試題PAGE1試題試題PAGE2試題滄衡學(xué)校聯(lián)盟高一年級2023—2024學(xué)年下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊第六章至第八章第5節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（

）A． B． C． D．2．已知單位向量滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．下列命題正確的是（

）A．若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則B．若直線與平面平行，則平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平行C．若兩條平行直線中的一條與一個平面平行，則另一條也與這個平面平行D．若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行4．如圖，在等腰梯形中，，，，則（

）A． B．C． D．5．如圖，的斜二測畫法的直觀圖是腰長為的等腰直角三角形，軸經(jīng)過的中點，則（

）A．6 B． C．12 D．6．如圖，在平面直角坐標系中，，，，是線段上一點（不含端點），若，則（

）

A． B． C．4 D．7．如圖，四邊形的頂點都在圓上，且經(jīng)過圓的圓心，若圓的半徑為4，，四邊形的面積為，則（

）A．4 B．2 C． D．8．如圖，在正方體中，，，，，，分別為棱，，，，，的中點，為的中點，連接，．對于空間任意兩點，，若線段上不存在也在線段，上的點，則稱，兩點“可視”，則與點“可視”的點為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知點，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是直角三角形B．若點，則四邊形是平行四邊形C．若，則D．若，則10．已知復(fù)數(shù)，，均不為0，則下列說法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)滿足，且，則B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若，則D．若復(fù)數(shù)，滿足，則11．半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體．某半正多面體由6個正方形和8個正六邊形構(gòu)成，其也可由正八面體（由八個等邊三角形構(gòu)成，也可以看作上、下兩個正四棱錐黏合而成）切割而成．在如圖所示的半正多面體中，若其棱長為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若平面平面，則C．該半正多面體的體積為D．該半正多面體的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12．已知向量，.若，，則.13．如圖，某圓臺上、下底面的圓周都在球的球面上，且球的球心與該圓臺下底面圓的圓心重合，若該圓臺下底面圓的半徑為13，母線長為，則該圓臺的體積為．14．如圖，為了測量兩山頂，間的距離，飛機沿水平方向在，兩點進行測量，，，，在同一個鉛垂平面內(nèi)．已知飛機在點時，測得，在點時，測得，，千米，則千米．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖，直三棱柱所有的棱長都為1，，分別為和的中點．

(1)證明：平面．(2)求三棱錐的體積．16．已知向量，.(1)若，求；(2)若，，求與的夾角的余弦值.17．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．(1)求角的大小；(2)若，的面積為，求的周長．18．如圖，在四棱錐中，，，平面．(1)證明：．(2)點在線段上，設(shè)，是否存在點，使得平面平面？若不存在，請說明理由；若存在，求出的值，并給出證明．19．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求.(2)若，點是邊上的兩個動點，當時，求面積的取值范圍.(3)若點是直線上的兩個動點，記.若恒成立，求的值.參考答案1．D【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則運算即可.【詳解】.故選：D2．C【分析】根據(jù)投影向量公式直接求解即可.【詳解】在上的投影向量為.故選：C3．B【分析】利用線面平行的定義、性質(zhì)逐項分析判斷得解.【詳解】對于A，若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則或l與相交，A錯誤；對于B，直線與平面平行，則存在過直線的平面與平面相交，令交線為，于是，顯然在平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，這些直線都平行于，B正確；對于C，若兩條平行直線中的一條與一個平面平行，則另一條也與這個平面平行或在這個平面內(nèi)，C錯誤；對于D，若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的直線平行或是異面直線，不會與平面內(nèi)的任意一條直線都平行，D錯誤.故選：B4．B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圖形，利用向量線性運算計算得解.【詳解】在等腰梯形中，，，，.故選：B5．D【分析】先將直角坐標系中的原圖作出，再比對直觀圖與原圖直接求出即可.【詳解】由題意得的原圖如圖所示，其中D為的中點，且，，所以，故.故選：D.6．B【分析】先求出直線的方程，根據(jù)在線段上，設(shè)出點坐標，列出方程，再根據(jù)列方程，解方程組，得到點坐標，可求的長度.【詳解】如圖：

點A，C在一次函數(shù)的圖象上.設(shè)，則，，，解得（舍去），所以，，.故選：B7．A【分析】因為圓的半徑為4，且，所以的等邊三角形，得到，所以.用的三角函數(shù)表示出四邊形的面積，從而求出，計算弦長即可.【詳解】連接，，則是等邊三角形，.四邊形的面積為，解得.因為，所以.所以是等邊三角形，所以.故選：8．D【分析】連接、、、、、，借助平行線的性質(zhì)可得四點共面，即可得線段與相交，線段與相交，線段與相交，從而排除A、B、C.【詳解】如圖，連接，，，由正方體的性質(zhì)及、分別為棱、的中點，易得，所以線段與相交，與相交，故A、B錯誤；連接，，有，，故，所以線段與相交，C錯誤；連接，直線與，直線與均為異面直線，D正確.故選：D.9．ABD【分析】根據(jù)向量垂直、平行的坐標表示，線性運算的坐標表示求解后判斷各選項．【詳解】，，所以，，是直角三角形，A正確.若點，則,，四邊形是平行四邊形，B正確.若，則，C錯誤.若，則是中點，，D正確.故選：ABD．10．ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運算結(jié)合復(fù)數(shù)概念判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算判斷B；舉反例判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)概念以及復(fù)數(shù)的乘法運算可判斷D.【詳解】對于A選項，令，a，，則，因為，且，所以，則，故，故A正確；對于B選項，令，則由，得，所以，故B正確；對于C選項，令，，此時，，，故C錯誤；對于D選項，令，，則，所以，，故D正確.故選：ABD11．ABD【分析】由圖形的性質(zhì)得到四邊形為正方形可得A正確；由線面平行的性質(zhì)定理可得B正確；由兩個大棱錐的體積減去六個小棱錐的體積可得C錯誤；由8倍的大正三角形面積減去3個小正三角形的面積再加上6個正方形的面積可得D正確.【詳解】對于A、B：如圖，易得四邊形為正方形，所以.因為平面，所以平面.因為平面平面，平面，所以.因為，所以，故A，B正確.對于C：該半正多面體的體積為，故C錯誤.對于D：該半正多面體的表面積為，故D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：在求正多面體面積或體積時可用“拼湊法”求解較為簡單.12．【分析】將垂直關(guān)系利用坐標表示，然后因式分解，根據(jù)對恒成立即可求解.【詳解】因為，，所以，因為，所以.即，整理得，因為上式對恒成立，所以，解得.故答案為：13．【分析】根據(jù)圓臺的結(jié)構(gòu)特點，結(jié)合已知的條件，求出圓臺的上、下底半徑和圓臺的高，利用圓臺的體積公式求體積.【詳解】如圖：設(shè)該圓臺上底面圓的圓心為C，連接，，，，作，垂足為O.由題意可得，，因為，所以，解得，所以，，該圓臺的體積為.故答案為：14．【分析】由題意判斷是等邊三角形，為等腰三角形，取的中點，解直角三角形即可.【詳解】由題意可得是等邊三角形，千米.記直線與直線的交點為，，所以，為的中點，所以為等腰三角形，由，所以千米.故答案為：.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面平行判定定理證明即可.（2）利用等體積法求即求，利用三棱錐求體積公式即可求解.【詳解】（1）

證明：連接，在中，D，E分別為和的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）因為為直三棱柱，所以平面，又因為為邊長為的正三角形，所以，又.16．(1)；(2).【分析】（1）利用向量的坐標運算和向量垂直的坐標表示求出x，然后根據(jù)坐標運算和向量模的坐標表示可得；（2）利用向量的坐標運算和向量平行的坐標表示求出x，然后根據(jù)向量的夾角公式求解可得.【詳解】（1），由可得，即，解得，所以，故.（2）依題意，又，所以，解得，則，，，所以，故與的夾角的余弦值為.17．(1)；(2).【分析】（1）利用同角公式切化弦，正弦定理邊化角求解即得.（2）利用三角形面積公式求出，再余弦定理列方程求解即得.【詳解】（1）依題意，，在中，由正弦定理得，因此，而，則，又，所以.（2）由的面積為，得，解得，由余弦定理得，而，則，解得，，所以的周長為.18．(1)證明見解析(2)存在；；證明見解析【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)證明即可；（2）由面面平行的判定定理證明即可；先證明平面，再證明平面.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，平面平面，所以.（2）存在，當點F滿足時，平面平面.證明如下：因為，，所以.因為平面，平面，所以平面.由（1）知，，因為，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.因為，所以平面平面.19．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理與同角的關(guān)系求得，利用余弦定理和正弦定理計算即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)正弦定理可得、，進而的面積，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）利用三角恒等變換化簡計算可得，則是定值，即，解之即可.【詳解】（1），由正弦定理得.因為，所以.因為，所以.