2023—2024學(xué)年第二學(xué)期高二5月聯(lián)考高二數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分:150分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】解：由拋物線方程的特點(diǎn)可知，拋物線的焦點(diǎn)位于軸正半軸，由，可得：，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為.本題選擇B選項(xiàng).2.曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所?即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為-1，故選：B3.已知在四面體中，為的中點(diǎn)，，若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，且，則.故選：D.4.“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡(jiǎn)稱“珠峰計(jì)劃”，是國(guó)家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問”而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃，旨在培養(yǎng)中國(guó)自己的學(xué)術(shù)大師.浙江大學(xué)?復(fù)旦大學(xué)?武漢大學(xué)?中山大學(xué)均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地.已知某班級(jí)有共5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有（）A.24種B.60種C.96種D.240種【答案】B【解析】【分析】依題意，有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，分有兩位同學(xué)選擇了浙江大學(xué)和只有A同學(xué)選擇了浙江大學(xué)這兩種情況討論，結(jié)合排列組合的原理計(jì)算.【詳解】5位同學(xué)選擇4所學(xué)校，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，已知同學(xué)選擇浙江大學(xué)，當(dāng)有兩位同學(xué)選擇了浙江大學(xué)時(shí)，則這4位同學(xué)在4所大學(xué)中分別選了一所，共種選法；當(dāng)只有A同學(xué)選擇了浙江大學(xué)時(shí)，則這4位同學(xué)在其余3所大學(xué)中選擇，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，共種選法；所以同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有種.故選：B5.的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A.10B.C.60D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，即可求得展開式中項(xiàng)的系數(shù)，得到答案.【詳解】由多項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，可得，又由展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，可得，所以展開式中項(xiàng)系數(shù)為，故選：C.6.現(xiàn)從含甲、乙在內(nèi)的10名特種兵中選出4人去參加搶險(xiǎn)，則在甲被選中的前提下，乙也被選中的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】記分別表示“甲被選中”和“乙被選中”，然后使用條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】記分別表示“甲被選中”和“乙被選中”.由于一共有10名特種兵，而要從中選出4名，故.而從10名特種兵選出4名時(shí)，如果甲和乙被選中，則剩余2個(gè)被選中的人可從甲和乙之外的8名特種兵中任意選擇2名，故選取方式有種，從而.故，A正確.故選：A.7.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X0123Pa若離散型隨機(jī)變量，則（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出a，再根據(jù)隨機(jī)變量之間的函數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)可知：解得，由，等價(jià)于，由表可知；故選：A.8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)，且，則曲線C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的定義得，，，，進(jìn)而在，結(jié)合余弦定理求得，進(jìn)而得，再求離心率即可.【詳解】解：如圖，設(shè)，因?yàn)?所以，由雙曲線的定義得：，所以，，，，，所以，在中，，在中，因?yàn)椋?，即，所以故選：B二.選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，滿足則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，最小D.時(shí)，的最小值為7【答案】AB【解析】【分析】利用等差數(shù)列基本量計(jì)算關(guān)系可得，進(jìn)而判斷AB選項(xiàng)，結(jié)合和，即可判斷CD.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是遞增的等差數(shù)列，所以，A對(duì)；又因?yàn)?，得到，B對(duì)；前項(xiàng)和為，所以當(dāng)或者時(shí)，有最小值，C錯(cuò)；，得到（舍去）或者，所以時(shí)，的最小值為12，D錯(cuò).故選：AB10.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】CD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則，求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:,,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B:,,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C:,,故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:,,故選項(xiàng)D正確；故選：CD.11.若隨機(jī)變量，下列說法中正確的有（）A.B.期望C.期望D.方差【答案】AC【解析】【分析】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可判斷A選項(xiàng)；利用二項(xiàng)分布的期望公式可判斷B選項(xiàng)；利用期望的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用方差的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，則，，，由期望的性質(zhì)可得，由方差的性質(zhì)可得，AC對(duì)，BD錯(cuò).故選：AC.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與圓相內(nèi)切，則實(shí)數(shù)a的值為__________．【答案】【解析】【分析】求出兩圓的圓心和半徑，由兩圓內(nèi)切的條件，列方程求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】圓，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為半徑，圓，圓心坐標(biāo)為半徑，由兩圓相內(nèi)切，則圓心距，解得.故答案為：.13.如圖所示線路圖，機(jī)器人從A地經(jīng)B地走到C地，最近的走法共有________種.（用數(shù)字作答）【答案】20【解析】【分析】分兩步：第一步先計(jì)算從A到B的走法種數(shù)，第二步：再計(jì)算從B到C走法種數(shù)，相乘即可.【詳解】A到B共2種走法，從B到C共種不同走法，由分步乘法原理，知從A地經(jīng)B地走到C地，最近的走法共有種.故答案為：20【點(diǎn)睛】本題考查分步乘法原理及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯分析能力，是一道中檔題.14.已知，則_____【答案】【解析】【分析】利用對(duì)立事件求概率公式得到，結(jié)合全概率公式求出答案.【詳解】，故，.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用結(jié)合題意求解；（2）由（1）得，然后利用錯(cuò)位相減法求小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，得，所以，所以數(shù)列是以3為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以【小問2詳解】由（1）得，所以，所以，所以所以16.如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且.（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由（1）的坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】在正方體中，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，于是，顯然，則，而平面；所以平面.【小問2詳解】由（1）知平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，則，所以平面與平面夾角的余弦值是.17.中醫(yī)藥學(xué)是中國(guó)古代科學(xué)的瑰寶，也是打開中華文明寶庫(kù)的鑰匙.為了調(diào)查某地市民對(duì)中醫(yī)藥文化的了解程度，某學(xué)習(xí)小組隨機(jī)向該地100位不同年齡段的市民發(fā)放了有關(guān)中醫(yī)藥文化的調(diào)查問卷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：年齡段人數(shù)成績(jī)31歲-40歲48139641歲-50歲28102218規(guī)定成績(jī)?cè)趦?nèi)代表對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度低，成績(jī)?cè)趦?nèi)代表對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高.（1）從這100位市民中隨機(jī)抽取1人，求抽到對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率；（2）將頻率視為概率，現(xiàn)從該地41歲~50歲年齡段的市民中隨機(jī)抽取3人，記為對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的人數(shù)，求的分布列和期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由表格得出成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)，計(jì)算頻率，即可得出答案；（2）由表格得出41歲~50歲年齡段中，成績(jī)?cè)趦?nèi)以及內(nèi)的人數(shù)，求出概率，進(jìn)而得出，然后列出分布列，求出期望即可.【小問1詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，所以，抽到對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率為.【小問2詳解】根據(jù)表格可知，41歲~50歲年齡段中，成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)為，成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)為，則隨機(jī)抽取1人，這個(gè)人是對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率.由題意可知，則的可能取值為，則，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為0123所以的數(shù)學(xué)期望.18.已知橢圓的焦點(diǎn)為，且該橢圓經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線過且與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求直線方程．【答案】（1）（2）直線l的方程為【解析】【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)以及橢圓經(jīng)過點(diǎn)結(jié)合橢圓定義，求出，，然后求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)直線的方程為：，與聯(lián)立，消，表示出三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，通過基本不等式求出最值．【小問1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，長(zhǎng),短半軸長(zhǎng)分別為a,b，橢圓的焦點(diǎn)為，則，，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】設(shè),，,，易知直線的斜率不為0，設(shè)其方程為：，與聯(lián)立，消，整理得：，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立），所以面積的最大值為，此時(shí)直線l的方程為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查直線與橢圓位置關(guān)系及三角形面積問題，關(guān)鍵是合理表示三角形面積并利用基本不等式求最值.19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)的極大值不小于，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，由已知可得，即可求出實(shí)數(shù)值；（2）分、兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的