習“算法”的知識基礎，而“算法”是學生學習的中心任務。單是強調“算理”，能理解了新問題，但無法實現計算方法上質的飛躍；單是強調“算法”，“知其然，必須知其所以然”，猶如建立在空中的樓閣，很難穩固。因此，“在教學中，要引導學生聯系自己身邊具體、有趣的事物，通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動，感受數的意義，體會數的意義，體會數用來表示和交流的作用，初步建立數感 ”這是計算課需要解決的主要問題。 2、自主探究，找準“算理”與“算法”的連接點 任何新事物的認識，都是由舊引新的過程，數學的特點猶為突出，算理可以說是學生已有的“舊知”，在計算教學中某些知識和技能是可以通過學生自已探究領悟、自己交流歸納算理、感悟算理、總結計算方法。因此，教師必須對學生的知識、能力作全面的了解，要對教材內容作細致的分析，把握教學的探究點，找準時機，巧設新舊知識的矛盾沖突，引導學生走進問題情境，讓學生在參與中找出新舊知識的連接點，感悟出數理，探究出計算的新方法。如在教學“兩位數乘兩位數”時，教師在引導“1412”的豎式計算時，如下圖： 1 41 2 2 8 1 4 1 6 8 教學中教師充分抓住豎式中“14”的轉接理解，把學生帶入探究活動中。有學生說：“因為12中的1是表示10，14實質是表示1014等于140，”有學生說：“14后面還有一個隱形的零。”本課是“兩位數乘一位數”向 “兩位數乘兩位數”新舊知識跨越，也是小學生學習計算的重要轉折點，如果教師找準了這一關鍵的連接點，學習效果自然事半功倍。只有根據學生已有的“舊知”，并與抽象的豎式計算建立起聯系，從而讓學生經歷豎式的形成過程，清晰理解豎式的算理，才能真正掌握豎式計算的方法。3、新舊碰撞，讓課堂現場“生成”算法“數學方法是數學的本質。（數學家哈登伯格名言）”傳統計算教學，是教師引著學生走，學生依照例題的方法去理解、模仿、熟練，而不是學生探究、發現、“生成”出數學方法來，因此，在教學過程中，老師必須重視處理好“教師預設”與“課堂生成”這組相對的辯證關系，要培養學生分析問題、思考問題的方法，重視引導學生發現真理和尋找真理。如以上的“兩位數乘兩位數”一課，引導學生動腦思考，學生會想出“102=12，1410=140，142=28 ”的方法，只要把它們豎式（圖1）聯系起來，學生就會悟出“兩位數乘兩位數”豎式計算方法應注意問題。“生成”與“預設”是相對的，課堂教學是一個師生、生生之間互相合作、交流、思維碰撞的動態過程，在這種動態的過程中，往往會生成一些超出教師預設之外的新問題、新情況。教師的預設越有效，課堂的動態生成就越豐富。如果教師能善于抓住這些生成點，讓學生充分地去探究和交流，就有利于學生計算能力的培養和思維能力的提高。4、從應試訓練向解決問題訓練的升華鞏固練習，是計算課的重要環節，傳統計算課，教師總是安排大量的繁瑣的計算題練習，訓練目的是從提高學生計算的熟練程序、準確率的狹窄角度去考慮，基本以應試訓練為主，忽視了學生綜合能力的培養，這種教學思維已不合時宜，不利于學生素質的全面提高。新課程倡導整合課程，提高學生的綜合素質，因此，計算的鞏固練習環節，無論是教學的組織形式，還是練習的內容、題量，都要徹底地改進。4.1 繁復訓練變精簡訓練隨著科學的發展，計算機應用廣泛，對計算的要求也隨著降低。課程標準也明確要求：“應重視口算，加強估算，提高算法多樣化；應減少單純的技能性訓練，避免繁雜計算”雖然，我們堅決反對大量的、繁復的計算練習，給學生造成過重的學業負擔，但是，提高學生的計算能力，還是需要通過有目的、有計劃、有步驟地長期訓練，要從繁復的訓練轉變為精心設計的、精簡地、有重點地訓練。如萬以內的加減法，練習的重點是進位和退位，要牢記加進位數和減退位數，難點是連續進位和退位；兩三位數的乘法要練習第二、第三部分積的對位，積末尾不能漏零等；小數的計算則注意小數點位置的處理，加、減、除法強調小數點對齊，注意用零的占位；簡便運算則重點練習運用定律、性質和湊整，異分母分數關鍵解決“通分母”的問題等。4.2 強化訓練變解決問題訓練 新課程，“應用題”這一名稱已逐漸淡出教材，“解決問題”這一新名詞、新題型已走向教學的前臺，目的是提高學生解決實際生活問題的能力。“能力和知識是目的和手段的矛盾統一。”計算課要走出單純的計算題鞏固練習的誤區，必須設計有廣度和深度、與生活密切聯系的習題，讓學生“解決問題”，使學生的估算、口算、筆算等多方面能力在應用中提高，下面筆者以三位數連加一課的鞏固練習為例，列舉出兩道練習題，進行對比和分析，嘗試尋找提升計算課教學質量的思路。題一： 勝利小學一至三年級學生人數統計： 年級一年級二年級三年級女生人數312370315男生人數323385396問：（1）一、二、三年級的女生共有多少人？ （2）一、二、三年級的男生共有多少人？ （3）一、二、三年級共有學生多少人？題二：（北師大版數學二年級下冊第77頁第2題） （1）媽媽想買一個電飯鍋，一輛自行車和一塊手表。你估計大概需要多少元？ （2）如果媽媽帶500元，她能買回哪三種商品？ （3）媽媽至少買幾種商品才能獲得大禮包？ 以上兩題，題一明顯是單調的強化計算訓練，學生很容易地列出算式，然后認真地計算就行了，這樣簡單思維、繁瑣計算的練習，對提高學生的綜合數學素質幫助不大，繁瑣的計算反而嚇怕了學生；而題二的訓練理念就明顯不同，它考查了學生的多種能力，第一小題考查了學生的估算能力；第二、三小題具有開放性的特點，尤其第三個問題，學生必須經過思考才能選擇合適的數據才能再列式計算，因為，五種物品中只有電飯鍋、自行車和一塊手表加起來才能滿1000元，媽媽要獲得大禮包，必須選擇這三種物品。 兩道練習題，蘊含不同的教學理念，如果我們從學生的長遠發展眼光去考慮，從有利于提高學生的數學綜合素質提高著想，當然選擇第二題。 另外，計算課的練習，有時也可以與新課的教學情境串聯一起，引導學生在情境中解決問題，鞏固提高。如以上舉例的采松果一課，筆者在新課教學部分設計了“小貓釣魚”的教學情境，引導學生學習新課后，可以延續故事情境： （學生學習了“25421，25429”的新知識計算方法后） 師：“同學們！小貓因三心兩意只釣了4條魚。現在，她接受貓媽媽的教育，決心克服缺點，準備再釣魚 (演示多媒體動畫故事，小貓后來釣了23條魚) 師：同學們！你們能根據故事，還能提出哪些數學問題？ 以上的練習情境設計，學生可能會提出多的數學問題，如“小貓比原來多釣了多少條魚？”“小貓兩次一共釣了多少魚？”“與貓媽媽對比，誰釣的魚多？”等 ，這樣的教學設計，根據低年級學生的年齡特點，把鞏固練習寓于有關趣的情境中，學生肯定興趣盎然，積極參與學習，教學效果自然顯現。4.3 封閉式訓練變開放式訓練 開放，是改革的象征。進行教學改革離不開開放式的教學。傳統的計算鞏固練習，基本以 “一題一練一評”的形式為主，練習的內容和形式封閉，教學方法缺乏創新性，學生練習缺乏自主性。例如，教學“兩位數減兩位數的退位減法”一課，可以設計如下的三道練習題： 鞏固一：列豎式計算 （1）8769（2）8558（3）10058 鞏固二：同桌互出算式計算，看誰算得又快又準 （3）（2）100鞏固三：小組數學游戲 游戲規則：采用小組學習的形式，經過出題、計算、校對、訂正、比一比等的學習過程。小組長（輪換做）拋骰子，小組成員根據骰子表面組成的兩個兩位數，用較大數減去較小數，看哪位同學算得又快又準。 以上的練習，第一題是基礎的鞏固練習，第二、三題的練習數據均體現隨機性，第三題還把數學寓于游戲中，學生玩中學、學中練，在輕松愉悅的課堂氣氛中提高計算能力。實踐證明，計算的鞏固練習，應從封閉走向開放，這也應該成為計算教學的發展方向。 “數學是一種文化，又是一種技藝。” 三、從直觀看圖到探究證明七年級的“空間與圖形”內容主要有“走進圖形世界”、“平面圖形的認識”、“圖形的全等”.對于“走進圖形世界”的教學，要把握由“感性認識”向“理性認識”的過渡；對于 “平面圖形的認識”的教學要把握由“形象思維”向“抽象思維”的過渡；對于“圖形的全等”的教學，要把握由“實驗幾何”向“論證幾何”的過渡.在小學的學習當中是不需要證明，到了中學，就需要學生擁有探究的能力，要求會證明能應用，這又是一個轉折。說到證明，需要學生清晰地思路和較強的組織語言能力。因為在證明的過程當中，“因為”、“所以”是有嚴格要就先后順序的，因果關系不能亂。學生的思維從停留在形象思維或者是較低級的經驗型抽象思維階段要進步到理論型抽象思維，這是思維活動的成熟時期，并開始向辯論思維過渡。1、 幫助學生形成數學證明的意識 在數學中,只有從邏輯的推論上嚴格地證明了某個命題的結論,人們才能把該命題稱業定理.如果一個幾何學家報告一條他所發現的新定理時,只限于在模型上把它表示出來,那么任何一個數學家都不會承認這條定理是被證明了的.數學證明可以為人們發展和整理對教學現象的認識提供強有力的方法,在數學教育中應當重視對學生數學證明意識的滲透和教育.在小學階段,學生主要是通過圖形的測量,圖形的位置關系以及圖形的變換等活動來逐步構建空間觀念的。學生的幾何學習不是以公理體系，而是以已有的經驗為起點；所認知的幾何不是論證幾何，更多的屬于直觀幾何，或者說是經驗幾何或實驗幾何。學生對數學證明的含義尚不能理解，他們之所以獲得幾何知識并形成空間觀念，更多地是依靠邊他們的動手操作。這種學習過程和組織策略一直延續到初中，這使得剛跨入初中大門的學生對數學證明的價值尚未有足夠的認識，不少學生常常這樣認為“這個結論在圖形上已然很顯然了，為什么還要證明呢？”顯然，依靠教師的反復告誡和強調并不能使學生形成數學證明的意識。如何對學生進行有效的數學證明的啟蒙教育，使他們逐步認識并體驗數學證明的價值并因此而認真學習數學證明，理解數學證明呢？我們嘗試做一個這樣的設計：利用電腦呈現了圖1的一組幾何圖形，先讓學生認真觀察所給圖形，要求學生分別判斷1-3中兩條線段的長短，中五條長斜線的位置關系，中兩個中心圓的大小關系，說一說中是否存在標準的圓的圖形。針對學生的回答，教師分別運用動態的旋轉，移動，隱藏等技術手段，去除一些具有迷惑性的附加因素后再讓學生觀察圖形并進行相應的判斷或說明。經過這一教學環節，學生終于意識到；眼睛里所看到直觀圖形其實并不總是完全可靠邊的，許多錯覺可能會欺騙自已的眼睛。為了能識別錯覺，避免錯覺，在幾何學習中，我們要有數學證明的意識。只有經歷必要的數學證明，通過必要的理性分析，我們對圖形的表面知覺才能更加準確和科學。2、 幫助學生理解證明的必要性和意義 在步入證明的學習殿堂時，教師可鼓勵學生進行大膽的數學猜想，或者對學生的猜想和直覺進行迅速、準確的反饋和檢驗，并引導學生進行必要的數學反思，引導學生看到數學證明的必要性，深刻理解數學證明的本質意義。我們先營造一個數學證明的氛圍，通過以下的一個教學片斷(取自初三數學課外思維訓練活動)問題：探討2與n+2的大小關系，并說明自己是怎么想的。教學中，學生或通過筆算或借助于計算器對具體的n進行了計算，然后進行了比較，易知：當n=l、2、3、4，有26+27試試看!”經過摸索，有學生給出了這樣的證明： （這是因為），。立即又有學生嘗試：。“一般的情況又會是怎樣呢？” 不用教師多說，馬上又有學生提起了筆：若 （n） 成立，則。接著，這位學生向老師和同學們提出了自己的一種解題方案“老師，我們是不是可以營造一個循環系統，讓它自動地、無限制地運作起來，使得n=5,n=6,n=7,n=8, 永無止境地遞推下去?”這時，就可以順著學生的思路繼續往下講作為并沒有學過數學歸納法的學生，在教師的引導下借助計算器及必要的推理和討論，已經將數學中這種重要的證明方法的雛形活生生地展示出來了。在這個研討過程中，學生已經理解了為什么要對含有自然數n的命題進行證明，以及可以怎樣進行證明，顯然他們建構了數學歸納法的最初意義，也為教師的進一步教學做好了鋪墊。3、幫助學生深入理解數學證明中的內涵實質許多數學概念和數學思想都是在“運動”的情境中表現出來的，比如空間與圖形教學中的不動點問題、線段的定比問題，代數教學中的定值和極值問題等。傳統的教學手段難以實現這樣的“運動”情境，一般只能隨機地抓取運動過程中的某個狀態，再借助于這個特定的狀態討論有關的性質。雖然教師會說明這些性質與狀態的選取是無關的，但由于該性質討論的載體是一個特定的狀態，所以不少學生實際上并不完全理會教師的“提醒”，仍然把該性質作為在這個特定狀態下的性質，而并非一般性質。這種教學很容易掩蓋數學知識的形成過程，也易造成數學證明的過度形式化，當然也不利于學生對證明中數學思想的真正掌握。現代教育技術條件下，在對數學事實的論證過程中，學生可以運用動態方法，通過動與靜的不同方式、宏觀與微觀的不同視角，揭示幾何對象的運動與相互聯系，從而有利于學生深入理解數學證明中的內涵實質。例如，三角形有一個重要的性質：它的重心、垂心和外心共線，且垂心到重心的距離與重心到外心的距離之比為l：2。對于這個性質的教學，可以先利用幾何畫板任意畫一個a b c及其外心o、重心g和垂心h，再隨意地拖動abc的邊或頂點，使學生看到，隨著abc的形狀變化，外心o、重心g和垂心h也在做相應的變化，但無論怎么變，這三個點始終位于一直線。再測量出hg和go的長度，計算出hg和go長度的比值，并將這些數字顯示出來。再隨機拖動a b c的邊或頂點，使學生看到隨著abc的形狀變化，所顯示的hg和go的長度在做相應的變化，但無論怎么變化，hg和go長度的比值始終是2，是個定值。顯然，通過這樣的動態演示，學生比較直觀地看到這個性質對任意三角形都是成立的，而不是針對某個特殊三角形的結論。由此不僅加深了對這個結論的理解，也激發了學生證明該命題的興趣，最終可通過證明agh與dgo相似而分別得到hg=2go以及agh=dgo，并因此而得到h、g、o共線(其中d點為中線ag與bc邊的交點)。四、從平面幾何到立體幾何立體幾何作為高中數學的重要組成部分，其在培養學生的空間思維能力、空間想象能力和嚴密的邏輯推理能力方面起著不可替代的作用。實際教學中，明顯感覺到大多學生對立體幾何這一門課存在畏懼心理，思維比較難從平面幾何里過渡進來，不能體會到其中的統一關系。究其原因，認為主要有如下幾點：(1)初、高中思維模式的差別巨大；(2)平面與空間的思維跨度大；(3)學生的學習興趣取向沒有形成。所以實際教學中，如何精心設計問題情景和平臺、注重導入技巧；如何把握立體幾何的概念及思維特征、使學生轉變觀念和思維習慣顯得至關重要。1、注重激發興趣，滲透情感教育首先：充分調動學習興趣，借用平面幾何基礎、生活實例、實物模型及多媒體等教學手段，充實學生對客觀事物（空間圖形）的感知，引導從平面向立體轉化，為學生進行形象思維創造條件，促使學生建立起一定的空間想象力。在課堂上，除作了一些必要的生活鋪墊，可以作一些趣味思考題，如：六根等長木棒任意搭建，最多可得多少正三角形？讓學生分組（課前準備好道具）協作構思，極大地調動了學生的參與熱情和探求欲望，在學生大多得出正確結果的基礎上，用多媒體展示搭建過程，后提煉出“空間中思考問題”的實質，有效地培養了學生的空間思維能力及空間想象能力。其次：在教學實踐中，注意情感滲透。不少學生（女生居多）一上來對學習立體幾何就信心不足。此時，教師宜盡量采用輕松、活潑的語言來分析問題與結論，緩解學生學習的心理壓力，減少干擾因素，特別是針對一些“慢熱”型學生更應注重情感交流，適時了解其學習困惑，建立起融洽的師生關系，使學生在一個寬松、和諧、平等的教學氛圍中，積極主動地學習，最大限度地發揮出其聰明才智和創造性，從而獲取最佳學習效益。2、注重概念的導入教學，促進空間思維的建立立體幾何是平面幾何在空間的延伸，學好平面幾何是學好立體幾何的基礎。學生掌握的平面幾何概念（上位學習）對立體幾何的學習（下位學習）起著重要的作用：如果上位學習對下位學習產生積極有效的促進作用，在認知心理學上稱之為正遷移；如果上位學習對下位學習引起障礙及抑制作用，在認知心理學上稱之為負遷移。這種正負遷移在立幾概念教學中是難以避免的，甚至可說影響極大。為此在教學法中需努力地防止負遷移，促使正遷移，才能順理成章地引導學生從平面到空間的過渡，建立正確的空間概念。 比如：在講述平面這個抽象概念時，除了介紹一些概念形成的實物背景，同時為了形象闡明“平面”的抽象特征，就應充分利用“上位”與“下位”學習的遷移和滲透，讓學生在舊知基礎上確立新知感到自然、親切。（見下表） 平面（立幾） 直線（平幾）特征1：無限延展 兩端無限延伸（無大小） （無長短） 特征2： 無厚薄 無粗細事實上，許多立體幾何內容都是平面幾何內容在空間的延伸和拓廣，若能進行適當類比，提示出新舊知識之間的內在聯系及共同本質，則能使已有知識得到順利遷移，起到事半功倍的效果。3、注重概念的表述教學，促進對概念的應用與理解在立體幾何教學中，學生往往會出現：“上課聽得懂，而課下題目不會做”的局面，這主要是學生不能正確、合理地使用數學語言將所學概念表達出來的緣故。前蘇聯數學教育家aa斯托利亞爾曾指出，在一定程度上，“數學教學就是數學語言教學”。數學語言分為文字語言、符號語言、圖象語