板塊命題點專練（四）命題點一導數的運算及幾何意義命題指數：難度：中、低題型：選擇題、填空題1.(2015全國卷)已知函數f(x)ax3x1的圖象在點(1，f(1)處的切線過點(2,7)，則a_.解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切線方程為y(a2)(3a1)(x1)切線過點(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.答案：12(2016全國丙卷)已知f(x)為偶函數，當x0時，f(x)f(x)ln x3x，所以當x0時，f(x)3，則f(1)2.所以yf(x)在點(1，3)處的切線方程為y32(x1)，即y2x1.答案：y2x13(2015全國卷)已知曲線yxln x在點(1,1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_.解析：法一：yxln x，y1，yx12.曲線yxln x在點(1,1)處的切線方程為y12(x1)，即y2x1.y2x1與曲線yax2(a2)x1相切，a0(當a0時曲線變為y2x1與已知直線平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二：同法一得切線方程為y2x1.設y2x1與曲線yax2(a2)x1相切于點(x0，ax(a2)x01)y2ax(a2)，yxx02ax0(a2)由解得答案：8命題點二導數的應用命題指數：難度：高、中題型：選擇題、填空題、解答題1.(2014全國卷)若函數f(x)kxln x在區間(1，)單調遞增，則k的取值范圍是() A(，2B(，1 C2，) D1，) 解析：選D因為f(x)kxln x，所以f(x)k.因為f(x)在區間(1，)上單調遞增，所以當x1時，f(x)k0恒成立，即k在區間(1，)上恒成立因為x1，所以00時，xf(x)f(x)0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)解析：選A設yg(x)(x0)，則g(x)，當x0時，xf(x)f(x)0，g(x)0時，由f(x)0，得g(x)0，由圖知0x1，當x0，得g(x)0，由圖知x0成立的x的取值范圍是(，1)(0,1)，故選A.4(2015全國卷)已知函數f(x)ln xa(1x)(1)討論f(x)的單調性；(2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a2時，求a的取值范圍解：(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)a.若a0，則f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調遞增若a0，則當x時，f(x)0；當x時，f(x)0時，f(x)在x處取得最大值，最大值為flnaln aa1.因此f2a2等價于ln aa10.令g(a)ln aa1，則g(a)在(0，)上單調遞增，g(1)0.于是，當0a1時，g(a)1時，g(a)0.因此，a的取值范圍是(0,1)5(2016全國甲卷)已知函數f(x)(x1)ln xa(x1)(1)當a4時，求曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程；(2)若當x(1，)時，f(x)0，求a的取值范圍解：(1)f(x)的定義域為(0，)當a4時，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(1)0，f(x)ln x3，f(1)2.故曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為2xy20.(2)當x(1，)時，f(x)0等價于ln x0.設g(x)ln x，則g(x)，g(1)0.當a2，x(1，)時，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)上單調遞增，因此g(x)0；當a2時，令g(x)0得x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故當x(1，x2)時，g(x)0，g(x)在(1，x2)上單調遞減，因此g(x)0.綜上，a的取值范圍是(，26(2016全國丙卷)設函數f(x)ln xx1.(1)討論f(x)的單調性；(2)證明當x(1，)時，1x；(3)設c1，證明當x(0,1)時，1(c1)xcx.解：(1)由題設，f(x)的定義域為(0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.當0x1時，f(x)0，f(x)單調遞增；當x1時，f(x)0，f(x)單調遞減(2)證明：由(1)知，f(x)在x1處取得最大值，最大值為f(1)0.所以當x1時，ln xx1.故當x(1，)時，ln xx1，ln 1，即1x.(3)證明：由題設c1，設g(x)1(c1)xcx，則g(x)c1cxln c.令g(x)0，解得x0.當xx0時，g(x)0，g(x)單調遞增；當xx0時，g(x)0，g(x)單調遞減由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故當0x1時，g(x)0.所以當x(0,1)時，1(c1)xcx.7(2016全國乙卷)已知函數f(x)(x2)exa(x1)2有兩個零點(1)求a的取值范圍；(2)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1x20，則當x(，1)時，f(x)0，所以f(x)在(，1)內單調遞減，在(1，)內單調遞增又f(1)e，f(2)a，取b滿足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在兩個零點設a0，因此f(x)在(1，)內單調遞增又當x1時，f(x)0，所以f(x)不存在兩個零點若a1，故當x(1，ln(2a)時，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)內單調遞減，在(ln(2a)，)內單調遞增又當x1時，f(x)0，所以f(x)不存在兩個零點綜上，a的取值范圍為(0，)(2)證明：不妨設x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，又f(x)在(，1)內單調遞減，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1時，g(x)1時，g(x)0.從而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.命題點三定積分命題指數：難度：中、低題型：選擇題、填空題1.(2014陜西高考)定積分(2xex)dx的值為()Ae2 Be1Ce De1解析：選C(2xex)dx(x2ex)1e11e，故選C.2(2013江西高考)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，則S1，S2，S3的大小關系為()AS1S2S3 BS2S1S3CS2S3S1 DS3S2S1解析：選BS1x3，S2ln xln 2ln e1，S3exe2e2.722.74.59，所以S2S1S3.3(2015天津高考)曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_解析：如圖，陰影部分的面積即為所求由得A(1,1)故所求面積為S(xx2)dx.答案： 4.(2015陜西高考)如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠